Пусть $M^{2 n}-$ симплектическое многообразие и $v=\operatorname{sgrad} H-$ гамильтонова система с гладким гамильтонианом $H$.

Определение 1.11. Гамильтонова система $v$ называется вполне интегрируемой по Лиувиллю, если существует набор гладких функций $f_{1}, \ldots, f_{n}$ таких, что:

1) $f_{1}, \ldots, f_{n}$ – первые интегралы $v$,
2) они функционально независимы на $M$, то есть почти всюду на $M$ их градиенты линейно независимы,
3) $\left\{f_{i}, f_{j}\right\}=0$ при любых $i$ и $j$,
4) векторные поля sgrad $f_{i}$ полны, т.е. естественный параметр на их интегральных траекториях определен на всей числовой прямой.

Определение 1.12. Слоением Лиувилля, отвечающим вполне интегрируемой системе, называется разбиение многообразия $M^{2 n}$ на связные компоненты совместных поверхностей уровня интегралов $f_{1}, \ldots, f_{n}$.

Поскольку $f_{1}, \ldots, f_{n}$ сохраняются потоком $v$, то каждый слой слоения Лиувилля – инвариантная поверхность.

Слоение Лиувилля состоит из регулярных слоев (которые заполняют почти все $M$ ) и особых слоев (заполняющих множество меры нуль).

Одна из целей нашей книги – описание топологии слоений Лиувилля. Формулируемая ниже теорема Лиувилля описывает их структуру в окрестности регулярного слоя.
Рассмотрим совместную регулярную поверхность уровня функций $f_{1}, \ldots, f_{n}$ :
\[
T_{\xi}=\left\{x \in M \mid f_{i}(x)=\xi_{i}, i=1,2, \ldots, n\right\} .
\]

Регулярность означает, что дифференциалы $d f_{i}$ линейно независимы на $T_{\xi}$.

Теорема 1.2 (Теорема Лиувилля).
Пусть на $M^{2 n}$ задана вполне интегрируемая по Лиувиллю гамильтонова система $v=\operatorname{sgrad} H$ и $T_{\xi}$ – регулярная поверхность уровня интегралов $f_{1}, \ldots, f_{n}$. тогда:

1) $T_{\xi}$ – гладкое лагранжево подмногообразие, инвариантное относительно поmоков $v=\operatorname{sgrad} H u \operatorname{sgrad} f_{1}, \ldots, \operatorname{sgrad} f_{n}$.
2) Если подмногообразие $T_{\xi}$ связно и компактно, то $T_{\xi}$ диффеоморфно $n$-мерному тору $T^{n}$. Этот тор называется тором Лиувилля.
3) Слоение Лиувилля в некоторой окрестности $U$ тора Лиувилля $T_{\xi}$ тривиально, т.е. диффеомофно прямому произведению тора $T^{n}$ на диск $D^{n}$.
4) В окрестности $U=T^{n} \times D^{n}$ существует система координат $s_{1}, \ldots, s_{n}$, $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}$, называемых переменными действие-угол, со следующими свойствами:
a) $s_{1}, \ldots, s_{n}$ – координаты на диске $D^{n}, \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}$ – стандартные угловые координаты на торе $T^{n}, \varphi \in \mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$.
б) $\omega=\sum d \varphi_{i} \wedge d s_{i}$.
в) Переменные действия $s_{i}$ являются функциями от интегралов $f_{1}, \ldots, f_{n}$.
2) В переменных действие-угол гамильтонов поток $v$ выпрямляется на каждом торе Лиувилля из окрестности $U$, т. е. гамильтоновы уравнения принимают вид
\[
\dot{s}_{i}=0, \quad \dot{\varphi}_{i}=q_{i}\left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right), i=1,2, \ldots, n .
\]

Это означает, что на каждом торе поток $v$ задает условно-периодическое движение, а траектории являются прямолинейными обмотками тора (рациональными или иррациональными).

Доказательство.

