В этом параграфе мы перечислим все особенности типа седло-седло сложности 1 и сложности 2. Идея перечисления такова. Сначала опишем все $l$-типы сложности 1 и сложности 2 , а затем для каждого фиксированного $l$-типа перечислим все отвечающие ему комплексы $L$, пользуясь свойствами (*), (**), (***) (см. выше).

В случае сложности 1 имеется только один $l$-тип, а именно $(B, B)$. Дело в том, что существует лишь один седловой атом сложности 1 , и это – атом $B$.

Перейдем к перечислению $C l$-типов сложности 1 . Квадраты, из которых склеен комплекс $L$, – т.е. особый слой, – имеют ориентированные стороны, помеченные латинскими и греческими буквами. Как обычно, обходя границу квадрата, запишем слово, перечисляя последовательно встречающиеся буквы на

сторонах квадрата. При этом каждую букву мы снабжаем степенью $\varepsilon$, где числа $\varepsilon_{i}= \pm 1$ и указывают ориентацию сторон при обходе по границе квадрата.
Теорема 9.5 (Л. М. Лерман и Я.Л. Уманский). Пусть особый слой L-типа седло-седло содержит ровно одну особую точку, т. е. имеет сложность 1. Тогда комплекс $L$ гомеоморфен одному из следующих четырех комплексов (рис. 9.33):
1) $a \alpha a^{-1} \alpha^{-1}, \quad b \alpha b^{-1} \alpha^{-1}, \quad b \beta b^{-1} \beta^{-1}, \quad a \beta a^{-1} \beta^{-1}$.
2) $a \alpha b^{-1} \alpha^{-1}, \quad b \alpha a^{-1} \alpha^{-1}, a \beta b^{-1} \beta^{-1}, \quad b \beta a^{-1} \beta^{-1}$.
3) $a \beta a^{-1} \alpha^{-1}, \quad a \alpha a^{-1} \beta^{-1}, \quad b \beta b^{-1} \beta^{-1}, \quad b \alpha b^{-1} \alpha^{-1}$.
4) $a \alpha b^{-1} \beta^{-1}, \quad a \beta b^{-1} \alpha^{-1}, \quad b \alpha a^{-1} \beta^{-1}, \quad b \beta a^{-1} \alpha^{-1}$.
Две особенности типа седло-седло сложности один лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда их особые слои гомеоморфны.
Доказательство.
Сразу отметим, что все четыре указанные в теореме комплекса являются допустимыми, т.е. удовлетворяют всем требуемым свойствам $(*),(* *),(* * *)$. Покажем, что других допустимых комплексов нет. Рассмотрим квадраты, сходящиеся на ребре $\alpha$. В силу условия (***), возможны только два случая, изображенные на рис. $9.34(\mathrm{a})$ и рис. $9.34(\mathrm{~b})$. Каждый из них далее может дать по три прин-

Рис. 9.33 ципиально различных возможности. А именно, к этому ребру могут примыкать, – в обоих случаях a и b, – два, три или четыре квадрата. См., соответственно, рис. $9.34-\mathrm{a} 1$, рис. $9.34-\mathrm{a} 2$, рис. $9.34-\mathrm{a} 3$ и рис. 34-b1, рис. 9.34-b2, рис. 9.34-b3.

В случаях a 3 и b3 мы сразу получаем полное описание комплекса $L$. Оба этих случая являются допустимыми. Случай а 3 соответствует первому комплексу из теоремы, а случай b3 отвечает четвертому комплексу.

В случаях a2 и b2 не хватает одного квадрата. Его, однако, можно однозначно указать из условия, что все углы квадратов должны быть разными. См. условие $(* * *)$ для ребра $\beta$. Случай а 2 соответствует третьему комплексу теоремы. Случай b2 не является допустимым, поскольку условие (***) нарушается для ребер $a$ и $b$.

Каждый из случаев a1 и b1 дает еще по две возможности, а именно, a11, a12 и b11, b12. Дополнительные пары квадратов указаны на рис. 9.34-a11, рис. 9.34-a12, рис. 9.34-b11, рис. 9.34-b12. Случай a11 соответствует первому комплексу теоремы. Случаи а12 и b11 на самом деле эквивалентны и получаются друг из друга заменой $\alpha$ на $\beta$. Оба они соответствуют третьему комплексу теоремы. Чтобы это увидеть, нужно в случае а12 сделать следующие переобозначения: $a \rightarrow \alpha, b \rightarrow \beta, \alpha \rightarrow b, \beta \rightarrow a$.

Остался случай b12. Он соответствует второму комплексу теоремы. Теорема доказана.

Эта теорема дает полный список особенностей типа седло-седло сложности один, с точностью до лиувиллевой эквивалентности.

