Определение 1.1. Линейное пространство $V$ (вещественное или комплексное) называется симплектическим, если на нем задана невырожденная кососимметрическая билинейная форма $\omega$.

Эту форму мы будем называть симплектической структурой на линейном пространстве $V$.

Если в $V$ выбран базис $e_{1}, \ldots, e_{m}$, то форма $\omega$ однозначно задается своей матрицей $\Omega=\left(\omega_{i j}\right)$, где $\omega_{i j}=\omega\left(e_{i}, e_{j}\right)$. Эта матрица кососимметрична и невырождена. Отсюда сразу следует, что размерность симплектического пространства $V$ четна, поскольку
\[
\operatorname{det} \Omega=\operatorname{det} \Omega^{T}=\operatorname{det}(-\Omega)=(-1)^{m} \operatorname{det} \Omega,
\]

где $m=\operatorname{dim} V$.

Предложение 1.1 (Линейная теорема Дарбу). В пространстве $V$ существует базис $e_{1}, \ldots, e_{n}, f_{1}, \ldots, f_{n}$, в котором матрица симплектической формы $\Omega$ имеет вид
\[
J=\left(\begin{array}{cc}
0 & E \\
-E & 0
\end{array}\right),
\]

где $E=E_{n}-$ единичная матрица размера $n \times n$. Такой базис будем называть каноническим или симплектическим.

Из этого утверждения сразу следует, что два симплектических пространства одинаковой размерности $V$ и $V^{\prime}$ всегда изоморфны, то есть существует линейный изоморфизм $h: V \rightarrow V^{\prime}$ такой, что $\omega(a, b)=\omega^{\prime}(h a, h b)$ для любых векторов $a$ и $b$.

Определение 1.2. Линейное подпространство $L$ в $V$ называется изотропным, если ограничение формы $\omega$ на $L$ тождественно равно нулю, т.е. $\omega(a, b)=0$ для любых $a, b \in L$. Максимальное изотропное подпространство называется лагранжевым.

Легко проверяется, что изотропное подпространство $L$ является лагранжевым тогда и только тогда, когда его размерность равна $n$. Примером лагранжевых подпространств являются $n$-мерные плоскости, натянутые на векторы $e_{1}, \ldots, e_{n}$ и на векторы $f_{1}, \ldots, f_{n}$ канонического базиса.

Определение 1.3. Линейное преобразование $g: V \rightarrow V$ называется симплектическим, если оно сохраняет симплектическую структуру, т.е. $\omega(a, b)=\omega(g a, g b)$ для любых $a, b \in V$.

Определение 1.4. Совокупность всех симплектических преобразований пространства $V$ называется симплектической группой и обозначается через $S p(2 n, \mathbb{R})$ (или $S p(2 n, \mathbb{C})$ в комплексном случае), где $n$ — половина размерности $V$.

Предложение 1.2.

a) Симплектические преобразования унимодулярны, т.е. $\operatorname{det} g=1$ для любого $g \in S p(2 n, \mathbb{R}) \quad($ или $g \in S p(2 n, \mathbb{C}))$.
б) Характеристический полином $P(\lambda)=\operatorname{det}(g-\lambda E)$ симплектического вещественного преобразования $g$ обладает свойством
\[
P(\lambda)=\lambda^{2 n} P\left(\frac{1}{\lambda}\right) .
\]

В частности, если $\lambda$ — собственное число симплектического преобразования $\mathrm{g}$, то $\lambda^{-1}$ — тоже собственное число той же кратности.

Доказательство.
а) Для доказательства первого утверждения достаточно рассмотреть $2 n$-форму $\tau=\underbrace{\omega \wedge \omega \wedge \cdots \wedge \omega}_{n \text { раз }}$. В силу невырожденности симплектической структуры форма $\tau$ будет ненулевой формой максимального ранга на $V$. Поэтому ее можно интерпретировать как форму ориентированного объема. Симплектическое преобразование $g$ вместе с формой $\omega$ сохраняет, очевидно, любую ее степень и, в частности, форму объема $\tau=\omega^{(n)}$. Следовательно, $\operatorname{det} g=1$.
б) Из определения симплектического преобразования следует, что $g^{\mathrm{T}} \Omega g=\Omega$. Перепишем это соотношение в виде $g=\Omega^{-1} g^{-1 \mathrm{~T}} \Omega$. Отсюда
\[
\begin{aligned}
P(\lambda) & =\operatorname{det}(g-\lambda E)=\operatorname{det}\left(\Omega^{-1} g^{-1^{\mathrm{T}}} \Omega-\lambda E\right)=\operatorname{det} \Omega^{-1}\left(g^{-1}-\lambda E\right)^{\mathrm{T}} \Omega= \\
& =\operatorname{det}\left(g^{-1}-\lambda E\right)=\operatorname{det} g^{-1} \operatorname{det}(E-\lambda g) .
\end{aligned}
\]

Поскольку $\operatorname{det} g=\operatorname{det} g^{\mathrm{T}}=1$, то окончательно имеем
\[
P(\lambda)=\operatorname{det}(E-\lambda g)=\operatorname{det} \lambda\left(\frac{1}{\lambda} E-g\right)=\lambda^{2 n} \operatorname{det}\left(g-\frac{1}{\lambda} E\right)=\lambda^{2 n} P\left(\frac{1}{\lambda}\right) .
\]

Предложение доказано.
Следующее утверждение описывает основные свойства вещественной симплектической группы.