1) Поскольку функции $f_{1}, \ldots, f_{n}$ попарно коммутируют, они являются первыми интегралами не только потока $v=\operatorname{sgrad} H$, но и каждого из потоков $\operatorname{sgrad} f_{i}$. Следовательно, их совместная поверхность уровня $T_{\xi}$ инвариантна относительно этих потоков и, более того, векторные поля sgrad $f_{1}, \ldots, \operatorname{sgrad} f_{n}$ в силу своей независимости образуют базис в каждой касательной плоскости к $T_{\xi}$. Лагранжевость подмногообразия $T_{\xi}$ следует теперь из формулы $\omega\left(\operatorname{sgrad} f_{i}, \operatorname{sgrad} f_{j}\right)=\left\{f_{i}, f_{j}\right\}=0$.
2) Потоки $\operatorname{sgrad} f_{1}, \ldots, \operatorname{sgrad} f_{n}$ попарно коммутируют, поскольку
\[
\left\{\operatorname{sgrad} f_{i}, \operatorname{sgrad} f_{j}\right\}=\operatorname{sgrad}\left\{f_{i}, f_{j}\right\}=0,
\]

и являются полными. Это позволяет определить на многообразии $M^{2 n}$ действие $\Phi$ абелевой группы $\mathbb{R}^{n}$, порожденное сдвигами вдоль потоков $\operatorname{sgrad} f_{1}, \ldots$, $\operatorname{sgrad} f_{n}$. Это действие можно задать явной формулой. Пусть $g_{i}^{t}$ – диффеоморфизм, сдвигающий все точки многообразия вдоль интегральных траекторий поля $\operatorname{sgrad} f_{i}$ на время $t$. Пусть $\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)$ – точка $\mathbb{R}^{n}$. Тогда
\[
\Phi\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)=g_{1}^{t_{1}} g_{2}^{t_{2}} \ldots g_{n}^{t_{n}} .
\]

Лемма 1.4. Если подмногообразие $T_{\xi}$ связно, то оно является орбитой действия $\Phi$ груплы $\mathbb{R}^{n}$.

Доказательство.
Рассмотрим образ группы $\mathbb{R}^{n}$ в $M$ при следующем отображении
\[
A_{x}:\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right) \rightarrow \Phi\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)(x),
\]

где $x-$ некоторая фиксированная точка из $T_{\xi}$. Поскольку поля $\operatorname{sgrad} f_{i}$ независимы, то это отображение является погружением, т.е. локальным диффеоморфизмом на образ. Итак, образ $\mathbb{R}^{n}$ (то есть орбита точки $x$ ) открыт в $T_{\xi}$. Если допустить, что подмногообразие $T_{\xi}$ не является орбитой группы $\mathbb{R}^{n}$, то оно является объединением по крайней мере двух орбит. Но так как каждая из них открыта, то $T_{\xi}$ оказывается несвязным, что противоречит условию. Лемма доказана.

Лемма 1.5. Орбита действия группы $\mathbb{R}^{n}$, имеющая размерность $n$, является фактор-пространством $\mathbb{R}^{n}$ по некоторой решетке $\mathbb{Z}^{k}$. Если орбита компактна, то $k=n$ и орбита является $n$-мерным тором.
Доказательство.
Каждая орбита $O(x)$ гладкого действия группы является фактор-пространством (= однородным пространством) группы по стационарной подгруппе $H_{x}$ точки $x$. Ясно, что подгруппа $H_{x}$ дискретна, поскольку отображение $A_{x}$ локально является диффеоморфизмом. Напомним, что дискретная подгруппа не имеет точек накопления. В частности, внутри любого ограниченного множества всегда находится лишь конечное число элементов этой подгруппы. Утверждается далее, что $H_{x}$ является решеткой $\mathbb{Z}^{k}$. Доказательство проведем индукцией по $n$.

Пусть $n=1$. Возьмем на прямой ненулевой элемент $e_{1}$ из $H_{x}$, ближайший к нулю. Тогда все остальные элементы из $H_{x}$ ему кратны. В самом деле, если элемент $e$ некратен $e_{1}$, то для некоторого $k$ имеем:
\[
k e_{1}<e<(k+1) e_{1} .
\]

Но тогда элемент $e-k e_{1}$, ближе к нулю, чем $e_{1}$. Получили противоречие.

