Теперь мы, наконец, можем сформулировать и доказать одну из основных теорем настоящей книги. Рассмотрим интегрируемую гамильтонову систему $v=\operatorname{sgrad} H$ на симплектическом многообразии $M^{4}$ и ограничим ее на компактную связную регулярную изоэнергетическую поверхность $Q^{3}=\{H=$ $=h=$ const $\}$.

Рассмотрим следующий естественный класс $\left(v, Q^{3}\right)$ невырожденных интегрируемых систем $v=\operatorname{sgrad} H$ на изоэнергетических 3 -многообразиях $Q^{3}$. Мы будем предполагать выполненными следующие условия.
1) Топологическая устойчивость. $Q^{3}$ является компактным гладким замкнутым 3-многообразием, топологически устойчивым для данной системы, т.е. при малом изменении значения $h$ энергии $H$ тип лиувиллева слоения системы $v$ не меняется, т.е. система остается лиувиллево эквивалентной исходной.
2) Боттовость. Дополнительный гладкий интеграл $f$, ограниченный на изоэнергетическую поверхность $Q^{3}$, является функцией Ботта, т. е. все его критические многообразия в $Q$ являются невырожденными. Кроме того, мы будем предполагать, что все эти критические подмногообразия одномерны, т. е. являются окружностями. Другими словами, нет критических торов и бутылок Клейна.
3) Гиперболичность особых траекторий. Все седловые критические окружности интеграла $f$ являются гиперболическими траекториями гамильтонова потока $v$. Это означает, что дифференциал отображения Пуанкаре для каждой периодической траектории поля $v$, являющейся в то же время критической седловой окружностью интеграла $f$, отличен от тождественного отображения и от «минус тождественного»: $d \sigma
eq \pm \mathrm{id}$.
4) Нерезонансность. Система $v$ является нерезонансной, т.е. иррациональные торы Лиувилля всюду плотны в $Q$.
5) Условие конечности. Функции вращения системы $v$ должны иметь лишь конечное число локальных минимумов, максимумов и полюсов.

Наша основная цель – классифицировать динамические системы указанного типа с точностью до траекторной эквивалентности, топологической и гладкой.

Предположим, что система $v$ удовлетворяет условиям $1-5$, перечисленным выше. Каждой такой системе можно сопоставить ее $t$-молекулу, определенную в предыдущем параграфе.
Теорема 8.2.
a) $t$-молекула $W^{* t}$ интегрируемой гамильтоновой системы указанного выше типа, с двумя степенями свободы, является ее корректно определенным траекторным топологическим инвариантом.
б) Две интегрируемые системы топологически траекторно эквивалентны, если и только если их $t$-молекулы совпадают.

Доказательство.
Пункт а) этой теоремы следует из первого принципа построения траекторных инвариантов и уже фактически доказан в предыдущем параграфе.

Действительно, выше мы определили избыточное $t$-оснащение молекулы $W$, которое фактически уже является траекторным инвариантом. Единственный недостаток – в неоднозначности его выбора, т. е. в его зависимости от выбора набора трансверсальных сечений. Эту неоднозначность мы ликвидировали в предыдущем параграфе, перейдя от избыточного $t$-оснащения к $t$-молекуле, которая инвариантна по отношению к заменам сечений и потому корректно определена.

Докажем пункт б) сформулированной теоремы, т. е. покажем, что $t$-молекула является полным траекторным инвариантом системы.

В силу второго принципа достаточно доказать, что предъявленные нами выше объекты $W^{*}$, рассматриваемые как функции на множестве всех допустимых избыточных $t$-оснащений, разделяют орбиты действия группы замен $G \mathbb{P}$, т.е. для любых двух несовпадающих орбит этого действия обязательно найдется хотя бы один параметр, входящий в $t$-молекулу, который принимает на этих орбитах разные значения. Другими словами, две орбиты совпадают тогда и только тогда, когда совпадают значения, принимаемые на них $t$-молекулами.
Доказательство разобьем на несколько этапов.
Рассмотрим два элемента пространства $\{\mathbb{T}\}$, т. е. два избыточных $t$-оснащения:
\[
\mathbb{T}=\left(C, R^{+}, R^{-}, \Lambda, \Delta, Z\right) \text { и } \mathbb{T}^{\prime}=\left(C^{\prime}, R^{\prime+}, R^{\prime-}, \Lambda^{\prime}, \Delta^{\prime}, Z^{\prime}\right) .
\]

