Пусть, как и выше, $v=\operatorname{sgrad} H$ – интегрируемая гамильтонова система, ограниченная на компактную изоэнергетическую поверхность $Q^{3}$, и $W^{*}$ – ее меченая молекула.

Рассмотрим произвольное ребро е молекулы $W^{*}$. Напомним, что оно изображает однопараметрическое семейство торов, т.е. прямое произведение тора $T^{2}$ на некоторый интервал. Предположим, что на некотором торе Лиувилля из этого семейства выбран и фиксирован произвольный базис в фундаментальной группе, т.е. пара циклов $(\lambda, \mu)$. Согласно теореме Лиувилля, траектории гамильтоновой системы на этом торе являются прямолинейными обмотками (рациональными или иррациональными). Это означает, что существует такая система координат
\[
\left(\varphi_{1} \bmod 2 \pi, \varphi_{2} \bmod 2 \pi\right)
\]

на торе, в которой векторное поле выпрямляется и имеет вид
\[
v=a \frac{\partial}{\partial \varphi_{1}}+b \frac{\partial}{\partial \varphi_{2}},
\]

причем координатные линии этой системы координат $\left\{\varphi_{2}=\right.$ const $\}$ и $\left\{\varphi_{1}=\right.$ const $\}$ гомологичны базисным циклам $\lambda$ и $\mu$ соответственно.

Напомним, что числом вращения гамильтоновой системы на торе относительно базиса $(\lambda, \mu)$ называется отношение $\rho=\frac{a}{b}$. Если $b=0$, то мы полагаем по определению, что $\rho=\infty$.

Легко видеть, что число вращения является полным траекторным инвариантом интегрируемой системы на торе. См., например, [4], [11]. Можно считать далее, что базис $(\lambda, \mu)$ гладко распространяется на все другие торы Лиувилля данного однопараметрического семейства. Это продолжение определено однозначно с точностью до изотопии, не влияющей на дальнейшие рассуждения. Будем считать, это рассматриваемое семейство торов параметризовано параметром $t$, изменяющимся от 0 до 1 . Обозначим через $T(t)$ тор Лиувилля, отвечающий значению параметра $t$. При движении тора внутри семейства значение числа вращения меняется, и в результате мы получаем некоторую функцию $\rho(t)$, определенную на интервале $(0,1)$, где $(t)$ – значение числа вращения в базисе $(\lambda, \mu)$ на торе $T^{2}(t)$.

Определение 5.1. Функция $\rho(t)$ на интервале $(0,1)$, называется функцией вращения данной интегрируемой системы.

Лемма 5.1. Функция $\rho(t)$ корректно определена почти всюду на интервале $(0,1)$, за исключением точек, где она обращается в бесконечность, и является гладкой в окрестности каждого своего конечного значения.

Это утверждение очевидно, но мы прокомментирум его, напомнив один из способов вычисления функции вращения.

Рассмотрим четырехмерную окрестность $U$ данного однопараметрического семейства торов в симплектическом многообразии $\left(M^{4}, \omega\right)$. Без ограничения общности мы можем полагать, что эта окрестность является «двухпараметрическим» семейством торов Лиувилля вида $U=T^{2} \times D^{2}$. Поскольку лиувиллевы торы являются лагранжевыми, т.е. $\left.\omega\right|_{T^{2}}=0$, то $\omega$ является точной в $U$. Следовательно, существует 1-форма $\varkappa$ такая, что $\omega=d \varkappa$.

Рассмотрим стандартные переменные действия $s_{1}$ и $s_{2}$, определенные для всех точек $p \in U$ следующими формулами:
\[
s_{1}(p)=\frac{1}{2 \pi} \oint_{\lambda} \varkappa, \quad s_{2}(p)=\frac{1}{2 \pi} \oint_{\mu} \varkappa,
\]

где интегрирование ведется по циклам $\lambda$ и $\mu$, лежащим на торе, содержащем точку $p$. В частности, функции $s_{1}, s_{2}$ постоянны на торах и могут рассматриваться как параметры двухпараметрического семейства торов $U$.

В силу классической теоремы Лиувилля, переменные действия независимы, $H=H\left(s_{1}, s_{2}\right)$, и гамильтоново векторное поле $v$ может быть представлено в виде
\[
v=\operatorname{sgrad} H=a \operatorname{sgrad} s_{1}+b \operatorname{sgrad} s_{2},
\]

где $a=\frac{\partial H}{\partial s_{1}}$ и $b=\frac{\partial H}{\partial s_{2}}$ – гладкие функции от $s_{1}$ и $s_{2}$, постоянные на каждом торе Лиувилля. Для семейства $\left\{T^{2}(t)\right\}$, в частности, $a$ и $b$ являются гладкими функциями параметра $t$.