Пусть $n=2$. В качестве $e_{1}$ выберем ненулевой элемент, ближайший к нулю на плоскости $\mathbb{R}^{2}$ и рассмотрим порожденную им пря-

Рис. 1.1 мую $l\left(e_{1}\right)$ (рис. 1.1). Все элементы из $H_{x}$, лежащие на ней, кратны $e_{1}$. Далее возникают две возможности. Может оказаться, что все элементы из $H_{x}$ уже лежат на прямой $l\left(e_{1}\right)$. Тогда доказательство завершается. Вторая возможность: существуют элементы группы $H_{x}$, не лежащие на $l\left(e_{1}\right)$. Тогда в качестве $e_{2}$ возьмем ненулевой элемент, ближайший к прямой $l\left(e_{1}\right)$. Легко видеть, что такой элемент существует. Утверждается, что все элементы группы $H_{x}$, оказавшиеся в плоскости, натянутой на $e_{1}$ и $e_{2}$, являются их линейными комбинациями с

целыми коэффициентами. Допустим противное и пусть $h$ – элемент из $H_{x}$, не разлагающийся по $e_{1}$ и $e_{2}$ с целыми коэффициентами. Тогда разобьем плоскость на параллелограммы, порожденные $e_{1}$ и $e_{2}$ (рис. 1.2). Элемент $h$ оказывается в одном из них, причем не находится в вершине параллелограмма. Ясно, что сдвинув $h$ на подходнщую целочисленную комбинацию $e_{1}$ и $e_{2}$, мы обнаружим элемент $h^{\prime}$, более близкий к прямой $l\left(e_{1}\right)$, чем $e_{2}$. Получили противоречие.
Продолжая это рассуждение далее по индукции, мы и получаем, что существует базис $e_{1}, \ldots, e_{k}$ в подгруппе $H_{x}$ такой, что каждый ее элемент является однозначной линейной комбинацией векторов базиса с целыми коэффициентами.
Если $k<n$, то фактор-пространство $\mathbb{R}^{n} / \mathbb{Z}^{k}$ является цилиндром, т.е. прямым произведением $T^{k} \times \mathbb{R}^{n-k}$, где $T^{k}-$ $k$-мерный тор. В частности, только при Рис. 1.2 $n=k$ орбита компактна, и тогда она диффеоморфна тору $T^{n}$.
Лемма доказана.
Следовательно, доказан пункт 2 теоремы 1.2.

3) Докажем, что окрестность $U$ тора $T_{\xi}$ является прямым произведением тора $T^{n}$ на диск $D^{n}$.

Этот факт следует из следующей более общей и хорошо известной теоремы. Пусть $f: M \rightarrow N$ – гладкое отображение гладких многообразий и $y$ из $N$ регулярное значение для $f$, то есть во всех точках прообраза $f^{-1}(y)$ ранг $d f$ равен размерности $N$. В частности, $\operatorname{dim} M \geqslant \operatorname{dim} N$. Пусть, кроме того, множество $f^{-1}(y)$ компактно. Тогда существует окрестность $D$ точки $y$ в $N$ такая, что ее полный прообраз $f^{-1}(D)$ диффеоморфен прямому произведению $D \times f^{-1}(y)$. Причем структура прямого произведения согласована с отображением $f$ в том смысле, что отображение $f$ на $D \times f^{-1}(y)$ совпадает с естественной проекцией $D \times f^{-1}(y)$ на $D$. Отсюда следует, в частности, что каждое множество вида $f^{-1}(z)$ при $z \in D$ диффеоморфно $f^{-1}(y)$.

Эта теорема фактически является переформулировкой известной теоремы о неявных функциях.

4) Построение переменных действие-угол. Рассмотрим окрестность $U\left(T_{\xi}\right)=$ $=T_{\xi} \times D^{n}$ тора Лиувилля $T_{\xi}$. Выберем на каждом из торов Лиувилля $T$ некоторую точку $x$, гладко зависящую от тора. Рассмотрим тор $T$ как фактор-пространство $\mathbb{R}^{n} / H_{x}$ и фиксируем в решетке $H_{x}$ базис $e_{1}, \ldots, e_{n}$. Отметим, что этот базис будет гладко зависеть от $x$. Действительно, координаты базисного вектора $e_{i}=$ $=\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)$ являются решениями уравнения $\Phi\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right) x=x$, где $x$ выступает в качестве параметра. По теореме о неявной функции решения этого уравнения гладко зависят от $x$. Отметим, что условия этой теоремы выполнены, поскольку $\frac{\partial}{\partial t_{j}} \Phi(t) x=\operatorname{sgrad} f_{j}(\Phi(t) x)$, а векторные поля $\operatorname{sgrad} f_{j}$ линейно независимы.

