Опишем еще один полезный инвариант особенностей отображения момента $\mathcal{F}$. Пусть $\Sigma$ – бифуркационная диаграмма, расположенная в плоскости $\mathbb{R}^{2}(H, f)$. Как мы уже видели, обычно бифуркационная диаграмма представляет из себя набор гладких кривых, которые могут пересекаться или касаться друг друга в некоторых точках. Кроме того, $\Sigma$ может содержать изолированные точки. Гладкие дуги $\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{k}$ диаграммы $\Sigma$ как правило соответствуют однопараметрическим семействам невырожденных одномерных орбит пуассонова действия группы $\mathbb{R}^{2}$. Предположим, что это условие выполнено. Диаграмма обычно имеет особые точки. Точка $y_{0}$ из $\Sigma$ называется особой, если она принадлежит к одному из следующих двух типов.
Тип 1: точка принадлежит образу $f(K \backslash \tilde{K})$, где $\tilde{K}$ – множество невырожденных замкнутых одномерных орбит пуассонова действия $\mathbb{R}^{2}$ на $M^{4}$.
Тип 2: точка $y_{0}$ является точкой пересечения (или самопересечения) гладких дуг диаграммы $\Sigma$.
Обозначим множество особых точек диаграммы $\Sigma$ через $\Sigma_{0}$. Обычно $\Sigma_{0}$ – это конечное множестРис. 9.5 во изолированных точек. Если $\Sigma$ представлять в виде одномерного клеточного комплекса, то $\Sigma_{0}$ – это как раз множество его вершин.
Теперь введем понятие допустимой кривой.

Определение 9.2. Гладкая параметризованная кривая $\tau$ без самопересечений в плоскости $\mathbb{R}^{2}(H, f)$ называется допустимой, если она пересекает бифуркационную диаграмму $\Sigma$ трансверсально и не проходит через особые точки бифуркационной диаграммы $\Sigma$ (рис. 9.5).

Рассмотрим теперь полный прообраз $Q_{\tau}=\mathcal{F}(\tau)$ в $M^{4}$. Для допустимой кривой $\tau$ это – трехмерное гладкое многообразие. Параметр $t$ параметризованной кривой $\tau(t)$ может быть рассмотрен как гладкая функция на 3 -многообразии $Q_{\tau}$. Эта функция, очевидно, является боттовской, если $\tau$ – допустимая кривая. При этом мы, конечно, считаем, что многообразие $Q_{\tau}$ является изоэнергетической поверхностью для гамильтоновой системы с гамильтонианом $H_{\tau}(H, f)$, который обладает тем свойством, что на плоскости $\mathbb{R}^{2}(H, f)$ кривая задается уравнением $\left\{H_{\tau}=\right.$ const $\}$. Тем самым, на $Q_{\tau}$ имеется структура слоения Лиувилля, а следовательно, возникает инвариант этого слоения – меченая молекула $W^{*}$, которую мы обозначим через $W^{*}(\tau)$.
Лемма 9.1. Молекула $W^{*}(\tau)$ не меняется при гладкой изотопии $\tau_{s}$ кривой $\tau$ на плоскости $\mathbb{R}^{2}$ в классе допустимых кривых.
Доказательство получается обычными рассуждениями.
Пусть теперь $y_{0}$ из $\Sigma_{0}$ – некоторая изолированная особая точка бифуркационной диаграммы. Рассмотрим окружность $\tau$ малого радиуса с центром в точке $y_{0}$. Предположим, что $\tau$ – допустимая кривая и что она остается таковой при уменьшении ее радиуса.
Определение 9.3. Меченая молекула $W^{*}(\tau)$ называется круговой молекулой особой точки $y_{0}$ бифуркационной диаграммы $\Sigma$.

Меченая молекула описывает структуру лиувиллева слоения границы 4-мерной окрестности $U$ особого слоя $L=\mathcal{F}^{-1}\left(y_{0}\right)$. Она показывает, что происходит, когда мы обходим вокруг особенности. Важно то, что происходящие при этом события мы можем описать в терминах уже известного нам инварианта – меченой молекулы. Как мы увидим ниже, круговая молекула позволяет описывать структуру не только границы 4 -мерной окрестности особенности, но и самой этой окрестности. Другими словами, как оказывается, во многих случаях круговая молекула оказывается полным инвариантом 4 -мерной особенности в смысле лиувиллевой эквивалентности.
Гипотеза (А. Т. Фоменко). Если все особые точки $z_{1}, \ldots, z_{s}$ на особом слое $L$ являются невырожденными, то круговая молекула является полным инвариантом 4-мерной особенности в смысле лиувиллевой эквивалентности. Другими словами, две гамильтоновы системы лиувиллево эквивалентны в некоторых окрестностях своих невырожденных особенностей тогда и только тогда, когда их круговые молекулы совпадают.

Эта гипотеза ниже будет доказана в некоторых важных случаях. Опыт исследования конкретных примеров интегрируемых систем показывает, что как правило, различные 4-мерные особенности действительно имеют различные круговые молекулы, даже если условие невырожденности нарушается. Таким образом, круговая молекула – хороший инвариант, позволяющий эффективно различать типы особенностей.

Как мы увидим ниже, круговые молекулы полезны при вычислении инвариантов интегрируемых систем на произвольных изоэнергетических поверхностях.