Нам дано, что значения $t$-молекулы ${W^{\prime}}^{t}$ как функции на пространстве $\{\mathbb{T}\}$, совпадают на этих двух $t$-оснащениях. Нужно вывести отсюда, что существует такая замена трансверсальных сечений внутри каждого атома, которая совмещает эти два $t$-оснащения.

Этап 1. Начнем с рассмотрения седловых атомов, организованных в радикалы. Разбиение молекулы $W$ на радикалы однозначно определяется $t$-оснащением, а

также его можно восстановить, зная $t$-молекулу. В самом деле, $r$-метки и векторы вращения $\{R\}$, заключенные в $t$-молекулу, позволяют судить, какие ребра молекулы $W$ являются конечными, какие бесконечными, и какие – супербесконечными. Поэтому, из совпадения $t$-молекул сравниваемых гамильтоновых систем $v_{1}$ и $v_{2}$ следует, что обе сравниваемые молекулы $W_{1}$ и $W_{2}$ одинаковым образом разбиты на радикалы. Для упрощения рассуждений, мы можем отождествить обе молекулы $W_{1}$ и $W_{2}$, считая их одной и той же молекулой $W$, на которой заданы два, вообще говоря, различных $t$-оснащения $\mathbb{T}$ и $\mathbb{T}^{\prime}$.

Этап 2. Возьмем произвольный радикал $U$ в молекуле $W$ и отвечающие ему две тройки: $(\Delta, Z, \theta)$ и $\left(\Delta^{\prime}, Z^{\prime}, \theta^{\prime}\right)$. Возникшие здесь наборы $\theta$, как и $\theta^{\prime}$, определяются в точности так же, как и введенный нами выше целочисленный набор $[\theta]$. Но только нужно вместо целых частей коэффициентов, участвующих в определении $[\theta]$ (см. выше параграф 6), брать сами эти коэффициенты. Покажем, что используя $r$-метки на конечных ребрах, векторы вращения $R \bmod 1$ на бесконечных ребрах и целочисленные параметры $[\theta]$, мы можем однозначно восстановить вещественные значения $\theta$. Пусть, например, $\theta=\frac{\alpha}{\beta}$. Это число, очевидно, можно восстановить, зная $\left[\frac{\alpha}{\beta}\right]$ и метку $r=\frac{\alpha}{\beta} \bmod 1$. Если же $\theta=M R^{-}$, то это число можно восстановить, зная вектор $R^{-} \bmod 1$ и – $\left[-M R^{-}\right]$. Аналогичные рассуждения повторяются для других типов значений $\theta$. Нам дано, что тройки $(\Delta, Z,[\theta])$ и $\left(\Delta^{\prime}, Z^{\prime},[\theta]^{\prime}\right)$ эквивалентны, поскольку соответствующие значения $\widetilde{\Delta}, \widetilde{Z},[\widetilde{\theta}]$-инвариантов совпали. Их эквивалентность в точности означает, что существует замена трансверсальных сечений внутри радикала $U$, которая переводит первую тройку во вторую. Выполнив эту замену сечений, мы добиваемся того, что теперь выполняется равенство:
\[
(\Delta, Z,[\theta])=\left(\Delta^{\prime}, Z^{\prime},[\theta]^{\prime}\right) .
\]