Определим теперь угловые координаты на торе $T_{\xi}$ следующим образом. Если $y=\Phi(a) x$, где $a=a_{1} e_{1}+\ldots+a_{n} e_{n} \in \mathbb{R}^{2 n}$, то $\psi_{1}(y)=2 \pi a_{1} \bmod 2 \pi, \ldots, \psi_{n}(y)=$ $=2 \pi a_{n} \bmod 2 \pi$.

Такая система координат на фиксированном торе обладает следующим очевидным свойством: векторные поля $\frac{\partial}{\partial \psi_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial \psi_{n}}$ и $\operatorname{sgrad} f_{1}, \ldots, \operatorname{sgrad} f_{n}$ связаны между собой линейной заменой с постоянными коэффициентами, т. е. $\frac{\partial}{\partial \psi_{i}}=$ $=\sum c_{i k}$ sgrad $f_{k}$.
Запишем снова форму $\omega$ в координатах $\left(f_{1}, \ldots, f_{n}, \psi_{1}, \ldots, \psi_{n}\right)$
\[
\omega=\sum_{i, j} \widetilde{c}_{i j} d f_{i} \wedge d \psi_{j}+\sum_{i, j} b_{i j} d f_{i} \wedge d f_{j}
\]

В этом разложении члены вида $a_{i j} d \psi_{i} \wedge d \psi_{j}$ отсутствуют, поскольку торы Лиувилля являются лагранжевыми. Мы утверждаем, что коэффициенты $\tilde{c}_{i j}$ симплектической формы в точности совпадают с коэффициентами $c_{i j}$ и, в частности, не зависят от $\psi_{1}, \ldots, \psi_{n}$.
Действительно,
\[
\begin{aligned}
\widetilde{c}_{i j} & =\omega\left(\frac{\partial}{\partial f_{i}}, \frac{\partial}{\partial \psi_{j}}\right)=\omega\left(\frac{\partial}{\partial f_{i}}, \sum c_{k j} \operatorname{sgrad} f_{k}\right)= \\
& =\sum c_{k j} \omega\left(\frac{\partial}{\partial f_{j}}, \operatorname{sgrad} f_{k}\right)=\sum c_{k j} \frac{\partial f_{k}}{\partial f_{j}}=c_{i j}=c_{i j}\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right) .
\end{aligned}
\]

Покажем, что функции $b_{i j}$ тоже не зависят от $\left(\psi_{1}, \ldots, \psi_{n}\right)$. Из замкнутости формы $\omega$ вытекает равенство
\[
\frac{\partial b_{i j}}{\partial \psi_{k}}=\frac{\partial c_{k j}}{\partial f_{i}}-\frac{\partial c_{k i}}{\partial f_{j}}
\]

Функция $b_{i j}$ является $2 \pi$-периодической по $\psi_{k}$ (как функция на торе), но, как мы видим, ее производная $\frac{\partial b_{i j}}{\partial \psi_{k}}$ не зависит от $\psi_{k}$. Отсюда следует, что и сама функция $b_{i j}$ не зависит от $\psi_{k}$.

Из этого обстоятельства вытекает еще одно важное следствие. Запишем форму $\omega$ следующим образом $\omega=\left(\sum c_{i j} d f_{j}\right) \wedge d \psi_{i}+\sum b_{i j} d f_{i} \wedge d f_{j}=\sum \omega_{i} \wedge d \psi_{i}+\beta$, где $\omega_{i}=\sum c_{i j} d f_{j}$ и $\beta=\sum b_{i j} d f_{i} \wedge d f_{j}$ – формы на диске $D^{n}$ (не зависящие от $\left(\psi_{1}, \ldots, \psi_{n}\right)$ ). Из замкнутости формы $\omega$ сразу следует, что формы $\omega_{i}$ и $\beta$ тоже являются замкнутыми.

