Из леммы 8.1 сразу вытекает способ построения траекторных инвариантов. Нам следует лишь подобрать такие комбинации из элементов избыточного $t$-оснащения, которые не зависят от выбора набора сечений $\mathbb{P}$.

С формальной точки зрения мы можем рассмотреть следующую конструкцию. Пусть $\mathbb{T}$ – избыточное $t$-оснащение, соответствующее некоторому набору трансверсальных сечений $\mathbb{P}$. Если мы изменим набор сечений, то избыточное $t$ оснащение также изменится по некоторому вполне определенному правилу. На самом деле это означает, что на множестве всех избыточных $t$-оснащений $\{\mathbb{T}\}$ действует группа замен трансверсальных сечений, которую мы обозначим через $G \mathbb{P}$. Оказывается, в качестве $G \mathbb{P}$ следует рассматривать прямую сумму групп целочисленных когомологий $H^{1}\left(P_{c}, \mathbb{Z}\right)$ для всех седловых атомов данной молекулы и еще $s$ экземпляров группы целых чисел $\mathbb{Z}$. Каждый экземпляр соответствует некоторому атому типа $A$.
Таким образом, $G \mathbb{P}=\left(\oplus_{c} H^{1}\left(P_{c}, \mathbb{Z}\right)\right) \oplus \mathbb{Z}^{S}$.
Это утверждение является общим фактом из трехмерной топологии. Сейчас мы его прокомментируем. Рассмотрим два различных трансверсальных сечения $P_{t r}$ и $P_{t r}^{\prime}$ на каком либо седловом 3 -атоме $Q_{c}$. Чем они отличаются друг от друга? Здесь придется рассмотреть отдельно два случая: атомы без звездочек, и атомы со звездочками.

Начнем с атомов без звездочек. В этом случае 3-атом имеет тип прямого произведения $\left(Q_{c}, f^{-1}(c)\right)=\left(P_{c}, K_{c}\right) \times S^{1}$. Рассмотрим два трансверсальных сечения
\[
j: P_{c} \rightarrow Q_{c} \text { и } j^{\prime}: P_{c} \rightarrow Q_{c}, P_{t r}=j\left(P_{c}\right), P_{t r}^{\prime}=j^{\prime}\left(P_{c}\right) .
\]

Поскольку оба сечения интересуют нас с точностью до изотопии, то мы можем без ограничения общности считать, что сечения $P_{t r}$ и $P_{t r}^{\prime}$ пересекаются с критическими окружностями атома в одних и тех же точках. Это означает, что образы каждой вершины графа при отображениях $j$ и $j^{\prime}$ совпадают. Рассмотрим произвольное ребро $K_{i}$ графа $K$ и его образы $j\left(K_{i}\right)$ и $j^{\prime}\left(K_{i}\right)$. Ясно, что $j\left(K_{i}\right)=P_{t r} \cap L_{i}$ и $j^{\prime}\left(K_{i}\right)=P_{t r}^{\prime} \cap L_{i}$, где $L_{i}$ – одно из колец, из которых состоит критический уровень $f^{-1}(c)$ интеграла $f$. Итак, мы имеем на кольце $L_{i}$ два ребра $j\left(K_{i}\right)$ и $j^{\prime}\left(K_{i}\right)$ с совпадающими концами, лежащими на противоположных граничных окружностях кольца.

На кольце $L_{i}$ имеется ориентированный цикл $\lambda$ – слой тривиального расслоения Зейферта. На ребрах $j\left(K_{i}\right)$ и $j^{\prime}\left(K_{i}\right)$ таюже имеются естественные ориентации, заданные потоками Пуанкаре $w$ и $w^{\prime}$. Эти потоки индуцированы, в свою очередь, одним и тем же гамильтоновым полем $v$ на кольце $L_{i}$. Отсюда следует, что имеет естественный смысл следующее разложение: $j^{\prime}\left(K_{i}\right)=j\left(K_{i}\right)+m_{i} \lambda$, где $m_{i}$ – некоторое целое число, положительное или отрицательное. Комментарий к этой формуле: разность $j^{\prime}\left(K_{i}\right)-j\left(K_{i}\right)$, очевидно, является 1 -циклом на кольце $L_{i}$ с образующей $\lambda$. Следовательно, этот 1 -цикл кратен $\lambda$ с некоторым целым коэффициентом $m_{i}$.