Отметим, что эту процедуру можно делать абсолютно независимо для всех радикалов внутри молекулы. Это является следствием предложения 8.2 , согласно которому замена площадки в атоме влияет только на параметры ( $\Delta, Z,[\theta]$ ), отвечающие данному атому. Далее, выше было сказано, что по целочисленным значениям $[\theta]$ можно однозначно восстановить сами вещественные значения всех компонент набора $\theta$. Следовательно, выполнив указанную замену сечений, мы в действительности совмещаем не только целые части $[\theta]$ и $[\theta]^{\prime}$, но и сами наборы $\theta$ и $\theta^{\prime}$. Поэтому мы добились того, что
\[
(\Delta, Z, \theta)=\left(\Delta^{\prime}, Z^{\prime}, \theta^{\prime}\right)
\]

на всех радикалах молекулы.
Этап 3. Теперь мы можем считать, после замены сечений, что в избыточных оснащениях $\mathbb{T}$ и $\mathbb{T}^{\prime}$ совпадают все «седловые атомные параметры», т. е. $(\Lambda, \Delta, Z$ ). Кроме того, совпадают параметры $\theta$. Напомним, что $\theta$ – это функция от матриц

склеек $C$ и векторов вращения $R^{+}$и $R^{-}$. Мы утверждаем, что на всех ребрах молекулы $W$, соединяющих пары седловых атомов, из сказанного выше уже автоматически вытекает совпадение матриц склеек $C$ и $C^{\prime}$, а также векторов вращения $R^{+}$и $R^{-}, R^{\prime+}$ и $R^{\prime-}$. В самом деле, пусть $e-$ ребро, соединяющее два седловых атома. Возможны три случая:
a) ребро $e$ – конечно,
б) ребро $е$ – бесконечно,
в) ребро $e$ – супербесконечно.
Последовательно разберем все три случая.

Этап 4-а. Пусть ребро $e$ – конечно, т. е. $r$-метка $\frac{\alpha}{\beta}$ – конечное число $(\beta
eq 0)$. Разбивая молекулу $W$ на радикалы, мы должны разрезать все конечные ребра, в том числе и ребро $e$, посередине. В результате разрезанное ребро превращается в два внешних ребра некоторых радикалов. На каждом из них у нас присутствовало число вида $\theta$. Таким образом, ребру е отвечают два числа, которые мы обозначим через $\theta^{+}$и $\theta^{-}$, где знак определяется направлением, ориентацией исходного ребра $е$ в молекуле $W$. Из определения параметров вида $\theta$ следует, что
\[
\theta^{+}=-\frac{\delta}{\beta}=-\frac{\delta^{\prime}}{\beta^{\prime}} \text { и } \theta^{-}=\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\alpha^{\prime}}{\beta^{\prime}} .
\]

Здесь $\alpha, \beta, \delta, \gamma$ – целые числа, являющиеся коэффициентами матрицы склейки $C$, стоящей на данном ребре. Числа $\alpha$ и $\beta$ взаимно простые, так как определитель матрицы $C$ равен -1 . Кроме того, знаки $\beta$ и $\beta^{\prime}$ совпадают, поскольку совпадают $\varepsilon$ и $\varepsilon^{\prime}$, которые и указывают знак $\beta$ и $\beta^{\prime}$. Отсюда следует, что матрицы $C$ и $C^{\prime}$ совпадают. Теперь нужно доказать, что совпадают и векторы вращения. Они восстанавливаются при помощи следующих явных формул из вектора вращения $R$ и коэффициентов матрицы склейки $C$ (см. определение 8.3 ):
\[
R=\beta R^{-}-\alpha .
\]

Вектор $R^{+}$можно восстановить по вектору $R^{-}$и матрице склейки $C$, которая является матрицей перехода от базиса $\lambda^{-}, \mu^{-}$к базису $\lambda^{+}, \mu^{+}$(предложение 1.14). Итак, мы полностью восстановили на ребре е матрицу склейки $C$ и векторы вращения $R^{+}$и $R^{-}$.

