Рассмотрим произвольный $f$-граф Г. Если рассмотреть его как топологическое пространство, то над ним можно рассмотреть всевозможные накрытия. При этом можно считать, что накрывающее пространство $\widetilde{\Gamma}$ также является $f$-графом. Действительно, на накрывающем пространстве $\widetilde{\Gamma}$ можно единственным образом расставить стрелки так, чтобы проекция накрытия была отображением $f$-графов в смысле определения 2.18. Отметим, что «наверху» нужно ориентировать те ребра, которые накрывают ориентированные ребра базы $\Gamma$.

Теорема 2.10.

а) Для каждого $f$-графа $\Gamma$ существует единственное универсальное накрывающее пространство $D$, являющееся бесконечным $f$-графом. Причем, этот универсальный $f$-граф один и тот же для всех $f$-графов. Другими словами, универсальные накрытия над любыми двумя $f$-графами изоморфны как бесконечные $f$-графы.
б) Этот универсальный $f$-граф является бесконечным деревом $D$ с вериинами степени три (рис. 2.38). С каждой вершиной инцидентно одно неориентированное ребро, одно входящее ориентированное ребро и одно выходящее ориентированное ребро.
в) Группа собственных симметрий $\operatorname{Sym}(D)$ универсального $f$-графа $D$ изоморфна группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$. Ее действие устроено так. Пусть $x_{0}$ – отмеченная вериина дерева $D$. Тогда образующая $b$ бесконечного порядка в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$ переводит вериину $x_{0}$ в другой конец единственного ориентированного ребра, выходящего из вершины $x_{0}$. Образующая а второго порядка в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$ переводит вериину $x_{0}$ в другой конец неориентированного ребра, инцидентного с вершиной $x_{0}$. После этого действие образующих а и в на всех других вериинах $x$ дерева $D$ определяется уже однозначно.
Рис. 2.38
Рис. 2.39

Доказательство.
Докажем пункты (а) и (б). Если забыть об ориентации части ребер $f$-графа, то ясно, что универсальное накрывающее пространство над ним есть дерево, все вершины которого имеют степень 3. Это вытекает из обычной теории накрытий. Очевидно, что существует единственный способ ориентировать часть ребер этого дерева так, чтобы это дерево стало бесконечным $f$-графом, а отображение накрытия являлось отображением $f$-графов. Это доказывает пункты (а) и (б) теоремы.

Докажем теперь пункт (в). Структура любого $f$-графа, в частности бесконечного $f$-графа $D$, такова, что любая его собственная симметрия однозначно определяется, если задан образ хотя бы одной вершины при этой симметрии. Таким образом, если фиксировать некоторую вершину данного $f$-графа $\Gamma$, то множество его собственных симметрий находится во взаимно-однозначном соответствии с множеством возможных образов этой вершины. Отметим, что для произвольного $f$-графа группа его собственных симметрий, вообще говоря, не действует транзитивно на множестве вершин.

Фиксируем на $f$-графе $D$ некоторую вершину $x_{0}$. Очевидно, вершина $x_{0}$ может быть переведена некоторой собственной симметрией в любую другую вершину $x$. Поскольку $D$ является деревом, то существует единственный путь в $f$-графе $D$, соединяющий вершину $x_{0}$ с вершиной $x$. Этот путь можно однозначно записать в виде слова, составленного из букв $a, b$ и $b^{-1}$, где буква a означает проход вдоль неориентированного ребра дерева, буква $b$ – проход вдоль стрелки ориентированного ребра, а буква $b^{-1}$ – проход по ориентирован-

Рис. 2.40 ному ребру, но в направлении, противоположном стрелке на ребре. См. рис. 2.39. Здесь у каждой вершины указано слово, изображающее путь от выделенной вершины $x_{0}$ до данной вершины. С другой стороны, как мы уже доказали, любой точке $x$ дерева $D$ отвечает некоторая собственная симметрия дерева $D$, при которой выделенная точка $x_{0}$ переходит в данную точку $x$. Сопоставляя эти два факта, получаем взаимно-однозначное соответствие между собственными симметриями дерева $D$ и описанными выше словами в алфавите $a, b, b^{-1}$. При этом буква $a$ будет отвечать образующей второго порядка группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, а буква $b$ – образующей бесконечного порядка группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$. Осталось проверить, что композиции двух собственных симметрий отвечает приписывание одного слова к другому. Доказательство этого факта стандартное, и следует из рис. 2.40. Отметим здесь, что при движении вдоль пути нужно выписывать буквы алфавита в обычном порядке. А получившееся слово интерпретируется как композиция симметрий дерева, когда каждая следующая симметрия приписывается, как обычно, слева от предыдущей. Утверждение (в) доказано. Теорема 2.10 полностью доказана.

