Хорошо известно (см., например, [130]), что любая функция Морса на любом гладком многообразии может быть аппроксимирована функцией Морса, у которой на каждом критическом уровне лежит ровно одна критическая точка. Другими словами, сколь угодно малым шевелением можно развести критические точки функции на разные уровни. Ясно, что такое возмущение функции Морса превращает сложную молекулу в простую, т.е. в молекулу, атомы которой суть только $A, B$ и $\widetilde{B}$. Атом $\widetilde{B}$ может появиться лишь в том случае, когда поверхность $X$ неориентируема.
В этом смысле любая сложная молекула аппроксимируется простой.
Важно отметить, что эта аппроксимация, вообще говоря, неоднозначна. Другими словами, одна и та же сложная молекула может превращаться в разные простые молекулы при разных ее возмущениях. Более того, сложный атом может распадаться несколькими разными способами в сумму простых атомов. Приведем пример. На рис. 2.74 показан сложный атом $G_{1}$ с тремя вершинами. Изображены два разных, т.е. неэквивалентных его распада в сумму простых атомов.

Отметим, что возмущение функции Морca, делающее сложную молекулу простой, может разрушить исходную симметрию функции
Рис. 2.74

Морса. Наличие симметрии обычно делает молекулу сложной. Возмущая функцию, мы теряем информацию о симметриях. Поэтому, желая изучать симметрии функций, следует изучать именно сложные атомы и молекулы, а не их возмущения.

Обсудим теперь следующий общий вопрос. Возьмем две функции Морса $f$ и $g$ на одной и той же двумерной замкнутой поверхности и попытаемся гладко продеформировать их друг в друга в классе функций Морса. Спрашивается, когда это возможно? Какие условия нужно наложить на функции, чтобы они деформировались друг в друга указанным образом? Одно из очевидных необходимых условий состоит в том, что функции $f$ и $g$ должны иметь одинаковое

число локальных минимумов и одинаковое число локальных максимумов. Тогда, очевидно, и количество $r$ седловых критических точек у них совпадет. Ясно, что $r=p+q-\chi(M)$, где $\chi(M)=2-2 g$ или $2-\mu$ – эйлерова характеристика поверхности $M, g$ и $\mu$ – род поверхности $M$ (число ручек в ориентируемом и число пленок Мебиуса в неориентируемом случае).

Необходимость указанного условия вытекает из того, что в процессе деформации не должны рождаться и уничтожаться критические точки, поскольку любое «рождение» или «уничтожение» означает переход через неморсовскую особенность.

Следовательно, вопрос нужно ставить так: является ли линейно связным пространство функций Морса на данной двумерной замкнутой поверхности с фиксированным числом локальных минимумов и максимумов? Сразу возникает естественная мысль – изучить деформации функций Морса при помощи молекул. Нетрудно показать, что если изобразить обе указанные функции Mорса $f$ и $g$ в виде молекул $W(f)$ и $W(g)$, то можно построить деформацию одной молекулы в другую посредством серии последовательных элементарных перестроек. На первом шаге эти молекулы можно превратить в простые молекулы (только с атомами $A$ и $B$ ). Затем следует рассмотреть элементарные перестройки, меняющие местами два соседних седла на молекуле. Эти перестройки можно описать так. Всего их четыре и все они изображены на рис. 2.75 (a, b, c, d) и на рис. 2.76. Каждая перестройка описывается одним из атомов $C_{1}, C_{2}, D_{1}, D_{2}$.

На рисунке 2.75 показана соответствующая перестройка уровней функции Морса. Таким образом, элементарные перестройки позволяют упрощать молекулы функций Морса.
Теорема 2.18 (Е. А. Кудрявцева). Пусть $f$ – любая простая функция Морса на двумерной замкнутой поверхности, и $W(f)-е e$ молекула. Тогда посредством описанных выше четырех элементарных перестроек эта молекула всегда может быть приведена к каноническому виду, показанному на рис. 2.77.

