В основном в приложениях встречаются интегрируемые системы, у которых на изоэнергетических 3 -поверхностях нет критических торов и бутылок Клейна. Тем не менее, например, в теории интегрируемых геодезических потоков критические торы и бутылки Клейна встречаются. На критические торы мы внимания обращать не будем, поскольку (см. об этом выше) они не меняют топологию слоения Лиувилля. А критические бутылки Клейна заслуживают отдельного рассмотрения, поскольку в их окрестности топология слоения действительно меняется нетривиальным образом. Этот вопрос был изучен П. Топаловым в $[197]$.

Пусть $K$ – критическая бутылка Клейна. Тогда близкие к ней торы Лиувилля при стягивании на нее двулистно накрывают бутылку Клейна. Окрестность $U(K)$ бутылки Клейна $K$ в 3 -многообразии $Q$ можно рассматривать как 3 -атом специального вида. Этот атом мы будем изображать буквой $K$ с ровно одним инцидентным с ним ребром. Единственность такого 3-атома вытекает из того, что существует лишь одно двулистное накрытие тором бутылки Клейна.

Отметим, что граница 3 -окрестности $U(K)$ состоит ровно из одного тора Лиувилля $T^{2}$. Поскольку 3 -атом $U(K)$ нам задан (и фиксирован), то возникает однозначно определенная проекция-накрытие $\pi: T^{2} \rightarrow K$. Это накрытие появляется при стягивании границы окрестности $U(K)$ на бутылку Клейна $K$ (вдоль отрезков, нормальных к $K$ в $U(K)$ ). Подчеркнем, что здесь мы пользуемся тем, что события происходят внутри уже заданной 3-окрестности $U(K)$.

Выберем на граничном торе $T^{2}$ допустимую систему координат. Для этого сначала опишем важное свойство гамильтонова потока на бутылке Клейна.
Предложение 4.6. Все интегральные траектории интегрируемого при помощи боттовского интеграла гамильтонова потока на критической бутылке Клейна

замкнуты. Тем самым, они определяют на граничном торе $T^{2}$ цикл, однозначно определенный с точностью до изотопии и являющийся поднятием замкнутой интегральной траектории с бутылки Клейна.
Доказательство.
Поскольку бутылка Клейна $K$ лежит внутри 3 -атома $U(K)$, то можно рассмотреть двулистное накрытие над $U(K)$, которое развернет бутылку Клейна $K$ в тор $\widetilde{T}^{2}$. При этом $U(K)$ накрывается ориентируемым 3 -многообразием $\tilde{U}\left(\widetilde{T}^{2}\right)$. Возьмем тор $\tilde{T}^{2}$ и рассмотрим на нем инволюцию $\xi$, отвечающую данному накрытию $\widetilde{T}^{2} \rightarrow K$. Введем на плоскости $\mathbb{R}^{2}$, накрывающей тор $T^{2}$, стандартные координаты $(x, y)$, связанные с решеткой тора. Без ограничения общности можно считать, что инволюция относительно этих координат задается формулой
\[
(x, y) \rightarrow\left(x+\frac{1}{2},-y\right) .
\]

Интегральные траектории с бутылки Клейна поднимаются на тор $\widetilde{T}^{2}$ и превращаются в интегральные траектории системы, накрывающей исходную. Этот тор $\widetilde{T}^{2}$ (см. выше) можно считать регулярным тором Лиувилля в $\widetilde{U}\left(\widetilde{T}^{2}\right)$. Следовательно, интегральные траектории накрывающего гамильтонова потока должны задавать на нем прямолинейную обмотку. Мы утверждаем, что она не может быть иррациональной, то есть все интегральные траектории замкнуты на торе. И более того, все эти замкнутые интегральные траектории накрывающего потока определены однозначно, с точностью до изотопии. В самом деле, накрывающее гамильтоново векторное поле $\widetilde{v}$ на торе $\widetilde{T}^{2}$ должно быть инвариантно относительно инволюции $\xi$. Рассмотрим интегральную траекторию $\gamma(t)=(x(t), y(t))$ поля $\tilde{v}$ на накрывающей плоскости $\mathbb{R}^{2}$. Для гамильтонова векторного поля на торе определена пара чисел ( $\omega_{1}, \omega_{2}$ ), называемых частотами (на данном торе). Эти числа могут быть определены по формулам:
\[
\omega_{1}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{x(t)}{t}, \quad \omega_{2}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{y(t)}{t} .
\]

