Итак, все гладкие инварианты описаны и мы можем сформулировать теорему гладкой классификации гамильтоновых потоков на атоме.

Потребуем сначала, чтобы при сопрягающем диффеморфизме сохранялся гамильтониан системы. Тогда мы попросту можем считать, что нам даны две системы на одной и той же поверхности $P$ и с одним и тем же гамильтонианом $f$, однако симплектические структуры для этих систем различны.
Теорема 7.1. Пусть на 2-атоме $P$ заданы два гамильтоновых потока $\sigma_{1}^{t}$ и $\sigma_{2}^{t}$ (с одним и тем же гамильтонианом, но с разными симплектическими структурами). Пусть соответствующие функции периода, $\Lambda^{*}$-инварианты и $Z^{*}$-инварианты совпадают. Тогда потоки $\sigma_{1}^{t}$ и $\sigma_{2}^{t}$ гладко сопряжены, т. е. существует диффеоморфизм $\xi: P \rightarrow P$ такой, что $\xi \circ \sigma_{1}^{t}=\sigma_{2}^{t} \circ \xi$. При этом диффеоморфизм $\xi$ может быть выбран сохраняющим гамильтониан.
Доказательство.
Во-первых, отметим, что совпадение $\Lambda^{*}$-инвариантов гарантирует существование сопрягающего диффеоморфизма $\xi$ в окрестности каждой особой точки гамильтониана, при этом диффеоморфизм может быть выбран сохраняющим гамильтониан. Наша задача теперь – сшить эти локальные диффеоморфизмы в

единый диффеоморфизм, определенный на всей поверхности $P$. Это действительно можно сделать, поскольку функции периодов совпадают.

Выберем для каждой вершины $S_{j}$ графа $K$ канонический крест $U_{1}\left(S_{j}\right)$ в смысле потока $\sigma_{1}^{t}$ и рассмотрим локальный сопрягающий диффеоморфизм в окрестности этой вершины. Пусть $U_{2}\left(S_{j}\right)=\xi\left(U_{1}\left(S_{j}\right)\right)$ – образ креста $U_{1}\left(S_{j}\right)$. Ясно, что $U_{2}\left(S_{j}\right)$ является каноническим крестом для потока $\sigma_{2}^{t}$. В результате мы получаем два разбиения поверхности $P$ на «канонические кресты» и «прямугольники», отвечающие двум рассматриваемым гамильтоновым потокам. Для каждого из прямоугольников определена его ширина, т.е. функция вида $m_{i}(f)$ (см. выше построение инварианта $m^{*}$ ). Обозначим в нашем случае эти функции через $m_{1 i}(f)$ и $m_{2 i}(f)$, где $m_{k i}(f)$ – «ширина» прямоугольника на $i$-ом ребре графа $K$, отвечающего $k$-ой системе (разумеется, «ширина» понимается в смысле этой же системы), $k=1,2$. Эти разбиения, в частности, определяют коцепи $m_{1}^{*}$ и $m_{2}^{*}$.
Рис. 7.6
Когда можно продолжить локальные диффеоморфизмы $\xi_{j}$ до глобального сопрягающего диффеоморфизма, определенного на всем атоме? Очевидно, это можно сделать тогда и только тогда, когда $m_{1 i}(f) \equiv m_{2 i}(f)$ для любого $i$. Оказывается, этого легко можно добиться изменением локальных диффеоморфизмов $\xi_{j}$. Действительно, вместо диффеоморфизмов $\xi_{j}$ мы можем рассмотреть сопрягающие диффеоморфизмы вида $\mathcal{A}_{g} \circ \xi_{j}$, где как и выше,
\[
\mathcal{A}_{g}=\sigma_{2}^{g(f(x))}(x)
\]

и $g$ – некоторая гладкая функция. В результате мы можем изменить коцепь $m_{2}^{*}$ на произвольную кограницу и тем самым добиться того, что $m_{1}^{*}=m_{2}^{*}$.

Это означает, что мы добились того, что функции $m_{1 i}(f)$ и $m_{2 i}(f)$ почти совпадают, более точно, совпадают их тейлоровские разложения в нуле.

Теперь нужно уравнять эти функции тождественно. Эту процедуру можно провести на каждом кольце атома $P$ по отдельности. Для этого достаточно воспользоваться следующими преобразованиями канонических крестов. Рассмотрим крест $U_{2}\left(S_{j}\right)$ (рис. 7.6).