Легко видеть, что функция вращения может быть записана теперь в виде $\rho(t)=\frac{a(t)}{b(t)}$. Очевидно, что она является гладкой на интервале $(0,1)$ всюду, кроме тех точек, где $b(t)=0$, т.е. $\rho(t)=\infty$.

В дальнейшем мы будем рассматривать класс интегрируемых систем, функции вращения которых являются «хорошими». Более точно это означает следующее. Будем считать, что функции вращения на всех ребрах молекулы $W$ удовлетворяют следующим условиям:
1) Все критические точки функции $\rho(t)$ изолированы, и число их конечно.
2) Функция $\rho(t)$ является гладкой всюду, за исключением конечного числа точек, в которых она обращается в бесконечность. Эти точки мы в дальнейшем будем называть полюсами (функция $\rho$ может вообще не иметь полюсов).

3) В окрестности каждого полюса функция $\frac{1}{\rho}$ также является гладкой.

Замечание. Из перечисленных свойств $1-3$ следует, что функция $\rho(t)$ имеет предел при стремлении $t$ к обоим концам интервала ( 0,1 ). При этом предел, конечно, может оказаться бесконечным. Кроме того, функция $\rho$ является монотонной в окрестности граничных точек интервала.

Отметим, в частности, что функция $\rho$, удовлетворяющая $1-3$, не может быть постоянной ни на каком интервале.

Замечание. Перечисленные условия 1-3 не зависят от выбора базиса $(\lambda, \mu)$ внутри данного семейства торов. Это сразу следует из предложения 1.14.

Предложение 5.1. Любая функция, удовлетворяющая условиям 1-3, реализуется как функция вращения некоторой интегриремой гамильтоновой системы.

Это утверждение почти очевидно и формально следует из общей теоремы реализации, которую мы докажем ниже.

Описанный класс функций $\rho$ является чрезвычайно естественным. Одним из объяснений является следующее. Можно рассмотреть функцию $\operatorname{arcctg} \rho(t)$, отображающую единичный интервал в окружность. Тогда перечисленные выше условия 1-3 означают попросту, что это отображение в окружность имеет пределы на каждом конце интервала, и множество его критических точек конечно.
Определение 5.2. Две функции вращения $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ на интервале $(0,1)$ мы будем называть непрерывно (гладко) сопряженными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм (диффеоморфизм) $\tau:(0,1) \rightarrow(0,1)$ такой, что $\rho_{1}(t)=\rho_{2}(\tau(t))$.

Другими словами, функции сопряжены, если они переходят друг в друга при подходящей замене аргумента (непрерывной или гладкой в зависимости от типа сопряженности).
Рис. 5.1
Рассмотрим функцию вращения $\rho(t)$ на интервале $(0,1)$, все ее полюса и точки локальных минимумов и максимумов. Построим «вектор», состоящий из будет предел функции вращения в нуле (конечный или бесконечный). Затем, двигаясь вдоль интервала от 0 до 1 , мы будем последовательно выписывать значения функции во всех ее полюсах, локальных минимумах и максимумах. При этом каждый полюс изображается двумя символами: мы указываем предел функции слева и справа от полюса. Наконец, последним элементом набора будет предел $\rho$ в точке 1 . В результате получим некоторый упорядоченный набор вещественных чисел и символов $\pm \infty$, который мы обозначим через $R$ (см. рис. 5.1).

Определение 5.3. Набор $R$ назовем вектором вращения или $R$-вектором интегрируемой системы на данном однопараметрическом семействе торов (или же на данном ребре молекулы $W^{*}$ ) относительно данного базиса $(\lambda, \mu)$.
Предложение 5.2. Функции вращения $\rho_{1}(t)$ и $\rho_{2}(t)$ непрерывно сопряжены тогда и только тогда, когда соответствующие им векторы вращения $R_{1}$ и $R_{2}$ совпадают.
Доказательство.
Рассмотрим две функции вращения на одном и том же интервале $(0,1)$. Пусть соответствующие им вектора вращения совпали. Для каждой из функций выпишем последовательность значений параметра $t$, при которых функция имеет полюса и достигает минимаксных значений. Для функции $\rho_{1}$ получится некоторый набор $\left(x_{1}, \ldots, x_{N}\right)$, а для функции $\rho_{2}$ – некоторый набор $\left(y_{1}, \ldots, y_{N}\right)$. Наборы имеют одинаковую длину в силу совпадения векторов вращения. В частности, $\rho_{1}\left(x_{i}\right)=\rho_{2}\left(y_{i}\right)$ для всех $i$. На каждом отрезке $\left[x_{i}, x_{i+1}\right]$ и $\left[y_{i}, y_{i+1}\right]$ функции $\rho_{1}(t)$ и $\rho_{2}(t)$ строго возрастают или строго убывают одновременно. Построим непрерывную монотонную замену параметра $t$, совмещающую эти функции. Эту замену достаточно построить для каждого из указанных отрезков в отдельности. Соответствующая замена задается следующей простой формулой:
\[
\tau(t)=\rho_{2}^{-1} \rho_{1}(t) \quad \text { при } \quad t \in\left[x_{i}, x_{i+1}\right] .
\]