Этап 4-б. Пусть ребро е бесконечно, т.е. $\beta=0$. При этом нам известно, что векторы вращения $R^{+}$и $R^{-}$содержат хотя бы один конечный элемент. Опять на ребре $e$ возникают два числа $\theta^{+}$и $\theta^{-}$, как и в пункте 4-а. При этом $\theta^{+}=M R^{+}$(= среднему арифметическому всех конечных компонент вектоpa $R^{+}$) и $\theta^{-}=M R^{-}$. Кроме того, нам задан вектор $R \bmod 1$, где $R=R^{-}$по определению. Ясно, что зная $\theta^{-}$и $R \bmod 1$, можно однозначно восстановить сам вектор $R^{-}$. Далее, используя формулу $\rho^{+}=-\rho^{-}-\varepsilon \gamma$, получаем, что $R^{+}=-R^{-}-\varepsilon \gamma$. Поскольку $\theta^{+}$является средним арифметическим вектора $R^{+}$, то аналогичную формулу получаем и для $\theta^{+}$, т.е. $\theta^{+}=-\theta^{-}-\varepsilon \gamma$. Следовательно, из этих формул

можно однозначно восстановить и число $\gamma$, так как $\varepsilon$ нам известно. Восстановив $R^{-}$, мы теперь можем восстановить и вектор $R^{+}$, опираясь на формулу, приведенную выше. В случае бесконечного ребра матрица склейки $C$ устроена очень просто, а именно:
\[
C=\left(\begin{array}{cc}
\varepsilon & 0 \\
\gamma & -\varepsilon
\end{array}\right) .
\]

Следовательно, она также однозначно восстанавливается по $\gamma$ и $\varepsilon$. Итак, мы однозначно восстановили $C, R^{+}$и $R^{-}$.

Этап 4-в. Пусть теперь ребро е супербесконечно, т.е. $\beta=0$ и вектор вращения $R$ не имеет ни одной конечной компоненты. В этом случае ребро $е$ является внутренним ребром некоторого радикала $U$. На этом ребре стоит число $\theta$, равное $-\frac{\gamma}{\alpha}$. Но $\alpha=\varepsilon$, следовательно, как и в пункте 5 -в, матрицу $C$ можно однозначно восстановить. Далее, вектор $R^{-}$не содержит конечных элементов, поэтому приведение его по модулю 1 никакой информации не уничтожает. Вектор $R^{+}$ выражается через $R^{-}$по формуле: $R^{+}=-R^{-}-\varepsilon \gamma$ и, следовательно, может отличаться от $R^{-}$лишь «знаком бесконечностей», его составляющих. Отметим, что $\gamma$ вообще не влияет на бесконечные компоненты.

Резюме: сделав описанную выше замену сечений внутри седловых атомов, мы добились того, что совпали все матрицы склейки $C$ и все векторы вращения $R^{+}$и $R^{-}$на всех ребрах, соединяющих седловые атомы в молекуле $W$. Осталось разобраться с ребрами, один из концов которых есть атом $A$, или оба конца – атомы $A$.

Этап 5. Пусть ребро $e$ соединяет седловой атом с атомом $A$. Здесь возможны два случая: ребро $е$ конечное или ребро $е$ бесконечное. Супербесконечным ребро $e$ здесь быть не может.
Пусть ребро $е$ конечно.
Пусть, для определенности, оно направлено от седлового атома к атому $A$. Параметр стоит на ребре $е$. Он равен $\frac{\alpha}{\beta}$. Как и выше, зная знак $\beta$, т. е. $\varepsilon$, которое нам известно, мы можем однозначно восстановить пару целых чисел $\alpha$ и $\beta$, т.е. первую строку матрицы склейки $C$. Вторую ее строку восстановить однозначно нельзя. Но мы еще не использовали возможность замены сечений внутри атомов $A$. Выше мы делали такие замены лишь внутри седловых атомов. Теперь, делая подходящую замену внутри атома $A$, мы добиваемся того, что матрицы склейки $C$ и $C^{\prime}$ совпали. Это, конечно, можно сделать. Далее, как и на этапе 4 -а, мы можем восстановить векторы вращения $R^{+}$и $R^{-}$, используя вектор $R$ и матрицу склейки.
Пусть теперь ребро е бесконечно.
Пусть оно, для определенности, направлено от седлового атома к атому $A$. Опять мы можем сделать подходящую замену трансверсального сечения внутри атома $A$ таким образом, чтобы матрица склейки приобрела вид $\left(\begin{array}{cc}\varepsilon & 0 \\ 0 & -\varepsilon\end{array}\right)$. Поскольку параметры $\varepsilon$ совпадают, то и матрицы склейки теперь тоже совпадут. Далее,