Траектории, входящие и выходящие из вершины $S_{j}$, делят этот крест на четыре куска. Рассмотрим $C^{\infty}$-гладкую функцию, которая на трех из этих кусков тождественно равна нулю, а на четвертом имеет вид $h(f)$, где $h$ имеет нуль бесконечного порядка при $f=0$ (например, $h=m_{1 i}(f)-m_{2 i}(f)$. Таким образом, $h(x)$ – гладкая функция в окрестности $U_{2}\left(S_{j}\right)$, являющаяся интегралом потока $\sigma_{2}^{t}$. Рассмотрим теперь преобразование креста $U_{2}\left(S_{j}\right)$, задаваемое формулой
\[
\mathcal{B}_{h}(x)=\sigma_{1}^{h(x)}(x) .
\]

Это преобразование является тождественным на трех из четырех частей креста, а четвертая часть подвергается сдвигу, который вблизи графа $K$ является «почти тождественным». С помощью такого преобразования

мы можем подправлять функции $m_{2 i}(f)$ на каждом кольце, добиваясь равенств $m_{1 i}(f)=m_{2 i}(f)$. Легко видеть, что используя условие совпадения функций периодов, мы можем это сделать одновременно для всех $i$. В результате мы сможем сшить локальные сопрягающие диффеоморфизмы в единый сопрягающий диффеоморфизм, что и требовалось. Теорема доказана.

Комментарий. Доказательство теоремы 7.1 может быть получено другим способом. Идея состоит в том, чтобы сравнивать не сами гамильтоновы потоки $\sigma_{1}^{t}$ и $\sigma_{2}^{t}$, а соответствующие им симплектические структуры $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ на поверхности $P$ (если гамильтонианы фиксированы, то эти задачи эквивалентны). Далее диффеоморфизм $\xi$, переводящий $\omega_{1}$ в $\omega_{2}$, может быть построен с помощью метода, предложенного Мозером в [337]. При этом, однако, нужно следить за сохранением гамильтониана. Эта идея была реализована Б. С. Кругликовым [98], получившим также некоторые обобщения теоремы 7.1 (в частности, на случай гладкости $C^{k}$ ). В работе Dufour J.-P., MolinoP., Toulet A. [274] был исследован тесно связанный с нашей задачей вопрос о классификации троек $\left(P^{2}, \omega, \mathcal{F}\right)$, где $\omega$ – симплектическая структура на поверхности $P^{2}$, а $\mathcal{F}$ – одномерное слоение с особенностями, порожденное некоторой функцией Морса на $P^{2}$.

Как теперь отказаться от условия сохранения гамильтониана? Достаточно посмотреть, что будет происходить с инвариантами фиксированной гамильтоновой системы, если ее гамильтониан мы будем менять (меняя одновременно и симплектическую структуру, но оставляя систему неизменной). В принципе, мы можем сформулировать явно некоторое формальное правило изменения инвариантов. Например, для $\Lambda^{*}$-инварианта это будет формальное сопряжение степенных рядов. Остальные инварианты также могут быть представлены в виде некоторых степенных рядов, и для них тоже можно указать закон формального сопряжения. В результате окончательная формулировка теоремы классификации будет такой: две гамильтоновы системы $w_{1}$ и $w_{2}$ на атоме гладко сопряжены тогда и только тогда, когда наборы их инвариантов $\left(\Lambda_{1}^{*}, \Delta_{1}^{*}, Z_{1}^{*}\right)$ и $\left(\Lambda_{2}^{*}, \Delta_{2}^{*}, Z_{2}^{*}\right)$ сопряжены формально.

Однако правило формального сопряжения будет довольно громоздким, поэтому мы поступим иначе и еще раз напомним метод, позволяющий тестировать две заданные системы на сопряженность. Итак, пусть на одном и том же атоме даны две гамильтоновы системы. Рассмотрим функции периодов этих систем на кольцах атома. Фиксируем какое-либо кольцо и сравним функции периодов $\Pi_{1}\left(f_{1}\right)$ и $\Pi_{2}\left(f_{2}\right)$ на этом кольце. Они, разумеется, не обязаны совпадать, поскольку аргументы этих функций (гамильтонианы) никак между собой не связаны. Согласно лемме 7.4 мы можем изменить гамильтонианы $f_{1}$ и $f_{2}$ таким образом, чтобы эти функции приобрели вид
\[
\Pi_{i}\left(f_{i}^{\prime}\right)=-A_{i}\left(f_{i}^{\prime}\right) \ln \left|f_{i}^{\prime}\right|, \quad i=1,2 .
\]

После такой замены гамильтонианов в случае сопряженности систем наборы инвариантов $\left(\Lambda_{1}^{*}, \Delta_{1}^{*}, Z_{1}^{*}\right)$ и $\left(\Lambda_{2}^{*}, \Delta_{2}^{*}, Z_{2}^{*}\right)$ обязаны совпадать. Таким образом, при условии, что какое-то кольцо атома мы считаем выделенным, мы можем определить инварианты гамильтонова потока, которые не будут зависеть от выбора гамильтониана.

