Построение этого инварианта мы начнем со следующего полезного замечания. Если внимательно посмотреть на формулы преобразования избыточного $t$-оснащения под действием группы замен $G \mathbb{P}$ (предложение 8.2), то легко заметить, что почти во всех формулах принимает участие различающая 2 -коцепь $k_{c}$. Исключение составляет только закон измения $Z$-инварианта. Оказывается, небольшой модификацией $Z$-инварианта можно добиться того, чтобы он, как и все остальные инварианты, менялся с помощью различающей 2 -коцепи $k_{c}$, а не 1 -коцепи $m_{c}$. Это изменение позволит нам на самом деле несколько упростить группу $G \mathbb{P}$, заменив $\mathbb{M}$ на $\mathbb{K}=\delta \mathbb{M}$.

Это обстоятельство имеет вполне содержательную интерпретацию: для подсчета инвариантов нам нужны не сами трансверсальные сечения, а лишь их границы, т.е. допустимые системы координат на граничных торах.

Итак, рассмотрим следующую конструкцию. Пусть $P_{t r}$ – некоторое трансверсальное сечение в 3 -атоме $Q_{c}$. По этому сечению однозначно строится $Z$-инвариант рассматриваемой системы $Z_{c} \in H_{1}\left(\widetilde{P}_{c}, \mathbb{R}\right)$. Рассмотрим проекцию
\[
\xi: H_{1}\left(\widetilde{P}_{c}, \mathbb{R}\right) \rightarrow H_{1}\left(\widetilde{P}_{c}, S^{1}\right)=H_{1}\left(\widetilde{P}_{c}, \mathbb{R}\right) / H_{1}\left(\widetilde{P}_{c}, \mathbb{Z}\right),
\]

и образ $Z$-инварианта $\xi\left(Z_{c}\right) \in H_{1}\left(\widetilde{P}_{c}, S^{1}\right)$. Мы утверждаем, что при замене $Z_{c}$ на $\xi\left(Z_{c}\right)$ мы никакой информации о системе не тернем. Действительно, рассмотрим произвольные замены трансверсальной площадки $P_{t r}$, которые не меняют ее границы. Это в точности означает, что различающая 2 -коцепь $k_{c}$ в этом случае равна нулю или, что то же самое, различающая 1 -цепь $m_{c}$ является коциклом с точки зрения поверхности $\widetilde{P}_{c}$. Что произойдет при такой замене с элемента-

ми избыточного $t$-оснащения? Согласно предложению 8.2 изменения коснутся лишь $Z$-инварианта:
\[
Z_{c} \rightarrow Z_{c}+\phi_{2}\left(m_{c}\right) .
\]

Однако мы знаем, что для коциклов отображение $\phi_{2}$ является двойственностью Пуанкаре. Поэтому в результате $Z_{c}$ изменится на целочисленный цикл, а класс $\xi\left(Z_{c}\right)$, следовательно, останется прежним. Отметим, что любой целочисленный цикл может быть реализован путем подбора соответствующего коцикла $m_{c}$. Тем самым никакой информации мы не потеряли.

Отметим, наконец, что при произвольных заменах трансверсального сечения класс $\xi\left(Z_{c}\right)$ меняется по следующему естественному закону, в котором участвует уже лишь $k_{c}$, а не $m_{c}$ (сравните с предложением 8.2):
\[
\xi\left(Z_{c}\right)^{\prime}=\xi\left(Z_{c}\right)+\widetilde{\phi}_{2}\left(k_{c}\right),
\]

где $\widetilde{\phi}_{2}: B^{2}\left(\widetilde{P}_{c}, \mathbb{Z}\right) \rightarrow H_{1}\left(\widetilde{P}_{c}, S^{1}\right)$ однозначно определяется из условия коммутативности следующей диаграммы
\[
\begin{array}{l}
C^{\mathbf{1}}\left(\widetilde{P}_{c}, \mathbb{Z}\right) \xrightarrow{\phi_{2}} H_{1}\left(\widetilde{P}_{c}, \mathbb{R}\right) \\
\delta B^{2}\left(\widetilde{P}_{c}, \mathbb{Z}\right) \xrightarrow{\downarrow} \widetilde{\phi}_{2} H_{1}\left(\widetilde{P}_{c}, S^{1}\right) \\
\end{array}
\]

Этот оператор определен корректно, поскольку, как мы только что показали $\xi \phi_{2}(\operatorname{ker}(\delta))=0$.

Рассмотрим снова радикал $U$ и произвольный набор различающих 2-коцепей $q=\left(k_{c_{1}}, \ldots, k_{c_{p}}\right)$ для атомов, входящих в данный радикал.