Итак, в результате сравнения двух сечений, на ребре $K_{i}$ понвилось целое число $m_{i}$. Этот набор целых чисел мы будем интерпретировать как 1 -коцепь $m$ и называть различающей коцепью. Заметим теперь, что коцепь $m$ определена с точностью до целочисленной кограницы. Действительно, рассмотрим образ некоторой вершины графа $K_{c}$ при отображении $j^{\prime}$. Поскольку сечения нас интересуют с точностью до изотопии, то мы можем протянуть эту вершину вдоль слоя тривиального $S^{1}$-расслоения и вернуться на прежнее место. С одной стороны при такой операции сечение изменилось на изотопное, с другой, как нетрудно увидеть, к различающей коцепи $m$ добавилась элементарная кограница, отвечающая данной вершине графа $K_{c}$. Таким образом, корректно определенной различающей двух сечений является в данном случае элемент целочисленной группы когомологий $C^{1}\left(K_{c}, \mathbb{Z}\right) / B^{1}\left(K_{c}, \mathbb{Z}\right)=H^{1}\left(K_{c}, \mathbb{Z}\right)$. Учитывая, что атом $P_{c}$ стягивается на свой граф $K_{c}$, мы можем интерпретировать построенную различающую $m$ как элемент группы $H^{1}\left(P_{c}, \mathbb{Z}\right)$.

Обратно, пусть $P_{t r}=j\left(P_{c}\right)$ – произвольное сечение и $m$ – любой элемент из $H^{1}\left(P_{c}, \mathbb{Z}\right)$. Тогда можно однозначно, с точностью до изотопии восстановить новое сечение $P_{t r}^{\prime}=j^{\prime}\left(P_{c}\right)$ такое, что различающая между $P_{t r}$ и $P_{t r}^{\prime}$ будет каю раз равняться $m$.

Рассмотрим теперь случай атомов со звездочками. Общая схема рассуждений сохраняется. В этом случае в качестве трансверсальных сечений мы должны рассматривать вложения дубля $\widehat{P}_{c}$ соответствующего атома со звездочками $\left(P_{c}, K_{c}\right)$. Итак, пусть даны два вложения
\[
j: \widehat{P}_{c} \rightarrow Q_{c}, \quad j^{\prime}: \widehat{P}_{c} \rightarrow Q_{c} .
\]

Напомним, что говоря здесь о вложении дубля, мы рассматриваем только такие вложения, для которых диаграмма

коммутативна.
Легко видеть, что с помощью изотопии можно добиться того, чтобы эти вложения совпадали на малых окрестностях вершин дубля $\widehat{P}$. Обозначим через $\widehat{K}_{c}$ граф, являющийся дублем графа $K_{c}$ и лежащий в дубле $\widehat{P}_{c}$. Тогда то же рассуждение, что и выше, дает соотношение:
\[
j^{\prime}\left(\widehat{K}_{i}\right)=j\left(\widehat{K}_{i}\right)+m_{i} \lambda,
\]

где $\left\{m_{i}\right\}$ – целые числа, а $\widehat{K}_{i}$ – ребра графа $\widehat{K}_{c}$. Это соотношение аналогично формуле $K_{i}^{\prime}=K_{i}+m \lambda$, полученной нами выше для атомов без звездочек.

Каждое кольцо $L_{i}$ особого слоя $L$ пересекается, в данном случае, с трансверсальным сечением не по одному отрезку, как в случае атомов без звездочек, а по двум отрезкам. Эти отрезки переходят друг в друга при инволюции $\tau$, определенной на дубле. Их можно обозначить через $\widehat{K}_{i}$ и $\tau\left(\widehat{K}_{i}\right)$. Тогда соотношение,

аналогичное полученному выше для отрезка $\widehat{K}_{i}$, будет верно и для отрезка $\tau\left(\widehat{K}_{i}\right)$.
А именно:
\[
j^{\prime}\left(\tau\left(\widehat{K}_{i}\right)\right)=j\left(\tau\left(\widehat{K}_{i}\right)\right)+m \lambda,
\]

где $m_{i}$ – те же самые, что и в формуле для ребер $\widehat{K}_{i}$.

Получающийся набор чисел $\left\{m_{i}\right\}$ можно интерпретировать как « $\tau$-симметричную 1-коцепь, то есть элемент группы $C^{1}\left(K_{c}, \mathbb{Z}\right)$. Другими словами, эта коцепь принимает одинаковые значения на «парных ребрах», переходящих друг в друга при инволюции $\tau$. Следовательно, набор чисел $\left\{m_{i}\right\}$ можно интепретировать
Рис. 8.4 как 1 -коцепь на графе $K_{c}=\widehat{K}_{c} / \tau$. Таким образом, 1-коцепь $\left\{m_{i}\right\}$ на самом деле лежит в группе $C^{1}\left(K_{c}, \mathbb{Z}\right)$. Далее, как и в предыдущем случае, легко заметить, что эта коцепь определена по модулю 1-кограницы, и мы приходим к тому же самому результату: различающей двух сечений является элемент группы одномерных когомологий $H^{1}\left(P_{c}, \mathbb{Z}\right)$.