Эти замены $\tau:\left[x_{i}, x_{i+1}\right] \rightarrow\left[y_{i}, y_{i+1}\right]$ сшиваются затем в единую замену $\tau$ : $(0,1) \rightarrow(0,1)$ в силу условия $\rho_{1}\left(x_{i}\right)=\rho_{2}\left(y_{i}\right)$

Доказательство предложения в обратную сторону очевидно. Предложение доказано.

Комментарий. Таким образом, $R$-вектор классифицирует функции, удовлетворяющие свойствам 1-3 с точностью до непрерывных сопряжений. В гладком случае следует быть более аккуратным и следить за характером функции в ее критических точках. Впрочем, если мы заранее потребуем, чтобы все ее особые точки были невырождены (более точно, следует потребовать, чтобы невырожденными были особенности функции $\left.\operatorname{arctg} \rho:(0,1) \rightarrow S^{1}\right)$, то тот же самый $R$-вектор будет классифицировать такие функции с точностью до гладких сопряжений. С помощью функции вращения и вектора вращения мы можем дать теперь траекторную классификацию систем на ребре молекулы.

Предложение 5.3. Пусть $v$ и $v^{\prime}$ – две интегрируемые системы на симплектических 4-многообразиях $M$ и $M^{\prime}$. Рассмотрим два однопараметрических регулярных семейства $E$ и $E^{\prime}$ торов Лиувилля в $M$ и $M^{\prime}$. Тогда эти системы топологически (гладко) траекторно эквивалентны на $E$ и $E^{\prime}$ в том и только в том случае, когда на каждом из семейств существуют базисы $(\lambda, \mu) u\left(\lambda^{\prime}, \mu^{\prime}\right)$ такие, что функции вращения $\rho$ и $\rho^{\prime}$, записанные в этих базисах, непрерывно (гладко) сопряжены.
Доказательство.
Предположим, что функции вращения $\rho(t)$ и $\rho^{\prime}\left(t^{\prime}\right)$ сопряжены при некотором выборе базисов $(\lambda, \mu)$ и $\left(\lambda^{\prime}, \mu^{\prime}\right)$.

Рассмотрим для каждого семейства торов $E$ и $E^{\prime}$ переменные угол $\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$ и ( $\varphi_{1}^{\prime}, \varphi_{2}^{\prime}$ ), отвечающие выбранным базисам. Каждая точка из однопараметрического семейства торов задается тогда своими координатами $\left(t, \varphi_{1}, \varphi_{2}\right.$ ) (соответств. $\left(t^{\prime}, \varphi_{1}^{\prime}, \varphi_{2}^{\prime}\right)$ ). Искомое непрерывное отображение $\xi: E \rightarrow E^{\prime}$ первого семейства торов на второе можно задать теперь следующей формулой:
\[
\begin{array}{c}
\left(t, \varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=\left(\tau(t), \varphi_{1}^{\prime}, \varphi_{2}^{\prime}\right), \\
\text { т.e. } \quad t^{\prime}=\tau(t) \quad \varphi_{1}^{\prime}=\varphi_{1} \quad \varphi_{2}^{\prime}=\varphi_{2} .
\end{array}
\]

Здесь через $r(t)$ обозначено отображение на единичном интервале, сопрягающее функции вращения, т.е. $\rho^{\prime}(\tau(t))=\rho(t)$. Легко видеть, что отображение $\xi$ непрерывно и переводит траектории в траектории, что и требовалось.
Доказательство в обратную сторону очевидно. Предложение доказано.

Следствие. В непрерывном случае при выполнении условий предложения 5.3 системы топологически траекторно эквивалентны тогда и только тогда, когда при подходящем выборе базисов векторы вращения $R$ и $R^{\prime}$ этих систем совпадают.