Приведем четыре круговые молекулы, соответствующие описанным выше особенностям типа седло-седло с ровно одной особой точкой на слое $L$.
Теорема 9.6 (А.В. Болсинов). Круговые молекулы особенностей типа седло-седло с ровно одной особой точкой на слое $L$, соответствующие случаям 1-4 из теоремы 9.5, перечислены на рис. 9.35.
Рис. 9.35
Рис. 9.36
Рис. 9.37
Схема доказательства. Рассмотрим особую точку $у$ на бифуркационной диаграмме, которой отвечает особый слой $L$ с ровно одной особой точкой седло-седло. Около точки $y$ бифуркационная диаграмма имеет вид, показанный на рис. 9.36,

т. е. две гладкие дуги трансверсально пересекаются в точке $y$. Пусть $x$ – регулярная точка, близкая к точке $y$. Ее полный прообраз $\mathcal{F}^{-1}(x)$ при отображении момента состоит из нескольких торов Лиувилля. При приближении точки $x$ к точке $y$ можно считать, что эти торы склеены из тех же самых квадратов, из которых склеен и особый слой $L$. Отличие состоит в том, что при построении слоя $L$ эти квадраты склеиваются своими границами вдоль четверных ребер. То есть, на одном ребре сходятся 4 квадрата. При построении неособого слоя $\mathcal{F}^{-1}(x)$, эти же квадраты склеиваются по два. Другими словами, при смещении из точки $y$ в точку $x$ происходит распад особенности, показанный на рис. 9.37. Каждая особенность распадается двумя разными способами в зависимости от расположения точки $x$. Точка $x$ может находиться в одном из четырех квадрантов, на которые дуги бифуркационной диаграммы разбивают окрестность особой точки $y$. Для каждого из этих квадрантов мы можем теперь явно выписать семейство торов Лиувилля. Кроме того, при переходе из квадранта в квадрант мы понимаем – как торы Лиувилля перестраиваются друг в друга. Другими словами, мы легко выявляем все бифуркации торов Лиувилля при переходе через дуги бифуркационной диаграммы. Эти бифуркации и являются атомами круговой молекулы. После этого остается для каждого из указанных выше четырех случаев провести конкретный подсчет, следуя описанной схеме. Детали мы опускаем и приводим на рис. 9.35 лишь окончательный результат.

Перейдем к классификации особенностей седло-седло сложности два. Прежде всего опишем априори возможные $l$-типы. Поскольку мы допускаем несвязность атома, то к списку атомов сложности два – $C_{1}, C_{2}, D_{1}, D_{2}$ – нужно добавить два «несвязных атома»: $B B$ и $B B^{\prime}$ (рис. 9.38).

Поскольку особый слой $L$ связен, то по крайней мере один из атомов, участвующих в формировании $l$-типа, должен быть связным. Поэтому априори существует 18 различных $l$-типов сложности два.
Теорема 9.7 (А.В. Болсинов). Пусть особый слой $L$ типа седло-седло содержит ровно две особых точки. Число различных особенностей, соответствующих фиксированному l-типу указано в следующем списке:
\[
\begin{array}{llll}
\left(B B, C_{1}\right)-7, & \left(B B, C_{2}\right)-7, & \left(B B, D_{1}\right)-6, & \left(B B, D_{2}\right)-6, \\
\left(B B^{\prime}, C_{1}\right)-1, & \left(B B^{\prime}, C_{2}\right)-1, & \left(B B^{\prime}, D_{1}\right)-0, & \left(B B^{\prime}, D_{2}\right)-0 \\
\left(C_{1}, C_{1}\right)-1, & \left(C_{1}, C_{2}\right)-2, & \left(C_{1}, D_{1}\right)-2, & \left(C_{1}, D_{2}\right)-0 \\
& \left(C_{2}, C_{2}\right)-2, & \left(C_{2}, D_{1}\right)-2, & \left(C_{2}, D_{2}\right)-0 \\
& & \left(D_{1}, D_{1}\right)-2, & \left(D_{1}, D_{2}\right)-0 \\
& & & \left(D_{2}, D_{2}\right)-0 .
\end{array}
\]

Таким образом, всего насчитывается ровно 39 разных особенностей. Структура отвечающих им 39 особых слоев $L$ изображена в таблице 9.1.

Доказательство этой теоремы проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 9.5. Каждый фиксированный $l$-тип мы снабжаем дополнительной структурой – биекцией между вершинами графов $K_{1}$ и $K_{2}$ и ориентацией их ребер. В данном случае, в силу малой сложности и симметрий атомов эта дополнительная структура выбирается однозначно с точностью до гомеоморфизма.

Затем мы перечисляем всевозможные допустимые заклейки одномерного остова $K_{1}$ и $K_{2}$ квадратами, пользуясь условиями $(*),(* *),(* * *)$.
Рис. 9.38
Комментарий. Таким образом, существует 39 различных особенностей типа седло-седло сложности два. Отметим, что некоторые комплексы из этого списка гомеоморфны между собой. Мы уже обращали внимание на это обстоятельство: топология особого слоя не определяет, вообще говоря, топологию его окрестности. В данном случае особенности, имеющие одинаковые комплексы $L$, имеют, разумеется, различные $\mathrm{Cl}$-типы.

Комментарий. Аналогичным образом можно, классифицировать и все особенности типа седло-седло сложности 3 . Их оказалось 256 . Эта классификация оказалась более громоздкой и по этой причине здесь опущена. Вычисления на компьютере были выполнены Н. А. Максимовой.

В принципе, описанная процедура дает алгоритм перечисления особенностей любой сложности. Однако их число быстро растет с ростом сложности.
Теорема 9.8 (В. С. Матвеев). Круговые молекулы особенностей типа седло-седло с двумя особыми точками на слое $L$, соответствующие 39 случаям из теоремы 9.7, перечислены в таблице 9.2.

Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 9.6 и фактически заключается в аккуратном исследовании каждого из 39 случаев.
Следствие. Круговая молекула для особенностей типа седло-седло сложности 1 и 2 является полным инвариантом слоения Лиувилля в окрестности этой особенности.
Доказательство.
Достаточно заметить, что все круговые молекулы, перечисленные на рис. 9.35 и в таблице 9.2, – различны.