Предложение 1.3.

1) Группа $\operatorname{Sp}(2 n, \mathbb{R})$ является некомпактной вещественной группой Ли размерности $n(2 n+1)$.
2) Алгебра Ли $\operatorname{sp}(2 n, \mathbb{R})$ этой группы состоит из матриц $A$, удовлетворяющих соотношению $A^{T} \Omega+\Omega A=0$. Если базис канонический, т.е. $\Omega=J$, то
\[
A=\left(\begin{array}{cc}
A_{1} & A_{2} \\
A_{3} & -A_{1}^{T}
\end{array}\right),
\]

где $A_{1}$ — произвольная вещественная матрица размера $n \times n$, а матрицы $A_{2}$ и $A_{3}$ симметричны.

3) С топологической точки зрения симплектическая группа $S p(2 n, \mathbb{R})$ диффеоморфна декартову произведению унитарной группы $U(n)$ на вещественное линейное пространство $\mathbb{R}^{n(n+1)}$.
4) Группа $\operatorname{Sp}(2 n, \mathbb{R})$ связна.
5) Группа $\operatorname{Sp}(2 n, \mathbb{R})$ неодносвязна и ее фундаментальная группа изоморфна zpynne $\mathbb{Z}$.

Доказательство.
1) и 2) Без ограничения общности мы будем проводить все рассуждения в каноническом базисе, т.е. полагать $\Omega=J$. Тогда группа $S p(2 n, \mathbb{R})$ может быть представлена как подгруппа в $G L(2 n, \mathbb{R})$, задаваемая матричным соотношением $g^{\mathrm{T}} J g=J$, которое может быть рассмотрено как система полиномиальных уравнений второй степени. Другими словами, группа $S p(2 n, \mathbb{R})$ является линейной алгебраической группой и, как все такие группы, является группой Ли [396]. Ее некомпактность следует, например, из того, что матрицы вида $\operatorname{diag}\left(\lambda, \ldots, \lambda, \lambda^{-1}, \ldots, \lambda^{-1}\right)$ симплектичны для любого $\lambda \in \mathbb{R}$.

Для подсчета размерности группы найдем ее касательное пространство в единице. Другими словами, опишем соответствующую алгебру Ли $s p(2 n, \mathbb{R})$. Пусть $A$ — произвольный элемент из касательного пространства $T_{e} S p(2 n, \mathbb{R})=$ $=s p(2 n, \mathbb{R})$. Тогда существует гладкая кривая $g(t)$, лежащая в группе $S p(2 n, \mathbb{R})$ такая, что $g(0)=E, \frac{d g}{d t}(0)=A$. Дифференцируя соотношение $g^{\mathrm{T}}(t) J g(t)=J$ при $t=0$, получаем $\frac{d g^{\mathrm{T}}}{d t}(0) J+J \frac{d g}{d t}(0)=0$, или $A^{\mathrm{T}} J+J A=0$.

Обратно, пусть матрица $A$ удовлетворяет соотношению $A^{\mathrm{T}} J+J A=0$. Pacсмотрим гладкую кривую $g(t)=\exp (t A)$ и покажем, что она целиком лежит в группе $S p(2 n, \mathbb{R})$. Действительно, продифференцируем выражение $g^{T} J g(t)$ по $t$, учитывая, что $\frac{d}{d t} \exp (t A)=A \exp (t A)$. Получим
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}\left(g^{\mathrm{T}} J g(t)\right) & =\left(\frac{d}{d t} \exp (t A)\right)^{\mathrm{T}} J \exp (t A)+(\exp (t A))^{\mathrm{T}} J \frac{d}{d t} \exp (t A)= \\
& =(\exp (t A))^{\mathrm{T}}\left(A^{\mathrm{T}} J+J A\right) \exp (t A)=0 .
\end{aligned}
\]

Таким образом, $g^{\mathrm{T}} J g(t)$ — некоторая постоянная матрица. Но при $t=0$ мы имеем $g(0)=E$, поэтому на самом деле $g^{\mathrm{T}} J g(t) \equiv J$ при любом $t$. Следовательно, кривая $g(t)$ целиком лежит в группе $S p(2 n, \mathbb{R})$, а ее касательный вектор $\frac{d g}{d t}(0)=A$ — в алгебре Ли $\operatorname{sp}(2 n, \mathbb{R})$.

Отметим, что соотношение $A^{\mathrm{T}} J+J A=0$ в точности означает симметричность матрицы $J A$, и отображение $A \rightarrow J A$ задает линейный изоморфизм симплектической алгебры Ли $\operatorname{sp}(2 n, \mathbb{R})$ на пространство симметрических матриц.

