Подобно тому, как выше было введено понятие семьи молекулы, мы введем сейчас еще одно аналогичное понятие – понятие радикала, как части молекулы.

Напомним, что ребра молекулы с конечными $r$-метками мы называем конечными, а ребра с бесконечными $r$-метками – бесконечными.
Определение 8.4. Бесконечные ребра, векторы вращения которых $R$ бесконечны, т. е. состоят только из бесконечных компонент, назовем супербесконечными.

Во избежание путаницы термин «бесконечное ребро»мы в дальнейшем будем употреблять только для ребер, не являющихся супербесконечными.

Разрежем молекулу $W^{*}$ по всем конечным и бесконечным ребрам, не являющимися супербесконечными. В результате молекула распадется в несвязное объединение некоторых подграфов двух типов: атомы $A$ и куски, не содержащие ни одного атома $A$. Дело в том, что ребра, инцидентные атому $A$, не могут быть супербесконечными. Это вытекает из того, что крайние компоненты вектора вращения, инцидентные с $A$, обязаны быть конечными. См. определение допустимого $t$-оснащения в параграфе 5 .
Определение 8.5. Радикалами будем называть связные куски второго типа, т.е. отличные от $A$. Будем обозначать радикал буквой $U$.

Отметим, что все ребра, целиком входящие в радикал, являются супербесконечными. Каждая семья молекулы распадается в сумму некоторого числа радикалов. Однако существуют радикалы, не содержащиеся ни в одной семье.

Рассмотрим произвольный радикал $U$ молекулы $W^{*}$ и все ребра, инцидентные с ним, т.е. такие, что хотя бы один их конец принадлежит радикалу. Ребра, целиком содержащиеся в радикале, т.е. супербесконечные ребра, естественно назвать внутренними ребрами радикала. Остальные инцидентные с ним ребра назовем внешними по отношению к данному радикалу. Они ему не принадлежат. Каждому ребру $e_{j}$, инцидентному с радикалом $U$, сопоставим целое число $[\theta]_{j}$ по следующему правилу:

Здесь $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ – коэффициенты матрицы склейки на соответствующем ребре, а $M R^{+}$и $M R^{-}$- средние арифметические конечных компонент соответствующих векторов вращения. Через [.] обозначена целая часть числа.
Ясно, что набор чисел $[\theta]$ является функцией избыточного оснащения.

Определение 8.6. $b$-инвариантом радикала $U$ называется число
\[
b(U)=\sum_{j}[\theta]_{j} .
\]

Это определение в точности аналогично определению $n$-метки, данному в параграфе 3 главы 4 . В действительности эти инварианты тесно связаны между собой. См. об этом ниже. При определении инварианта $b$ мы использовали ту же самую идею: каждое входящие в него слагаемое изменяется при замене трансверсальных сечений на некоторое конечное число, однако, слагаемые подобраны таким образом, чтобы общая сумма не менялась.

Действительно, посмотрим как меняются компоненты $[\theta]$ при замене трансверсального сечения для атомов, принадлежащих радикалу. Из предложения 8.2 сразу следует, что изменение происходит по следующему простому правилу
\[
[\theta]_{n}^{\prime}=[\theta]_{n}+k_{n},
\]

где индекс $n$ нумерует ребра, инцидентные атому $V_{c}$, а $k_{n}$ являются коэффициентами различающих 2 -коцепи $k_{c}$. Если мы рассматриваем коэффициент $[\theta]_{j}$, стоящий на внутреннем ребре радикала, то для него нужно учитывать оба коэффициента $k_{j}^{+}, k_{j}^{-}$, стоящие на начале и конце ребра, т.е.
\[
[\theta]_{j}^{\prime}=[\theta]_{j}+k_{j}^{+}+k_{j}^{-} .
\]

Условимся записывать все это семейство соотношений как
\[
[\theta]^{\prime}=[\theta]+q,
\]

где $q=\left(k_{c_{1}}, \ldots, k_{c_{p}}\right)$ – набор различающих 2 -коцепей для всех атомов, входящих в семью.

Если замена сечения происходит на атомах, не входящих в данный радикал, то никаких изменений не происходит.

Поскольку каждая 2 -коцепь $k_{c}$ является кограницей, то сумма ее коэффициентов равна нулю. Отсюда следует, что сумма всех $[\theta]_{j}$ по всем ребрам радикала не изменилась. Инвариантность $b$ по отношению к действию группы замен $G \mathbb{P}$ доказана. Согласно первому общему принципу это означает, что $b$ является корректно определенным топологическим траекторным инвариантом системы.

Пусть теперь дана какая-то семья в молекуле $W^{*}$. Как было уже сказано, семья распадается в сумму непересекающихся радикалов. Согласно главе 4 , каждая семья несет на себе целочисленную метку $n$.
Каждый радикал $U$ несет на себе целочисленную метку $b$ ( $b$-инвариант).

Предложение 8.5. Метка п равна сумме $b$-инвариантов всех радикалов, составляющих данную семью.

Замечание. Это соотношение является единственным, которому удовлетворяют $b$-инварианты радикалов. Это означает в действительности, что $b$-инварианты могут принимать произвольные значения независимо друг от друга и других, ранее открытых инвариантов. В этом смысле $b$-инвариант является новым, независимым траекторным инвариантом интегрируемых систем.
Доказательство.
Начнем с того, что дадим полное определение (новой) метки $n$. Пусть $S-$ произвольная семья молекулы. Напомним, что радикалы, составляющие данную семью $S$, получаются из нее разрезанием по бесконечным, но не супербесконечным ребрам. При подсчете метки $n$ каждому такому ребру $e_{k}$ ставится в соответствие число $-\frac{\gamma_{k}}{\alpha_{k}}$. С точки зрения радикалов этому же ребру ставятся в соответствие два числа
\[
\left[M R_{k}^{+}\right] \quad \text { и } \quad-\left[-M R_{k}^{+}\right] .
\]

Заметим теперь, что две функции вращения $\rho^{-}$и $\rho^{+}$на бесконечном (или на супербесконечном) ребре связаны соотношением:
\[
\rho^{-}=-\rho^{+}-\frac{\gamma}{\alpha} \text {. }
\]

Следовательно, $M R^{-}=-M R^{+}-\frac{\gamma}{\alpha}$.
Отсюда получаем, что
\[
\left[M R_{k}^{+}\right]-\left[-M R_{k}^{-}\right]=-\frac{\gamma_{k}}{\alpha_{k}} .
\]

Таким образом, при переходе от семьи $S$ к сумме составляющих ее радикалов, каждое число $-\frac{\gamma_{k}}{\alpha_{k}}$ (стоявшее на бесконечном, но не супербесконечном ребре) распадается в сумму двух чисел
\[
\left[M R_{k}^{+}\right] \text {и } \quad-\left[-M R_{k}^{-}\right] .
\]

На всех остальных ребрах семьи вообще никаких изменений при этом не происходит. Следовательно, общая сумма чисел вида $[\theta]_{k}$ не изменится. Предложение доказано.