Получив классификацию гамильтоновых систем с точностью до топологической сопряженности в окрестности особого слоя, мы можем теперь классифицировать их в целом на компактной замкнутой двумерной поверхности. К атомным инвариантам нам нужно будет добавить еще лишь несколько естественных инвариантов. Опишем их.

Функция Морса $F$ (гамильтониан системы) расслаивает поверхность $P$ на линии уровня. Ясно, что структура этого одномерного лиувиллева слоения является инвариантом системы. Эта структура может быть описана с помощью некоторого графа, который мы будем называть молекулой $Y$, отвечающей этой функции. См. пример на рис. 6.22. Согласно результатам главы 2 , эта молекула является полным траекторным инвариантом этой гамильтоновой системы на 2 -поверхности.
Рис. 6.22
На каждом ребре молекулы $Y$ поставим стрелку, указывающую направление роста функции $F$. Тем самым, все ребра молекулы получают определенную (и фиксированную) ориентацию. Будем предполагать в дальнейшем, что все ориентации ребер в $Y$ фиксированы (молекулу $Y$ можно называть в таком случае ориентированной).
При топологической сопряженности ориентированные ребра молекулы $Y$ должны переходить в ориентированные ребра молекулы $Y^{\prime}$.

Это следует из того, что мы дополнительно потребовали сохранения ориентации поверхности при сопрягающем гомеоморфизме.

Поверхность $P$ представима в виде склейки некоторого числа атомов $P_{c}^{2}$ (рис. 6.22), т.е. 2-поверхностей с краем, уже изученных нами ранее в главе 2. Каждый атом является трубчатой окрестностью своего графа $K_{c}$, который, в свою очередь, является просто критической линией уровня функции $F$.

Опишем, наконец, последний инвариант, классифицирующий системы на ребре молекулы, т.е. на однопараметрическом семействе замкнутых траекторий.

Пусть $e$ – произвольное ребро молекулы $Y$, т. е. однопараметрическое семейство неособых линий уровня гамильтониана $F$. Каждая из них является интегральной траекторией поля $w$, поэтому определен ее период $\Pi(F)$. В результате на ребре $e$ получаем гладкую функцию $\Pi(F)$. Это одномерный аналог функции
вращения. Ясно, что инвариантом системы является не сама эта функция, а ее класс топологической сопряженности. Так же, как и в случае функции вращения, мы можем задать класс топологической сопряженности этой функции с помощью построенного по ней $R$-вектора, состоящего из последовательных значений этой функции в точках локального минимума и максимума.

Разумеется, это можно сделать только при выполнении некоторых условий на функцию П $(F)$. Поэтому для простоты мы будем предполагать, что все функции периодов $\Pi(F)$ на ребрах молекулы $Y$ имеют конечное число локальных минимумов и максимумов. Тогда $R$-вектор будет корректно определен и будет иметь на каждом ребре молекулы конечное число компонент.

Это условие конечности совершенно естественно. Например, если гамильтониан $F$ – аналитическая функция на вещественно-аналитическом симплектическом 2-многообразии, то и функция периодов $\Pi(F)$ также будет аналитической, следовательно, либо $\Pi(F)$ постоянна, либо удовлетворяет нашему условию конечности. Однако ситуация, когда $\Pi(F)$ постоянна, легко вычленяется в особый (и не очень интересный) случай. В самом деле, если $\Pi(F)$ постоянна на каком-то ребре, то ребро обоими своими концами соединяет два атома $A$ (поскольку при приближении к седловому атому $\Pi(F)$ стремится к бесконечности). Но тогда данная система, как легко видеть, является системой вида $w=c \frac{\partial}{\partial \varphi}$ на двумерной сфере, где $c$ – некоторая постоянная, а $\varphi$ – стандартный полярный угол. Этим замечанием мы фактически классифицировали все такие системы (с точностью до сопряженности).

Впрочем, мы можем отказаться от условия конечности, называя инвариантом класс топологической сопряженности функции периода.

Итак, на каждом ребре молекулы появился еще один естественный инвариант $-R$-вектор соответствующей функции периода $\Pi(F)$ на этом ребре.
Определение 6.8. Рассмотрим гладкую гамильтонову систему $w$ с одной степенью свободы на замкнутой симплектической поверхности $P^{2}$. Сопоставим ей следующий объект
\[
Y^{*}=\{Y, \Lambda, \Delta, Z, R\},
\]

состоящий из ориентированной молекулы $Y$, снабженной $\Lambda$-инвариантом, $\Delta$-инвариантом, $Z$-инвариантом и $R$-инвариантом. Будем называть $Y^{*}$ точной молекулой системы $w$. Будем говорить, что две точные молекулы совпадают, если существует гомеоморфизм одной молекулы на другую, совмещающий все ее перечисленные инварианты.
Теорема 6.3. Пусть даны две гладкие гамильтоновы системы $w$ и $w^{\prime}$ с морсовскими гамильтонианами $F$ и $F^{\prime}$, удовлетворяющими условию конечности на гладких замкнутых компактных ориентируемых симплектических поверхностях $P^{2}$ и ${P^{\prime}}^{2}$. Пусть $Y^{*}$ и $Y^{\prime *}$ – соответствующие им точные молекулы. Тогда эти системы топологически сопряжены тогда и только тогда, когда их точные молекулы совпадают.
Доказательство.
a) Пусть системы $w$ и $w^{\prime}$ топологически сопряжены. Тогда совпадение их точных молекул фактически уже доказано нами выше, так как для каждого из инвариантов было доказано утверждение о его сохранении при топологическом сопряжении. В одну сторону теорема доказана.
б) Обратно, пусть даны две интегрируемые системы $w$ и $w^{\prime}$ с совпадающими точными молекулами. Нужно доказать существование гомеоморфизма поверхности $P^{2}$ на $P^{\prime 2}$, переводящего поток $w$ в поток $w^{\prime}$. Мы знаем, что такой гомеоморфизм существует в окрестности каждого атома (теорема 6.1), и нам остается лишь сшить их на ребрах молекулы в единый гомеоморфизм, сопрягающий потоки. Это, очевидно, можно сделать, поскольку функции периодов на каждой паре соответствующих друг другу ребер сопряжены. Теорема 6.3 доказана.

Сформулируем следствие из этой теоремы для класса так называемых простых интегрируемых гамильтоновых систем с одной степенью свободы. Систему мы назовем простой, если ее гамильтониан $F$ является простой функцией Морса, т.е. на каждом критическом уровне функции $F$ лежит ровно одна критическая точка. В терминах молекул $Y$ это означает, что молекула состоит лишь из атомов типов $A$ и $B$.
Следствие. Рассмотрим класс простых интегрируемых систем с одной степенью свободы. Две системы из этого класса топологически сопряжены тогда и только тогда, когда их молекулы $Y_{1}$ и $Y_{2}$ совпадают, и для каждой пары соответствующих друг другу ребер этих молекул функции периодов топологически сопряжены.