Рассмотрим интегрируемую гамильтонову систему $v=\operatorname{sgrad} H$ на $M^{4}$ и отображение момента $\mathcal{F}: M^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$. Пусть $\Sigma-$ бифуркационная диаграмма и $y \in \mathbb{R}^{2}$ – произвольная регулярная точка в образе отображения момента. Если ее полный прообраз компактен, то он состоит из некоторого числа торов Лиувилля. Перемещая точку $y$ по плоскости, мы заставляем эти торы как-то двигаться внутри $M^{4}$. До тех пор, пока точка $y$ остается регулярной, торы Лиувилля деформируются посредством гладкой изотопии. Но в тот момент, когда точка $y$ наталкивается на бифуркационную диаграмму $\sigma$ и пересекает ее, торы Лиувилля, вообще говоря, подвергаются нетривиальной перестройке. Возникает вопрос: как описать типичные бифуркации торов Лиувилля?

Как правило, бифуркационная диаграмма состоит из кусочно-гладких дуг и разбивает плоскость $\mathbb{R}^{2}$ на открытые области регулярных значений, которые выше мы назвали камерами. Типичная бифуркация происходит в случае, когда движущаяся точка $y$ пересекает одну из таких дуг трансверсально во внутренней точке $y^{*}$, переходя из одной камеры в другую (рис. 3.25).

Чтобы объяснить, какие именно бифуркации нас сейчас интересуют, рассмотрим движение точки по плоскости $\mathbb{R}^{2}$ как параметризованную кривую $y(t)$, соединяющую точки $y_{0}$ и $y_{1}$ из разных камер и пеРис. 3.25 ресекающую трансверсально бифуркационную диаграмму в точке $y^{*}$.

Предположим, что прообраз кривой $y(t)$ (рис. 3.25) компактен в $M^{4}$. Пусть далее, гладкой дуге бифуркационной диаграммы $\sigma$, на которой лежит точка $y^{*}$, отвечают в $M$ только невырожденные критические точки, в которых ранг отображения момента падает ровно на единицу. Это условие выполняется для большинства известных сегодня интегрируемых гамильтоновых систем. Назовем такие бифуркации торов Лиувилля невырожденными. Они устойчивы в том смысле, что при малом шевелении кривой $y(t)$ тип бифуркации торов Лиувилля не меняется.

Мы утверждаем, что все такие бифуркации торов Лиувилля описываются в точности 3-атомами. Это означает, что существует взаимно-однозначное соответствие между множеством всех 3 -атомов и типами невырожденных бифуркаций торов Лиувилля.

Поясним это утверждение. Рассмотрим прообраз кривой $y(t)$ в $M^{4}$. Это гладкое трехмерное многообразие с краем, которое можно представлять как однопараметрическое семейство инвариантных (вообще говоря, несвязных) подмногообразий, испытывающих при некотором значения параметра бифуркацию. Это трехмерное многообразие можно проинтерпретировать как 3 -атом $U(L)$. В качестве функции $f$ на нем следует взять параметр $t$. При этом $L$ (особый слой слоения Лиувилля) является прообразом точки $y^{*}$ при отображении момента. Невырожденность перестройки торов Лиувилля эквивалентна здесь тому, что $f$ является функцией Ботта на $U(L)$.