При этом они не зависят от выбора конкретной траектории на данном торе. Под действием инволюции $\xi$ траектория $\gamma(t)$ переходит снова в некоторую интегральную траекторию того же поля $\widetilde{v}$. Эта новая траектория задается формулами:
\[
\xi \gamma(t)=\left(x(t)+\frac{1}{2},-y(t)\right) .
\]

Отсюда
\[
\omega_{2}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{y(t)}{t}=-\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{y(t)}{t}=-\omega_{2},
\]

то есть $\omega_{2}=0$. В силу гамильтоновости системы из того, что частота $\omega_{2}$ равна нулю, следует, что все траектории векторного поля $\widetilde{v}$ замкнуты на торе и изотопны его первому базисному циклу. Осталось заметить, что поскольку на накрывающем торе $\widetilde{T}^{2}$ все интегральные траектории поднятого поля замкнуты,

то и на бутылке Клейна все интегральные траектории поля $v$ тоже замкнуты. Предложение доказано.

Отметим, хотя этот факт и не потребуется нам, что справедливо следующее полезное утверждение.
Предложение 4.7. Пусть $v-$ произвольное гладкое векторное поле без особых точек на бутылке Клейна. Тогда у него обязательно есть по крайней мере две замкнутые интегральные траектории.

Итак, на граничном торе $T^{2} 3$-атома $U(K)$ мы обнаружили однозначно определенный с точностью до изотопии цикл $\lambda$, изотопный замкнутым интегральным траекториям потока на бутылке Клейна. Отметим, что $\lambda$ является слоем расслоения Зейферта, определенного на $U(K)$. Базой этого расслоения является двумерный диск с двумя особыми точками типа $(2,1)$. Каждой из них отвечает слой типа $(2,1)$ расслоения Зейферта.

Кроме указанного расслоения Зейферта, на $U(K)$ имеется еще одна структура $S^{1}$-расслоения. Здесь базой расслоения Зейферта будет лист Мебиуса, а слоем – окружность. Причем, это второе расслоение локально тривиально, то есть не имеет особых слоев.

Опишем структуру этих расслоений подробнее. Окрестность $U(K)$ критической бутылки Клейна можно представить следующим образом. Рассмотрим двумерное кольцо $\widehat{P}$. Удобно задать его на комплексной плоскости в виде $\{1 / 2<|z|<2\}$. Рассмотрим теперь цилиндр $\widehat{P} \times[0, \pi]$ и отождествим его основания по инволюции $\tau: \widehat{P} \rightarrow \widehat{P}$, задаваемой формулой $z \rightarrow z^{-1}$. В результате мы получим в точности окрестность $U(K)$. Сама бутылка Клейна получается склейкой оснований двумерного цилиндра $\{|z|=1\} \times S^{1}$.

Расслоение цилиндра $\widehat{P} \times[0, \pi]$ на отрезки $\{x\} \times[0, \pi]$ после склейки оснований порождает расслоение $U(K)$ на окружности. Особые слои этого расслоения отвечают двум неподвижным точкам инволюции $\tau$, а именно, $z=1$ и $z=-1$. Базой расслоения будет фактор-пространство $P=\widehat{P} / \tau$, которое, очевидно, гомеоморфно диску.

Второе расслоение может быть описано следующим образом. Заметим, что цилиндр $\widehat{P} \times[0, \pi]$ можно представить в виде прямого произведения еще одним способом, а именно, $S^{1} \times(I \times[0, \pi])$. Этот цилиндр, таким образом, имеет естественную структуру $S^{1}$-расслоения, которая сохраняется и после склейки. База этого расслоения получается из прямоугольника $I \times[0, \pi]$ склейкой его оснований $I \times\{0\}$ и $I \times\{\pi\}$, результатом которой является, как нетрудно увидеть, лист Мебиуса.