Замечание. С формальной точки зрения эта процедура может быть интерпретирована следующим образом. Каждой гамильтоновой системе с заданным гамильтонианом можно поставить в соответствие набор инвариантов. Меняя гамильтониан, мы автоматически меняем эти инварианты. В результате на множестве инвариантов возникает действие «группы замен гамильтонианов». Настоящим инвариантом потока, который не зависит от выбора гамильтониана, является орбита этого действия. Процедура, описанная выше, состоит в точности в том, что для каждой орбиты мы однозначно указываем некоторый представитель. Этот представитель выделяется тем условием, что значение $\Delta^{*}$-инварианта на выделенном кольце равно нулю.
Теперь мы, в частности, можем сказать, сколькими параметрами параметризуется множество классов гладко сопряженных гамильтоновых систем на фиксированном атоме $V=$ $=\left(P^{2}, K\right)$. Напомним, что в топологическом случае это множество было конечномерным. Здесь же, как показывает несложный подсчет, множество классов сопряженности параметризуется формальными степенными рядами в количестве $2 k$ штук, где $k$ – число вершин атома.
Наконец, полезно посмотреть, как устроены эти инварианты в случае простейших атомов. В случае атома $B$ (рис. 7.7) имеется одна вершина, следовательно, инвариантами являются два степенных ряда. Наиболее естественными инвариантами здесь являются функции периодов на кольцах атома. Теорема классификации для этого атома звучит очень естественно: две системы на атоме $B$ гладко сопряжены тогда и только тогда, когда гладко сопряжены функции периодов. Подчеркнем, однако, один существенный момент. В данном контексте гладкая сопряженность означает не только то, что сопрягающие диффеоморфизмы являются гладкими вплоть до нуля (нуль включается), но и то, что эти диффеоморфизмы гладко сшиваются в нуле. Другими словами, все три диффеоморфизма обязаны иметь одно и то же тейлоровское разложение в нуле. Отметим также, что функции периода на разных кольцах не могут выбираться совершенно произвольно друг от друга. Необходимым является следующее условие. Если мы рассмотрим сумму функций периодов по всем отрицательным кольцам и аналогичную сумму – по всем положительным:
\[
\begin{array}{ll}
\Pi^{-}(f)=-A^{-}(f) \ln |f|+B^{-}(f), & f \in\left[-f_{0}, 0\right), \\
\Pi^{+}(f)=-A^{+}(f) \ln |f|+B^{+}(f), \quad f \in\left(0, f_{0}\right],
\end{array}
\]

то тейлоровские разложения функций $A^{-}$и $B^{-}$обязаны совпадать с тейлоровскими разложениями функций $A^{+}$и $B^{+}$соответственно.

Наконец, существует гамильтониан, для которого функция периода на внешнем кольце имеет вид
\[
\Pi_{1}(f)=-A(f) \ln |f| .
\]

Тогда на двух оставшихся кольцах функции периода будут иметь вид
\[
\begin{array}{l}
\Pi_{2}(f)=-\frac{1}{2} A(f) \ln |f|+B(f), \\
\Pi_{3}(f)=-\frac{1}{2} A(f) \ln |f|-B(f),
\end{array}
\]

и корректно определенными инвариантами будут тейлоровские разложения функций $A(f)$ и $B(f)$ в нуле.

Рассмотрим также еще один важный случай атома $C_{2}$ (рис. 7.8 ), который часто встречается в конкретных задачах. Часто на этом атоме бывает определена естественная инволюция (центральная симметрия в $\mathbb{R}^{3}$ относительно начала координат), которая меняет поток на противоположный. В силу такой симметрии $\Lambda^{*}$-инварианты вершин совпадают, так же как и функции периодов на кольцах одного знака. Посмотрим, сколько существенных инвариантов будет в этом случае. Снова выберем гамильтониан так, чтобы на одном из положительных колец функция периода принимала

Рис. 7.8 вид:
\[
\Pi_{1}(f)=-A(f) \ln |f| .
\]

Тогда на втором положительном кольце в силу симметрии функция периода будет такой же
\[
\Pi_{2}(f)=-A(f) \ln |f| .
\]

Опять-таки, в силу симметрии, функции на оставшихся двух отрицательных кольцах будут совпадать:
\[
\begin{array}{l}
\Pi_{3}(f)=-A(f) \ln |f|+B(f), \\
\Pi_{4}(f)=-A(f) \ln |f|-B(f),
\end{array}
\]

Коэффициенты перед логарифмами будут совпадать, поскольку каждое кольцо проходит мимо одних и тех же особых точек. Что же касается конечных частей, то по условию, сформулированному выше, тейлоровское разложение функции $B(f)+B(f)=2 B(f)$ должно быть тождественно нулевым, т.е. функция $B(f)$ является малой бесконечного порядка в нуле и не дает никакого инварианта. Таким образом, при условии симметричности атома и системы на нем гладким инвариантом будет лишь один степенной ряд (ряд Тейлора функции $A(f)$ в нуле).

Наконец, самое последнее замечание состоит в том, что в гладком случае нет никаких нетривиальных ограничений на инварианты (аналогичных тем, которые обсуждались в параграфе 3 главы 6). $\Lambda^{*}$-инвариант может быть совершенно произвольным с единственным условием, что его первый член положителен; на $Z^{*}$-инвариант вообще нет никаких ограничений. Функции периодов $\Pi_{n}(f)$ должны обладать двумя естественными свойствами:
1) коэффициент перед логарифмом должен быть равен сумме $\Lambda^{*}$-инвариантов тех вершин графа, мимо которых проходит кольцо;
2) сумма тейлоровских разложений их конечных частей по положительным кольцам равна аналогичной сумме по отрицательным.