Возьмем теперь какое-то избыточное $t$-оснащение молекулы $W$ и извлечем из него для данного радикала $U$ следующие два набора элементов. Если $V_{c_{1}}, \ldots, V_{c_{p}}$ – атомы радикала $U$, то рассмотрим наборы
\[
\Delta=\left(\Delta_{c_{1}}, \ldots, \Delta_{c_{p}}\right) \text { и } Z=\left(Z_{c_{1}}, \ldots, Z_{c_{p}}\right),
\]

где $\Delta_{c_{i}}, Z_{c_{i}}-\Delta$ – и $Z$-инварианты, отвечающие атому $V_{c_{i}}$, и кроме того рассмотрим набор целых чисел $[\theta]$, стоящих на ребрах радикала, определенный выше.

Как мы уже договорились, $Z$-инварианты мы будем теперь рассматривать по модулю целочисленных коциклов. Условно мы запишем это как
\[
\xi(Z)=\left(\xi\left(Z_{c_{1}}\right), \ldots, \xi\left(Z_{c_{p}}\right)\right) .
\]

Для краткости мы условимся обозначать набор $\left\{\phi_{1}^{\prime}\left(k_{c_{1}}\right), \ldots, \phi_{1}^{\prime}\left(k_{c_{p}}\right)\right\}$ через $\phi_{1}^{\prime}(q)$. Аналогично, $\tilde{\phi}_{2}(q)=\left\{\tilde{\phi}_{2}\left(k_{c_{1}}\right), \ldots, \widetilde{\phi}_{2}\left(k_{c_{p}}\right)\right\}$ Операторы $\phi_{1}^{\prime}, \tilde{\phi}_{2}$ для каждого оператора были определены выше.
Рассмотрим множество всех троек вида $(\Delta, Z,[\theta])$.

Определение 8.8. Два набора ( $\Delta, Z,[\theta])$ и $\left(\Delta^{\prime}, Z^{\prime},[\theta]^{\prime}\right)$ назовем эквивалентными, если существует набор различающих 2 -коцепей $q$ такой, что
\[
\begin{aligned}
q & =[\theta]^{\prime}-[\theta], \\
\phi_{1}^{\prime}(q) & =\Delta-\Delta^{\prime}, \\
\widetilde{\phi}_{2}(q) & =\xi(Z)-\xi(Z)^{\prime} .
\end{aligned}
\]

Инвариантом $\widetilde{\Delta} \tilde{Z}[\widetilde{\theta}]$ интегрируемой системы на данном радикале $U$ мы назовем класс эквивалентности тройки $\Delta, Z,[\theta]$, построенной по избыточному $t$-оснащению молекулы $W$.

Докажем инвариантность, пользуясь первым принципом. Подействуем на тройку $(\Delta, Z,[\theta])$ некоторым элементом группы замен $G \mathbb{P}$. Получим некоторую новую тройку $\left(\Delta^{\prime}, Z^{\prime},[\theta]^{\prime}\right)$. Нам достаточно показать, что они эквивалентны в смысле определения 8.8. Каждому элементу группы замен соответствует набор различающих 2 -коцепей $\mathbb{K}=\left\{k_{c}\right\}$. Возьмем в качестве 1 -цепи $q$ на радикале $U$ набор различающих 2-коцепей, отвечающих атомам радикала: $q=\left\{k_{c_{1}}, \ldots, k_{c_{p}}\right\}$. Тогда для этого набора все соотношения будут, очевидно, выполнены.

Итак, все необходимые траекторные инварианты интегрируемых систем построены.
Комментарий. Отметим некоторую тяжеловесность последнего инварианта. Возникает естественный вопрос: можно ли было определить эти инварианты с помощью «простых явных формул»? Оказывается, в самом общем случае таких «простых» формул нет. Дело в том, что пространство орбит действия группы замен $G \mathbb{P}$ может быть нехаусдорфовым для молекул определенных типов. Поэтому непрерывных функций, различающих орбиты, может не существовать.

То, что мы сделали в этом параграфе, можно назвать попыткой разделить действие очень большой группы на очень большом пространстве на несколько различных действий меньших групп на отдельных кусках молекулы. Этими кусками в данном случае оказались радикалы молекулы. Другими словами, мы попытались разложить действие на «неприводимые компоненты». Согласно третьему принципу построения инвариантов для систем разных типов мы можем действовать по-разному, выбирая полный набор инвариантов, и ниже мы покажем, как это можно делать в некоторых частных случаях, когда можно предъявить «явные формулы» для инвариантов.