Поскольку молекула $W$ определяет функцию Морса с точностью до послойного диффеоморфизма поверхности на себя, то из этой теоремы вытекает следующее утверждение.
Следствие. Любые две функции Морса $f$ и $g$ (не обязательно простые) с одинаковым чис-
Рис. 2.76

лом локальных минимумов и максимумов на замкнутой двумерной поверхности можно гладко продеформировать друг в друга с точностью до диффеоморфизма поверхности на себя. То есть, всегда существует такой диффеоморфизм $\xi: M^{2} \rightarrow M^{2}$ и гладкая деформация $\phi_{t}: M^{2} \rightarrow \mathbb{R}$, где $\phi_{0}=f$, такие, что $g=\phi_{1} \circ \xi$.
Рис. 2.77
На самом деле верен более сильный факт, а именно, что пространство функций Морса с фиксированным числом минимумов и максимумов на замкнутой двумерной поверхности линейно связно. Нам не удалось найти доказательства этого утверждения в литературе. Доказательство, которое нам известно, было совсем недавно получено С. В. Матвеевым. Отметим, что оно весьма нетривиально и использует довольно глубокую технику маломерной топологии. Как сообщил авторам X. Цишанг, это утверждение может быть также доказано при помощи алгебраической техники Нильсена.

Рассмотрим произвольную замкнутую двумерную поверхность $M$. Обозначим через $F(M, p, q)$ совокупность всех функций Морса на этой поверхности, имеющих фиксированное число $p$ точек локальных минимумов и фиксированное число $q$ точек локальных максимумов.
Теорема 2.19 (С. В. Матвеев). Пространство функиий Морса $F(M, p, q)$ линейно связно.

Эту теорему полезно переформулировать на языке поверхностей с краем. Пусть $P$ – поверхность с краем, граничные компоненты которой разбиты на два класса $\partial_{+} P$ и $\partial_{-} P$ : положительные и отрицательные окружности. Пусть имеется $p$ отрицательных окружностей и $q$ положительных. Обозначим через $F(P)$ пространство всех функций $f$ Морса на поверхности $P$ со следующими свойствами.
a) Функция $f$ имеет лишь седловые критические точки на поверхности $P$.
b) Функция $f$ не имеет критических точек на границе поверхности.
c) Функция $f$ принимает значение +1 на всех $q$ положительных компонентах границы и принимает значение -1 на всех $p$ отрицательных компонентах границы.
Теорема 2.20 (С. В. Матвеев). Пространство $F(P)$ линейно связно.
Комментарий. Другими словами, любые две функции Морса $f_{0}$ и $f_{1}$, имеющие лишь седловые критические точки на поверхности $P$, и принимающие одинаковые значения: +1 на компонентах границы $\partial_{+} P$ и -1 на компонентах границы $\partial_{-} P$, можно соединить гладким путем $f_{t}, 0 \leqslant t \leqslant 1$, в пространстве функций Морса того же типа, т. е. внутри пространства $F(P)$. В частности, никаких рождений и уничтожений критических точек в процессе такой гомотопии не происходит.
Комментарий. Таким образом, любые две функции Морса из пространства $F(M, p, q)$, у которых все точки локальных минимумов и локальных максимумов совпадают, можно не только связать регулярной гомотопией, но можно выбрать гомотопию таким образом, что точки минимумов и максимумов будут в процессе гомотопии «стоять на месте», т.е. будут занимать неизменное положение на поверхности.

Развивая идеи С.В.Матвеева, Е. А.Кудрявцева доказала следующие усиления этого результата. Иногда при деформации функции Морса полезно следить за поведением каждой ее критической точки. Другими словами, иногда полезно учитывать порядок критических точек функции. Также полезно в некоторых ситуациях следить за следующим обстоятельством. В каждой седловой критической точке функции Морса определены две входящие сепаратрисы, образующие в совокупности некоторую дугу, которую естественно назвать сепаратрисной дугой. В процессе деформации функции эта дуга тоже как-то деформируется и перестраивается, взаимодействуя с другими аналогичными дугами. Зададим на каждой такой дуге ориентацию. Полезно выяснить – можно ли продеформировать одну функцию Морса в другую, чтобы совместить не только сами функции, но и ориентации всех их сепаратрисных дуг? Чтобы ответить на оба эти вопроса, введем следующие пространства функций Морса «с оснащением».