Лемма 1.6. В окрестности $U\left(T_{\xi}\right)$ форма $ь$ является точной, т. е. существует 1-форма $\alpha$ такая, что $d \alpha=\omega$.

Доказательство.
Эта лемма является следствием следующего общего утверждения. Пусть $Y$ подмногообразие в $X$, причем существует отображение $f: X \rightarrow Y \subset X$, гомотопное тождественному отображению id: $X \rightarrow X$. Тогда замкнутая дифференциальная форма $\varkappa$ точна на $X$ тогда и только тогда, когда точна форма $\left.\varkappa\right|_{Y}$. В

нашем случае, когда $X$ – это окрестность тора Лиувилля, а $Y$ – это сам тор Лиувилля, выполнено даже более сильное условие: $\left.\omega\right|_{T_{\xi}}=0$, поскольку тор $T_{\xi}$ лагранжев.Поэтому $\omega$ точна.

То же самое, впрочем, можно доказать явным вычислением. Поскольку формы $\omega_{i}$ и $\beta$ являются замкнутыми формами на диске, то они точны и поэтому существуют функции $s_{i}$ и 1-форма $\varkappa$ на диске $D^{n}$ такие, что $d s_{i}=\omega_{i}$ и $d \varkappa=\beta$. Положим $\alpha=\sum s_{i} d \psi_{i}+\varkappa$. Тогда $d \alpha=\sum d s_{i} \wedge d \psi_{i}+d \varkappa=\omega_{i} \wedge d \psi_{i}+\beta=\omega$.

Рассмотрим функции $s_{1}=s_{1}\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right), \ldots, s_{n}=s_{n}\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)$ и покажем, что они независимы. Действительно, из формулы $\omega=\sum d s_{i} \wedge d \psi_{i}+\beta$ следует, что матрица $\Omega$ симплектической формы $\omega$ имеет вид
\[
\Omega=\left(\begin{array}{ccc}
0 & \vdots & c_{i j} \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
-c_{i j} & \vdots & b_{i j}
\end{array}\right) .
\]

причем $c_{i j}=\frac{\partial s_{i}}{\partial f_{j}}$. Поэтому $\operatorname{det} \Omega=(\operatorname{det} C)^{2}$, и $\operatorname{det} C
eq 0$, где $C-$ матрица Якоби замены $s_{1}=s_{1}\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right), \ldots, s_{n}=s_{n}\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)$. Таким образом, мы можем теперь рассмотреть новую систему независимых координат $\left(s_{1}, \ldots, s_{n}, \psi_{1}, \ldots, \psi_{n}\right)$.

Представим форму $\varkappa$ в виде $\varkappa=g_{i} d s_{i}$ и сделаем еще одну замену $\varphi_{i}=$ $=\psi_{i}-g_{i}\left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right)$. Геометрически это означает, что на торах Лиувилля мы меняем начальные точки отсчета угловых координат. Линии уровня и даже базисные векторные поля угловых координат при этом не меняются.

Покажем, наконец, что система построенных переменных действие-угол $\left(s_{1}, \ldots, s_{n}, \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right)$ является канонической. Имеем
\[
\begin{aligned}
\sum d s_{i} \wedge d \varphi_{i} & =\sum d s_{i} \wedge d\left(\psi_{i}-g_{i}\left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right)\right)= \\
& =\sum d s_{i} \wedge d \psi_{i}+\sum d g_{i}\left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right) \wedge d s_{i}= \\
& =\sum d s_{i} \wedge d \psi_{i}+d \varkappa=\sum d s_{i} \wedge d \psi_{i}+\beta=\omega .
\end{aligned}
\]

Переменные действие-угол построены.
Осталось доказать, что поток $v$ выпрямляется на торе Лиувилля в координатах $\left(s_{1}, \ldots, s_{n}, \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right)$.
Действительно, $\operatorname{sgrad} s_{i}=\frac{\partial}{\partial \varphi_{i}}$, поэтому
\[
\frac{\partial H}{\partial \varphi_{i}}=\operatorname{sgrad} s_{i}(H)=\left\{s_{i}\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right), H\right\}=0,
\]
т.е. $H$ – это функция только от $s_{1}, \ldots, s_{n}$. Следовательно,
\[
v=\operatorname{sgrad} H=\sum_{i} \frac{\partial H}{\partial s_{i}} \operatorname{sgrad} s_{i}=\sum_{i} \frac{\partial H}{\partial s_{i}} \frac{\partial}{\partial \varphi_{i}},
\]

причем коэффициенты $\frac{\partial H}{\partial s_{i}}$ зависят только от переменных действия $s_{1}, \ldots, s_{n}$, т.е. постоянны на торах Лиувилля.
Теорема Лиувилля доказана.