как и в пункте 4 -б, зная $\theta^{-}=M R^{-}$и зная вектор $R^{-} \bmod 1$, мы можем восстановить сам вектор $R^{-}$. При этом вектор $R^{+}$равен $\varepsilon R^{-}$, в данном случае.

Таким образом, если молекула $W$ отлична от $A-A$, то пункт (б) теоремы 8.2 доказан.

Этап 6. Пусть теперь молекула $W$ имеет вид $A-A$. Тогда $t$-молекула имеет вид $W^{* t}=((W, r, \varepsilon), R)$. Изменяя трансверсальные сечения, системы координат внутри атомов $A$, можно стандартным способом добиться совпадения матриц склейки $C$ и $C^{\prime}$, так как нам дано, что меченые молекулы $W^{*}$ совпадают. Если ребро $e$ конечно, то как и на этапе 4 -а, векторы вращения $R^{+}$и $R^{-}$восстанавливаются по матрице склейки и вектору $R$. Отметим, что здесь такое ребро только одно. Если же ребро $е$ бесконечно, то можно считать, что матрица склейки имеет вид $\left(\begin{array}{cc}\varepsilon & 0 \\ 0 & -\varepsilon\end{array}\right)$. Сделаем следующие замены внутри обоих атомов $A$ :

Легко проверяется, что при такой замене матрица склейки $C$ не меняется (см. предложение 8.2). При этом векторы вращения изменяются по следующему правилу: $R^{+} \rightarrow R^{+}+k$ и $R^{-} \rightarrow R^{-} k$. Пользуясь такой заменой и вектором вращения $R=R^{-} \bmod 1$, можно добиться того, чтобы векторы $R^{-}$совпали. В нашем случае $R^{+}=-R^{-}$, следовательно, автоматически совпадут и векторы $R$. Итак, с помощью подходящих замен внутри атомов $A$, мы добились совпадения двух избыточных $t$-оснащений. Итак, пункт (б) теоремы 8.2 полностью доказан. Теорема 8.2 доказана.
Сделаем еще несколько важных общих замечаний по поводу проблемы классификации. Мы сопоставили интегрируемой гамильтоновой системе некоторый объект, позволяющий тестировать системы на топологическую траекторную эквивалентность. Однако для того, чтобы считать проблему классификации решенной, мы должны ответить на вопрос о том, какие именно абстрактные $t$-молекулы могут быть реализованы как $t$-молекулы интегрируемых систем. Другими словами, мы должны описать класс допустимых $t$-молекул. Фактически, ответом на этот вопрос является теорема реализации 8.1. Прокомментируем это несколько подробнее.

Рассмотрим пространство $\{\mathbb{T}\}$ всех допустимых избыточных $t$-оснащений какой-то одной фиксированной молекулы $W$, см. параграф 5 .
Определение 8.10. Назовем $t$-молекулы, отвечающие допустимым избыточным $t$-оснащениям, допустимыми $t$-молекулами $W^{\prime t}$.

Ясно, что эти и только эти молекулы могут быть реализованы как молекулы интегрируемых гамильтоновых систем.

Это определение, действительно, имеет разумный смысл, поскольку, вопервых, множество допустимых $t$-оснащений инвариантно по отношению к действию группы $G \mathbb{P}$ (т. е. при переходе к $t$-молекуле не происходит перемешивания допустимых и недопустимых объектов). Во-вторых, если нам дана $t$-молекула,

то по ней несложно явно восстановить какое-либо из соответствующих ей избыточных $t$-оснащений и провести тем самым явную проверку допустимости.

Более того, можно явно выписать формальные условия, которым должны удовлетворять параметры $t$-молекулы. Полный их список содержится в нашей работе [33].