Таким образом, возникает некоторое действие группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$ на графе $D$. Отметим, что фактор-пространство дерева $D$ по действию этой группы, – т.е. пространство орбит этого действия, – является букетом отрезка и окружности (рис. 2.41). Отметим, что граф-дерево $D$ не является накрытием над этим букетом, так как действие группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$ не свободно на $D$. Дело в том, что преобразования Рис. 2.41 вида $\mathrm{gag}^{-1}$, – то есть сопряженные образующей $a$, или другими словами, все элементы второго порядка в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, 一 обязательно имеют ровно одну неподвижную точку на дереве. Эта точка является серединой неориентированного ребра. Вообще, как легко видеть, любая инволюция на дереве обязательно имеет неподвижную точку. Отметим, что проекция дерева $D$ на $D / \mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, т.е. на букет окружности и отрезка, является бесконечнолистным накрытием над всеми точками букета кроме единственной точки – свободного конца отрезка (рис. 2.41).

Таким образом, все $f$-графы расположены между максимально развернутым $f$-графом, то есть – деревом $D$, и максимально свернутым графом $D / \mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, то есть – букетом окружности и отрезка. Мы хотим описать в терминах факторпространства $D$ все $f$-графы. Отметим, что граф $D / \mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, 一 то есть букет окружности и отрезка, 一 на самом деле $f$-графом не является.

Рассмотрим теперь произвольный $f$-граф Г. Поскольку универсальное накрытие над ним является деревом $D$, что мы уже доказали выше, то $\Gamma=D / G$, где $G$ – подгруппа группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, свободно действующая на дереве $D$. Это означает, что граф Г получается из дерева $D$ путем его факторизации по свободному действию группы $G$.

Предложение 2.5.

а) Пусть $\Gamma=D / G$ – некоторый $f$-граф. Тогда группа $G$ естественно изоморфна фундаментальной аруппе графа $\Gamma$.
б) Группа $G$ также естественно изоморфна фундаментальной группе самого атома $V$.
в) Атом $V$ и f-граф Г гомотопически эквивалентны.
Доказательство очевидно следует из определения $f$-графа.

Предложение 2.6. Подгруппа $G$ группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}=\operatorname{Sym}(D)$ свободно действует на дереве $D$ тогда и только тогда, когда в ней нет элементов конечного порядка, то есть нет элементов, сопряженных элементу а второго порядка.

Доказательство.
В одну сторону это утверждение уже доказано выше, а именно, из свободности действия следует, что нет элементов второго порядка. Обратно, нужно проверить, что если нет элементов второго порядка, то действие свободное. Допустим противное, что для какой-то нетривиальной симметрии нашлась неподвижная точка. Тогда она может быть только серединой неориентированного ребра. Поскольку неподвижность любой другой точки очевидно влечет за собой тождественность всего преобразования. Дело в том, что тогда обязательно найдется неподвижная вершина дерева. Пусть теперь середина какого-то неориентированного ребра $e$ является неподвижной точкой некоторой симметрии $h$. Тогда эта симметрия $h$ обязательно имеет вид $\mathrm{gag}^{-1}$, где $g$ – элемент группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, переводящий отмеченную точку $x_{0}$ в один из концов ребра $e$. В самом деле, легко проверить, что преобразование $\mathrm{gag}^{-1}$ оставляет на месте середину ребра $e$. Тогда оно должно совпадать с $h$ на концах ребра $e$, а следовательно, совпадает с ним всюду. То есть $h=g a g^{-1}$. Тем самым, предложение доказано.