Рассмотрим пространство $\widetilde{F}(M, p, q)$ функций Морса $f$ со следующими свойствами на замкнутой двумерной поверхности $M$.
1) Функция $f$ имеет $p$ точек локальных минимумов и $q$ точек локальных максимумов.
2) Все точки минимумов и максимумов функции $f$ предполагаются фиксированными на поверхности $M$. Причем, все эти точки – одни и те же для разных функций $f$ из пространства $\widetilde{F}(M, p, q)$.
3) На множестве всех седловых критических точек функции $f$ задано и фиксировано отношение порядка, или нумерация.

Такую функцию Морса $f$ можно назвать функцией с нумерованными седлами.

Ясно, что пространство $\tilde{F}(M, p, q)$ является накрывающим пространством для пространства $F(M, p, q)$. На пространстве $\widetilde{F}(M, p, q)$ очевидно действует группа перестановок $S_{r}$. Здесь $r$ – число седловых критических точек функции $f$. Факторизуя пространство $\widetilde{F}(M, p, q)$ по действию этой группы, мы и получаем пространство $F(M, p, q)$. Слой получившегося накрытия изоморфен группе $S_{r}$.

Любая изотопия $f_{t}, 0 \leqslant t \leqslant 1$, функций Морса, лежащих в пространстве $F(M, p, q)$, однозначно определяет изотопию в накрывающем пространстве $\widetilde{F}(M, p, q)$ функций с нумерованными седлами, такую, что при непрерывном изменении положения критических точек на поверхности сохраняется их нумерация.

Рассмотрим еще одно пространство $F_{+}(M, p, q)$ функций Морса $f$ со свойствами 1$), 2$ ) и 4) на замкнутой двумерной поверхности $M$, где свойство 4 ) определяется так. Фиксируем на поверхности $M$ произвольную риманову метрику, и в каждой седловой критической точке функции $f \in F(M, p, q)$ рассмотрим неориентированную гладкую дугу, образованную двумя сепаратрисами, входящими в эту критическую точку. Мы будем называть эту дугу сепаратрисной дугой.
4) В каждой седловой критической точке функции Mорса $f \in F(M, p, q)$ фиксирована ориентация сепаратрисной дуги.

Назовем такую ориентацию оснащением седловой критической точки функции $f$, а саму такую функцию Морса $f$ назовем оснащенной. Полученное пространство функций Морса с оснащенными седлами (седловыми критическими точками) обозначим через $F_{+}(M, p, q)$. Ясно, что пространство $F_{+}(M, p, q)$ является накрывающим пространством для пространства $F(M, p, q)$ со слоем, изоморфным группе $\left(\mathbb{Z}_{2}\right)^{r}$.

Рассмотрим еще одно пространство $\widetilde{F}_{+}(M, p, q)$ функций Морса с оснащенными и нумерованными седлами. То есть, пространство функций $f \in \widetilde{F}(M, p, q)$ с нумерованными седлами, в каждой седловой точке которых фиксировано оснащение – ориентация сепаратрисной дуги. Ясно, что пространство $\widetilde{F}_{+}(M, p, q)$ является накрывающим пространством над пространством $F(M, p, q)$ со слоем, изоморфным группе $S_{r} \times\left(\mathbb{Z}_{2}\right)^{r}$.
Теорема 2.21 (Е. А. Кудрявцева). Пусть $M$ – любая связная замкнутая двумерная поверхность. Тогда:
а) пространство $\widetilde{F}(M, p, q)$ функций Морса с нумерованными седлами линейно связно;
б) пространство $F_{+}(M, p, q)$ функций Морса с оснащенными седлами также линейно связно;
в) пространство $\widetilde{F}_{+}(M, p, q)$ функций Морса с оснащенными и нумерованными седлами распадается ровно на две компоненты линейной связности.

Замечание. Ясно, что все критические точки любых двух функций Морса $f, g \in$ $\in F(M, p, q)$ можно совместить друг с другом на поверхности (то есть как минимумы и максимумы, так и седла). Согласно теореме С. В. Матвеева, все точки минимумов и максимумов можно считать неподвижными в процессе изотопии, деформирующей функции друг в друга. Интересно выяснить, можно ли добиться этого и для седел? То есть, можно ли считать, что в процессе деформации функции $f$ в функцию $g$ все их седловые критические точки остаются на месте?