Следовательно, размерность группы $S p(2 n, \mathbb{R})$ равна размерности пространства симметрических $(2 n \times 2 n)$-матриц, т. е. $\operatorname{dim} \operatorname{Sp}(2 n, \mathbb{R})=n(2 n+1)$. Первые два утверждения предложения 1.3 доказаны.
3) Отождествим симплектическое пространство $\mathbb{R}^{2 n}$ с $n$-мерным комплексным пространством $\mathbb{C}^{n}$. Рассмотрим в $\mathbb{C}^{n}$ эрмитово скалярное произведение $(a, b)=a_{1} \bar{b}_{1}+\ldots+a_{n} \bar{b}_{n}$ и будем считать, что симплектическая структура в $\mathbb{R}^{2 n}=\mathbb{C}^{n}$ совпадает с мнимой частью эрмитова скалярного произведения:
\[
\omega(a, b)=\operatorname{Im}(a, b) .
\]

С другой стороны, в этом же пространстве определена вещественная евклидова структура $\langle a, b\rangle=\operatorname{Re}(a, b)$. Оператор комплексной структуры $I$ (т. е. оператор умножения на мнимую единицу) однозначно определяется соотношением $\langle I a, b\rangle=\omega(a, b)$. В базисе $e_{1}, \ldots, e_{n}, i e_{1}, \ldots, i e_{n}$ матрицы симплектической и комплексной структур совпадают.

Напомним, что преобразования, сохраннющие эрмитову структуру называются унитарными. Ясно, что группа унитарных преобразований $U(n)$ является подгруппой симплектической группы $\operatorname{Sp}\left(2 n, \mathbb{R}\right.$ ) (после отождествления $\mathbb{R}^{2 n}$ с $\left.\mathbb{C}^{n}\right)$. Более того,
\[
U(n)=S p(2 n, \mathbb{R}) \cap O(2 n, \mathbb{R}),
\]

где $O(2 n, \mathbb{R})$ — группа преобразований, сохраняющих евклидову структуру $\langle\cdot, \cdot\rangle$.
Пусть $L \subset s p(2 n, \mathbb{R})$ — подпространство, состоящее из симметрических матриц. Покажем, что любая симплектическая матрица $g \in S p(2 n, \mathbb{R})$ может быть однозначно представлена в виде $g=U \exp S$, где $U$ — унитарная матрица, $S \in L$. И обратно, любая матрица вида $U \exp S$, где $U \in U(n), S \in L$, является симплектической.

Рассмотрим для этого матрицу $g^{\mathrm{T}} g$. Она симметрична и положительно определена. Поэтому существует единственная положительно определенная симметричная матрица $R$ такая, что $R^{2}=g^{\mathrm{T}} g$. Для положительно определенной симметричной матрицы $R$ в свою очередь существует единственная симметричная матрица $S$ такая, что $R=\exp S$. Положим $U=g R^{-1}$ и покажем, что разложение $g=U R=U \exp S$ является искомым.

Во-первых, покажем, что $U$ и $R$ являются симплектическими матрицами. Поскольку $g, g^{\mathrm{T}}-$ симплектические матрицы, и $R^{2}=g^{\mathrm{T}} g$, то $R^{2}=\exp (2 S)-$ симплектическая матрица. Отсюда легко вывести, что все матрицы вида $\exp (t S)$ являются симплектическими.

Поскольку $U=g R^{-1}=g \exp (-S)$, то матрица $U$ также симплектична. Кроме того, эта матрица ортогональна. Действительно, $U^{\mathrm{T}} U=\left(R^{T}\right)^{-1} g^{T} g R^{-1}=$ $=R^{-1} R^{2} R^{-1}=E$. Это означает, что соответствующее линейное преобразование сохраняет одновременно симплектическую структуру $\operatorname{Im}(\cdot, \cdot)$ и вещественную евклидову структуру $\operatorname{Re}(\cdot, \cdot)$. Другими словами, $U \in S p(2 n, \mathbb{R}) \cap O(n, \mathbb{R})=U(n)$.

Наконец, симметрическая матрица $S$ содержится в алгебре Ли $s p(2 n, \mathbb{R})$, поскольку она является касательным вектором кривой $\exp (t S) \subset S p(2 n, \mathbb{R})$.

Разложение $g=U \exp S$ определяет диффеоморфизм группы $S p(2 n, \mathbb{R})$ и декартова произведения $U(n) \times L$, где $L$ — подпространство в алгебре Ли $s p(2 n, \mathbb{R})$,

состоящее из симметрических матриц. Непосредственный подсчет показывает, что $\operatorname{dim} L=n(n+1)$.
4) и 5). Связность симплектической группы следует теперь из связности сомножителей $U(n)$ и $L$. Кроме того, $\pi_{1}(S p(2 n, \mathbb{R}))=\pi_{1}(U(n))=\mathbb{Z}$. Предложение доказано.