Комментарий. Отметим, что переменные действия $s_{1}, \ldots, s_{n}$ могут быть заданы явной формулой. Пусть $U\left(T_{\xi}\right)=D^{n} \times T^{n}$ – окрестность лиувиллева тора. Фиксируя некоторый базис $e_{1}, \ldots, e_{n}$ в решетке, отвечающей тору $T_{\xi}$, мы тем самым однозначно определяем набор базисных циклов $\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n}$ в фундаментальной группе $\pi_{1}\left(T_{\xi}^{n}\right)=\mathbb{Z}^{n}$. По непрерывности эти циклы могут быть распространены на все лиувиллевы торы из рассматриваемой окрестности.

Сопоставим каждому тору Лиувилля набор вещественных чисел $s_{1}, \ldots, s_{n}$ по следующей формуле
\[
s_{i}=\frac{1}{2 \pi} \oint_{\gamma_{i}} \alpha,
\]

где $\alpha$ – дифференциальная 1-форма в окрестности $U\left(T_{\xi}\right)$ такая, что $d \alpha=\omega$ (обычно $\alpha$ называют формой действия). В результате в $U\left(T_{\xi}\right)$ возникает набор гладких функций
\[
\begin{array}{c}
s_{1}=s_{1}\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right), \\
\ldots \\
s_{n}=s_{n}\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right),
\end{array}
\]

которые совпадают (с точностью до константы) с переменными действия, построенными при доказательстве теоремы Лиувилля. Чтобы в этом убедиться достаточно рассмотреть в качестве $\alpha$ форму $\sum s_{i} d \varphi_{i}$ (см. доказательство теоремы).

Сделаем несколько общих замечаний о переменных действия, которые на самом деле естественно возникают в более общей ситуации, когда мы рассматриваем произвольное гладкое семейство лагранжевых подмногообразий.

Итак, пусть $\left\{L_{f}\right\}$ – гладкое семейство компактных лагранжевых подмногообразий в симплектическом многообразии $M^{2 n}, f$ – параметр этого семейства, принимающий значения в некоторой односвязной области $C \subset \mathbb{R}^{k}$ (или, для простоты, в диске $C=D^{k}$ ). В случае интегрируемой гамильтоновой системы речь идет о лиувиллевых торах, параметризованных значениями первых интегралов $f_{1}, \ldots, f_{n}$.

Пусть $[\gamma]$ – элемент фундаментальной группы $\pi_{1}\left(L_{f}\right)$. Поскольку параметр этого семейства пробегает односвязную область, то мы можем считать, что этот элемент естественным образом фиксирован в фундаментальной группе каждого лагранжева подмногообразия $L_{f}, f \in C$.

Предположим сначала, что форма $\omega$ точна и выберем $\alpha$ такую, что $d \alpha=\omega$. Тогда каждому лагранжеву подмногообразию $L_{f}$ можно сопоставить число $s(f)$ (так называемое действие, отвечающее фиксированному элементу $[\gamma] \in \pi_{1}\left(L_{f}\right)$ ) по формуле
\[
s_{\gamma}(f)=\frac{1}{2 \pi} \oint_{\gamma_{f}} \alpha
\]

где интегрирование ведется по некоторому гладкому циклу $\gamma_{f}$, лежащему на $L_{f}$ и реализующему $[\gamma]$. В результате на пространстве параметров (т.е. на рассматриваемом множестве лагранжевых подмногообразий) возникает функция $s: C \rightarrow \mathbb{R}$, называемая действием (отвечающим $[\gamma]$ ).