Обратно, если задан произвольный элемент $m \in H^{1}\left(P_{c}, \mathbb{Z}\right)$, то всегда можно построить по нему трансверсальное сечение $P_{t r}^{\prime}=j^{\prime}\left(\widehat{P}_{c}\right)$ в 3 -атоме $Q_{c}$, отличающееся от сечения $P_{t r}=j\left(\widehat{P}_{c}\right)$ на этот коцикл $m$.
Замечание. Если не накладывать никаких дополнительных ограничений на выбор трансверсального сечения, как это предусмотрительно сделали мы, то числа $\left\{m_{i}\right\}$ могут оказаться не целыми, а полуцелыми. Дело в том, что отбросив условие принадлежности двух сечений к одному классу (см. выше условие коммутативности диаграммы), мы сразу же увидим, что отрезки $P_{t r} \cap L_{i}=\widehat{K}$ и $P_{t r}^{\prime} \cap L_{i}=\widehat{K}^{\prime}$ могут отличаться внутри кольца $L_{i}$ на полуцелое число оборотов. См. рис. 8.4(b). В этом случае топологический тип трансверсального сечения может измениться. Поскольку мы хотим работать в классе сечений одного и того же топологического типа, мы запретили «полуцелые обороты» условием совпадения двух вложений $j$ и $j^{\prime}$ дубля $\widehat{P}_{c}$ в окрестности его вершин. В результате всегда появляется лишь «целочисленная намотка», изображенная на рис. $8.4(\mathrm{a})$.
Замечание. Мы видим, что с формальной точки зрения группа замен трансверсальных сечений одинаково устроена как в случае атомов без звездочек, так и для атомов со звездочками. Это – группа одномерных когомологий $H^{1}\left(P_{c}, \mathbb{Z}\right)$. Формально, инварианты $(\Lambda, \Delta, Z$ ) редуцированной системы тоже одинаково устроены как для атомов без звездочек, так и для атомов со звездочками. Эти два наблюдения, сделанные А.Б.Скопенковым [258], позволяют легко включить атомы со звездочками в общую теорию классификации интегрируемых систем.

В случае атома типа $A$ аналог «различающей» $m$ вводится аналогичным образом. Напомним, что топологически атом $A$ представляет собой полноторие, и произвол в этом случае состоит в выборе слоя $\mu$ тривиального расслоения Зейферта на этом граничном торе. Ясно, что два таких слоя всегда связаны соотношением $\mu^{\prime}=\mu+m \lambda$, где $\lambda$ – меридиан полнотория, а $m$ – некоторое целое

число. Именно это число и является аналогом «различающей», и мы для удобства будем употреблять этот термин как для седловых атомов, так и для атомов типа $A$.

Итак, если мы имеем некоторый набор сечений $\mathbb{P}=\left\{P_{t r}\right\}$ и некоторый набор коциклов $\mathbb{M}=\left\{m_{c}\right\} \in G \mathbb{P}$, то мы можем естественным способом построить новый набор сечений $\mathbb{P}^{\prime}$, являющийся результатом действия $\mathbb{M}$ на $\mathbb{P}$.

Таким образом, мы можем определить действие группы замен трансверсальных сечений $G \mathbb{P}$ на множестве всех трансверсальных сечений $\{\mathbb{M}\}$. Отметим, что структура группы $G \mathbb{P}$ очень проста: это свободная абелева группа $\mathbb{Z}^{n+k}$, где $n-$ число замкнутых гиперболических траекторий системы с ориентируемыми сепаратрисными диаграммами, $k$ – общее число всех атомов. Здесь мы пользуемся тем, что размерность группы гомологий $H^{1}\left(P_{c}, \mathbb{Z}\right)$ для каждого отдельного седлового атома вычисляется по следующей простой формуле: $\operatorname{dim} H^{1}\left(P_{c}, \mathbb{Z}\right)=s_{c}+1$, где $s_{c}$ – число вершин графа $K_{c}$ кратности четыре (т. е. число гиперболических траекторий с ориентируемыми сепаратрисными диаграммами, попавших в данный атом).