Оказывается, структуры этих двух расслоений Зейферта на $U(K)$ определены однозначно, с точностью до послойной изотопии. Дело в том, что на двулистном накрытии $\widetilde{U}\left(\widetilde{T}^{2}\right)$ 3-атома $U(K)$ задана инволюция $\xi$. Оба расслоения Зейферта, поднятые с $U(K)$ на $\widetilde{U}\left(\widetilde{T}^{2}\right)$, должны быть инвариантны относительно инволюции $\xi$. Кроме двух описанных, других инвариантных расслоений нет. В самом деле, действие инволюции $\xi$ на группе одномерных гомологий $\widetilde{U}\left(\widetilde{T}^{2}\right)$ задается матрицей
\[
\left(\begin{array}{cc}
+1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) .
\]

Следовательно, среди всех циклов только две образующие группы гомологий остаются на месте (с точностью до умножения на $\pm 1$ ) под действием инволюции $\xi$. Они и порождают две указанные выше структуры расслоения Зейферта на фактор-пространстве $U(K)=\widetilde{U}\left(\widetilde{T}^{2}\right) / \xi$.

Теперь в качестве второго базисного цикла допустимой системы координат на граничном торе $T^{2} 3$-атома $U(K)$ мы возьмем цикл $\mu$, задающий структуру второго расслоения Зейферта $U(K) \rightarrow$ (лист Мебиуса). Мы построили допустимую систему координат $(\lambda, \mu)$ на граничном торе. Отметим, что ориентация цикла $\lambda$ уже задана гамильтоновым потоком $v$. Ориентацию на $\mu$ выберем так, чтобы пара циклов $(\lambda, \mu)$ была положительно ориентирована на торе $T^{2}$ как на граничном торе ориентированного многообразия $U(K)$.

Определим теперь на ребре, исходящем из атома $K$, числовую $r$-метку и метку $\varepsilon$ по аналогии с тем, как мы это делали в случае обычных атомов. Для этого мы рассмотрим сначала матрицу склейки $C=\left(\begin{array}{ll}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta\end{array}\right)$ на данном ребре, а затем дословно повторим прежние определения.

Числовой рациональной меткой $r$ на ребре $e$ молекулы $W$, инцидентном с атомом $K$, отвечающим бутылке Клейна, называется:
\[
r=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{\alpha_{i}}{\beta_{i}} \bmod 1 \in \mathbb{Q} / \mathbb{Z}, & \text { если } \beta_{i}
eq 0, \\
\text { символ } \infty, & \text { если } \beta_{i}=0 .
\end{array}\right.
\]

Числовой целочисленной меткой $\varepsilon$ на этом ребре называется:
\[
\varepsilon=\left\{\begin{array}{lll}
\operatorname{sign} \beta_{i}, & \text { если } & \beta_{i}
eq 0, \\
\operatorname{sign} \alpha_{i}, & \text { если } & \beta_{i}=0 .
\end{array}\right.
\]

Осталось определить метку $n$. Но она определяется здесь точно так же, как и в остальных, уже перечисленных случаях. В частности, если ребро бесконечно, то есть $r=\infty$, то атом $K$ включается в семью, с которой инцидентен второй конец ребра, исходящего из $K$. Если же $r$-метка на ребре конечна, то сам атом $K$ является семьей. После того как допустимая система координат фиксирована, все определения числовых меток будут точно такими же как и раньше.

Следует выделить особый случай, когда молекула $W$ имеет вид $K-K$. В этой ситуации две допустимые системы координат, отвечающие этим атомам $K$, однозначно определены. Поэтому в качестве метки, которую нужно приписать единственному ребру молекулы, следует рассмотреть саму матрицу склейки. Никаких других меток тут нет.

Таким образом, снабжая молекулу $W$ набором перечисленных выше числовых меток, мы получаем как и раньше меченую молекулу $W^{*}$, для которой остаются справедливыми теоремы 4.1 и 4.2, сформулированные выше.

Тем самым, гамильтоновы системы с критическими бутылками Клейна естественно включаются в общую теорию без каких-либо существенных отличий.

Однако следует уточнить, что понимается здесь под лиувиллевой эквивалентностью систем, у которых присутствуют бутылки Клейна. Две такие системы $v$ и $v^{\prime}$ считаются лиувиллево эквивалентными, если существует послойный

диффеоморфизм между изоэнергетическими 3 -многообразиями $Q$ и $Q^{\prime}$, удовлетворяющий всем прежним условиям. Но кроме того, мы дополнительно требуем, чтобы замкнутые интегральные траектории поля $v$ на критических бутылках Клейна в $Q$ переходили с сохранением ориентации в замкнутые интегральные траектории поля $v^{\prime}$ на соответствующих критических бутылках Клейна в $Q^{\prime}$.