Если симплектическая структура точной не является, то аналогичная конструкция может быть получена так. Рассмотрим семейство подмногообразий $\left\{L_{f}\right\}$ как семейство вложений, т.е. как отображение $F: L \times C \rightarrow M^{2 n}$, где $\left.F\right|_{L \times\{f\}}: L \times\{f\} \rightarrow M^{2 n}$ – вложение, образом которого является $L_{f}$. Тогда, несмотря на то, что форма $\omega$ не точна на $M^{2 n}$, форма $F^{*} \omega$ нвляется точной на $L \times C$ и мы можем перенести конструкцию на $L \times C$, снова положив
\[
s_{\gamma}(f)=\frac{1}{2 \pi} \oint_{\gamma_{f}} \alpha
\]

где $\alpha$ – 1-форма на $L \times C$ такая, что $d \alpha=F^{*} \omega$, а $\gamma_{f}$ – цикл на $L \times\{f\}$.
Отметим некоторые общие свойства действия $s_{\gamma}(f)$.
Во-первых, значение действия на лагранжевом подмногообразии не зависит от выбора цикла $\gamma_{f}$ в его гомотопическом классе. Это сразу следует из того, что форма $\alpha$, ограниченная на лагранжево подмногообразие является замкнутой, поскольку $d\left(\left.\alpha\right|_{L_{f}}\right)=\left.\omega\right|_{L_{f}}=0$. Во-вторых, действие $s_{\gamma}(f)$ определено с точностью до аддитивной постоянной. Это связано с неоднозначностью выбора формы $\alpha$. Действительно, пусть $d \alpha=d \alpha^{\prime}=\omega$. Это означает, что $\alpha^{\prime}=\alpha+\beta$, где $\beta-$ некоторая замкнутая форма. Тогда
\[
s_{\gamma}^{\prime}(f)=\frac{1}{2 \pi} \oint_{\gamma_{f}} \alpha^{\prime}=\frac{1}{2 \pi} \oint_{\gamma_{f}} \alpha+\frac{1}{2 \pi} \oint_{\gamma_{f}} \beta=s_{\gamma}(f)+\frac{1}{2 \pi} \oint_{\gamma_{f}} \beta .
\]

Пусть $L_{f_{1}}$ и $L_{f_{2}}$ – два различных лагранжевых подмногообразия из рассматриваемого семейства. Тогда
\[
\oint_{\gamma_{f_{1}}} \beta=\oint_{\gamma_{f_{2}}} \beta=\text { const, }
\]

поскольку циклы $\gamma_{f_{1}}$ и $\gamma_{f_{2}}$ гомологичны в $M^{2 n}$. Таким образом, действия $s_{\gamma}$ и $s_{\gamma}^{\prime}$ отличаются на константу, которая зависит от формы $\beta$, но не зависит от лагранжева подмногообразия из рассматриваемого семейства.

Отметим, наконец, одно важное свойство действия в случае лиувиллева слоения интегрируемой гамильтоновой системы.

Предложение 1.10. Пусть $U\left(T_{\xi}\right)=D^{n} \times T^{n}$ – окрестность лиувиллева тора интегрируемой гамильтоновой системы. Фиксируем некоторый нетривиальный цикл $\gamma$ на каждом из лиувиллевых торов, непрерывно зависящий от тора, и рассмотрим отвечающую ему функцию действия
\[
s_{\gamma}\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)=\frac{1}{2 \pi} \oint_{\gamma} \alpha,
\]

где интегрирование ведется по циклу $\gamma$, лежащему на торе, отвечающем данным значениям $f_{1}, \ldots, f_{n}$ первых интегралов. Тогда все траектории гамильтонова векторного поля sgrad $s_{\gamma}$ замкнуты с одинаковым периодом $2 \pi$ и гомологичны циклу $\gamma$.

Доказательство.
Без ограничения общности можно считать, что цикл $\gamma$ совпадает с циклом $\gamma_{1}$, отвечающим первой угловой координате $\varphi_{1}$ в системе переменных действие-угол $\left(s_{1}, \ldots, s_{n}, \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right)$. В частности, $s_{\gamma}=s_{1}$. Тогда, как нетрудно проверить, $\operatorname{sgrad} s_{\gamma}=\frac{\partial}{\partial \varphi_{1}}$ и утверждение становится очевидным.