Следующее утверждение дает ответ на вопрос о том, что происходит с потоком Пуанкаре при замене трансверсального сечения.
Предложение 8.1.
a) Пусть $Q_{c}$ – 3-атом без звездочек, $w$ и $w^{\prime}$ – потоки Пуанкаре, порожденные системой $v$ на сечениях $P_{t r}=j\left(P_{c}\right) \subset Q_{c}$ и $P_{t r}^{\prime}=j^{\prime}\left(P_{c}\right) \subset Q_{c}$. Пусть далее $m \in H^{1}\left(P_{c}, \mathbb{Z}\right)$ – определенный выше различающий 1-коцикл. Тогда поток $w^{\prime}$ на 2-атоме $P_{c}$ получается из $w$ применением операции вклейкивырезания $\Phi_{-m}$.
б) Пусть $Q_{c}$ – 3-атом со звездочками, $w$ и $w^{\prime}$ – потоки Пуанкаре, порожденные системой $v$ на сечениях $P_{t r}=j\left(\widehat{P}_{c}\right)$ и $P_{t r}^{\prime}=j^{\prime}\left(\widehat{P}_{c}\right)$, где $\widehat{P}_{c}-$ канонический дубль. Пусть далее $m \in H^{1}\left(P_{c}, \mathbb{Z}\right)$ – определенный выше различающий 1-коцикл. Тогда система $w^{\prime}$ на дубле $P_{c}$ получается из системы $w$, применением операции вклейки-вырезания $\Phi_{-\widehat{m}}$, где 1 -коцикл $\widehat{m}$ обозначает «поднятие» 1-коцикла $m$ с атома $P_{c}=\widehat{P}_{c} / \tau$ на его дубль $\widehat{P}_{c}$. Другими словами, $\widehat{m}$ – симметричный 1-коцикл, принимающий одинаковые значения на тех ребрах графа $K_{c}$, которые переходят друг в друга при инволюции $\tau$ : если 1-коцикл т принимает значение $m_{i}$ на ребре $K_{i}$ графа $K$, то $\widehat{m}$ принимает значение $m_{i}$ как на $\widehat{K}_{i}$, так и на $\tau\left(\widehat{K}_{i}\right)$.

Доказательство предложения 8.1.
Начнем со случая атомов без звездочек. Достаточно доказать предложение 8.1 для элементарного 1-коцикла $m$, который равен нулю на всех ребрах графа $K_{c}$, кроме одного ребра $K_{i}$, на котором он равен 1.

Рассмотрим рис. 8.5, на котором изображено плоское кольцо $L_{i}$ с двумя трансверсальными гладкими кривыми $j\left(K_{i}\right)$ и $j^{\prime}\left(K_{i}\right)$, изображенными жирными линиями. Здесь $j^{\prime}\left(K_{i}\right)$ получается из $j\left(K_{i}\right)$ намоткой с коэффициентом $m_{i}=1$ вдоль оси кольца. Тонкой линией изображена траектория векторного

поля $v=\operatorname{sgrad} H$, поведение которой в силу наших предположений соответствует рис. $3.16(\mathrm{~b})$. Напомним, что ребра $j\left(K_{i}\right)$ и $j^{\prime}\left(K_{i}\right)$ являются пересечениями трансверсальных сечений $P_{t r}$ и $P_{t r}^{\prime}$ с кольцом $L_{i}$. Мы выбрали их специальным образом, чтобы доказательство сформулированного утверждения было более наглядным. Мы вправе делать это, поскольку сечение можно подвергать изотопии без изменения его свойств.

Рис. 8.5

На отрезках $S_{1} X$ и $Y S_{2}$ ребра $j\left(K_{i}\right)$ и $j^{\prime}\left(K_{i}\right)$ совпадают, а накрутка производится на интервале $X Y$. Следовательно, на отрезках $S_{1} X$ и $Y S_{2}$ потоки Пуанкаре $\sigma^{t}$ и ${\sigma^{\prime t}}^{t}$ совпадают. Что происходит между точками $X$ и $Y$ ? Легко видеть по нашему построению, что $Y=$ $=\sigma^{2}(X)$ и в то же время $Y=\sigma^{\prime 1}(X)$. На всех близких торах при аналогичном выборе сечений, т.е. когда они совпадают всюду за исключением правильно подобранного участка, ситуация будет в точности аналогичной. Таким образом, потоку $\sigma^{t}$ требуется на единицу больше времени, чтобы пройти участок от $X$ до $Y$, чем потоку $\sigma^{\prime t}$. Но это и означает, что поток $\sigma^{\prime t}$ получается из $\sigma^{t}$ вырезанием куска единичной длины, что и требовалось доказать.

Пункт «б», т.е. случай атомов со звездочками, доказывается аналогично. Нужно в точности повторить все предыдущие рассуждения для обоих парных ребер $\widehat{K}_{i}$ и $\tau\left(\widehat{K}_{i}\right)$. Предложение 8.1 доказано.