Оказывается, классификация атомов в точности эквивалентна классификации всевозможных конечных клеточных разбиений двумерных замкнутых поверхностей. Напомним, что клеточным разбиением поверхности называется ее представление в виде объединения конечного числа двумерных, одномерных и нульмерных клеток. Эквивалентным образом можно считать, что клеточное разбиение поверхности взаимно-однозначно, с точностью до гомеоморфизма, задается вложением некоторого конечного графа в эту поверхность, разбивающего ее на открытые диски. При таком подходе граф является попросту одномерным остовом клеточного разбиения, т.е. объединением нульмерных и одномерных клеток разбиения.
Как здесь возникает атом? Верно следующее
Предложение. Существует взаимно-однозначное соответствие между $f$-атомами и клеточными разбиениями двумерных замкнутых поверхностей. Или, что эквивалентно, – между $f$-атомами и вложениями графов в двумерные замкнутые поверхности. При этом все эти объекты рассматриваются с точностью до гомеоморфизма.
Доказательство.
Это предложение доказывается очень просто. В самом деле, возьмем произвольное конечное клеточное разбиение поверхности и построим по нему атом. Для этого соединим середины соседних одномерных ребер данного клеточного разбиения, сходящихся в одной вершине. ДелаРис. 2.37 ем это для каждой вершины. См. рис. 2.37. В результате возникает одномерный граф $K$. Очевидно, что все его вершины (белые точки на рис. 2.37) имеют крат-
ность 4. Это и есть скелет конструируемого нами атома. Осталось взять малую трубчатую окрестность графа $K$ в поверхности. Получается атом. Чтобы операция была однозначна, нужно сделать одно дополнительное замечание. Двумерные кольца у атома, возникшие на предыдущем шаге, очевидно разбиваются на два класса. Первый класс – кольца, целиком лежащие внутри двумерных клеток исходного клеточного разбиения. Назовем их, скажем, положительными кольцами атома. Второй класс – кольца, окружающие вершины исходного клеточного разбиения. Их нужно назвать отрицательными. В результате мы получаем уже не просто атом, а $f$-атом. Итак, по каждому клеточному разбиению однозначно строится некоторый $f$-атом.
Обратно. Пусть дан $f$-атом, отвечающий атому $(P, K)$. Рассмотрим замкнутую поверхность $\widetilde{P}$, получающуюся заклейкой дисками граничных окружностей $f$-атома. В результате мы получаем некоторое клеточное разбиение поверхности $\widetilde{P}$. Чтобы обеспечить указанную выше взаимную однозначность, нам придется по нему построить другое клеточное разбиение. Для этого отметим центры отрицательных двумерных дисков и соединим их ребрами через вершины $f$-атома, как показано на рис. 2.37. При этом, через каждую вершину $f$-атома мы проводим ровно один такой отрезок. Ясно, что эта операция обратна описанной выше.
Предложение доказано.
Каждому атому отвечают, как мы знаем, два $f$-атома. По каждому из них можно построить свое клеточное разбиение поверхности $\widetilde{P}$. Легко видеть, что они окажутся двойственными друг другу. Дело в том, что положительные диски, как и кольца, заменятся на отрицательные.
В определенном смысле $f$-атом можно рассматривать как полудвойственный объект для данного клеточного разбиения. Стартуя с клеточного разбиения, мы строим $f$-атом, а затем по нему – клеточное разбиение, двойственное исходному. Грубо говоря, $f$-атом находится на полпути от клеточного разбиения к ему двойственному. Потому его можно назвать полудвойственным объектом.
В топологии и геометрии есть довольно много задач, сводящихся к классификации клеточных разбиений тех или иных поверхностей. Предыдущее утверждение показывает, что на самом деле все такие задачи сводятся к описанию $f$-атомов. В качестве яркого примера ниже мы дадим новую классификацию потоков Морса, а потом и потоков Морса-Смейла, на языке $f$-атомов.
