Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Напомним классическую теорему двумерной топологии.
Теорема 2.9.
a) Любой ориентированный атом ( $P, K)$ допускает гладкое погружение в сферу, а потому и в плоскость, с сохранением ориентации.
б) Любые два таких погружения одного и того же атома в сферу можно перевести друг в друга посредством гладкой изотопии и операции развязывания петель, показанной на рис. 2.35.
Рис. 2.35
Рис. 2.36
Дожазательство.
а) Каждый атом можно представить в виде набора крестов, концы которых соединены узкими лентами. Каждый крест по отдельности, очевидно, вкладывается в 2-сферу. Осталось погрузить связывающие их ленты-полоски. Поскольку поверхность предположена ориентируемой, это также очевидно.
б) Пусть теперь даны два погружения. Чтобы перевести одно в другое, нужно сначала рассмотреть их кресты. Ясно, что два вложения набора крестов совмещаются в сфере посредством гладкой изотопии, причем даже без самопересечений,
поскольку кресты можно сделать достаточно маленькими. Осталось совместить погружения соединяющих их узких лент. Поскольку концы лент, будучи приклеены к крестам, уже совмещены, то разрешая развязывание петель (рис. 2.35), мы очевидно можем перевести друг в друга погружения лент. Теорема доказана.
Эта теорема дает возможность наглядного изображения атомов на плоскости. Каждое такое погружение атома в плоскость однозначно восстанавливается по погружению в сферу графа $K$. Дело в том, что погружение атома является трубчатой окрестностью погружения графа $K$ (рис. 2.36).
Впрочем, отметим, что можно ограничиться рассмотрением лишь погружений графа в плоскость. Дело в том, что протаскивание петли через бесконечность эквивалентно созданию двух петель на ребре, а петли мы имеем право устранять.
