Напомним определение графа конечно-порожденной абстрактной группы $S$. Выберем в группе $S$ какую-нибудь систему образующих $s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{n}$. Эта система образующих не обязана быть минимальной. Например, какой-то из элементов $s_{k}$ может выражаться через остальные.

В качестве вершин графа $J=J_{S}$ возьмем теперь все элементы группы $S$. Соединим ориентированным ребром с меткой $s_{i}$ те пары элементов $g$ и $h$ группы $S$, для которых $g=h s_{i}$, то есть элемент $g$ получается из элемента $h$ сдвигом на образующую $s_{i}$, то есть умножением справа. Стрелку на ребре направляем от элемента $h$ к элементу $g$. Отметим, что граф $J$ группы конечно зависит от выбора образующих. Разным системам образующих отвечают, вообще говоря, разные графы. На рис. 2.42 показаны примеры графов $J$ группы $\mathbb{Z}_{6}$, получающиеся при разном выборе образующих в ней. В первом случае взята одна образующая $x$, а в другом — две образующие $x^{2}$ и $x^{3}$. Если образующая $s_{i}$ имеет порядок два, то формально для каждой пары элементов, переходящих друг в друга при умножении на $s_{i}$, мы должны были бы рисовать два ориентированных ребра, ориентированные в прямом и обратном направлениях. Вместо этого мы будем рисовать одно ребро, но — неориентированное. В частности, на рис. 2.42 неориентированные ребра графа $J$ группы, отвечающие элементу второго порядка $x^{3}$, изображены пунктиром.
Рис. 2.42
Аналогичным образом, если в группе задана некоторая подгруппа, то можно нарисовать граф $J$ множества смежных классов группы относительно этой подгруппы. Конструкция конечно та же самая, но только вершины графа $J$ соответствуют здесь смежным классам по заданной подгруппе. Тогда определенный выше граф $J$ группы получается из такого графа, если в качестве подгруппы взять единичную подгруппу.

Предложение 2.7. $f$-граф $\Gamma(G)$ является графом $J$ множества смежных классов группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$ по подгруппе $G$. При этом ориентированные ребра графа $J$ отвечают образующей б бесконечного порядка группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, то есть группы $\mathbb{Z}(b) * \mathbb{Z}_{2}(a)$, а неориентированные ребра графа $J$ отвечают образующей а второго порядка. Доказательство.
$\Gamma$ раф $J$ группы $\mathbb{Z}(b) * \mathbb{Z}_{2}(a)$ фактически уже был изображен нами выше на

рис. 2.39. В качестве единицы группы можно взять точку, отмеченную $x_{0}$ на рис. 2.39. С другой стороны, этот граф является деревом $D$. Если дерево рассматривать как группу $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, то симметрии дерева получаются как свободное действие группы $\mathbb{Z}(b) * \mathbb{Z}_{2}(a)$ на себе при умножении справа. Тогда становится понятным, что орбиты действия подгруппы $G$ на дереве $D$, — то есть вершины графа $\Gamma(G)$, — соответствуют смежным классам группы $\mathbb{Z}(b) * \mathbb{Z}_{2}(a)$ по подгруппе $G$. При этом две такие вершины, т.е. два класса смежности, соединяются стрелкой, если один получается из другого умножением на элемент $b$, и соединяются неориентированным ребром, если происходит умножение на элемент $a$ второго порядка. Предложение доказано.

Введем полезное понятие максимально симметричного $f$-графа. Для простоты ограничимся здесь рассмотрением лишь собственных симметрий $f$-графов.

Определение 2.20. $f$-граф $\Gamma$ называется максимально симметричным, если его группа собственных симметрий транзитивно действует на множестве его вершин.

Поясним — почему мы говорим именно о максимальной симметричности. Как было уже объяснено, каждая собственная симметрия $f$-графа однозначно определяется образом любой вершины $f$-графа. Следовательно, порядок группы собственных симметрий всегда не больше числа вершин $f$-графа. Поэтому $f$-граф естественно считать максимально симметричным в том и только в том случае, когда число его вершин в точности равно порядку группы собственных симметрий.

Теорема 2.12.

a) Если $f$-граф Г максимально симметричен, то можно всегда так выбрать образующие в его группе собственных симметрий, что соответствующий граф $J$ группы симметрий совпадет с графом $\Gamma$.
б) Если порядок группы собственных симметрий некоторого $f$-графа равен количеству его вериин, то этот $f$-граф является максимально симметричным.
в) Максимально симметричные $f$-графы взаимно-однозначно соответствуют нормальным делителям группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, имеющим конечный индекс и не содержащим элементов конечного порядка.

Доказательство.
a) Возьмем произвольную вершину $f$-графа, отметим ее как $x_{0}$, и рассмотрим пару симметрий $\tilde{b}$ и $\tilde{a}$, сдвигающих эту вершину вдоль ориентированного и неориентированного ребер $f$-графа, инцидентных с выбранной вершиной. Существование таких преобразований вытекает из предположенной транзитивности группы симметрий на $f$-графе. Легко проверить, что композициями этих преобразований $\tilde{b}, \tilde{b}^{-1}$ и $\tilde{a}$ можно перевести выбранную нами вершину в любую другую вершину $f$-графа. Далее ясно, что преобразования $\tilde{b}$ и $\tilde{a}$ порождают всю группу собственных симметрий. Фиксируем выбранные нами две образующие $\tilde{b}$ и $\tilde{a}$ группы симметрий. В силу транзитивности и свободности действия группы

симметрий (нет вершин, остающихся на месте при нетривиальной симметрии), имеется взаимно-однозначное соответствие между вершинами $f$-графа $\Gamma$ и элементами группы собственных симметрий $\operatorname{Sym}(\Gamma)$. А именно, вершина вида $g\left(x_{0}\right)$ соответствует элементу $g$ группы $\operatorname{Sym}(\Gamma)$. При этом вершины $g_{1}\left(x_{0}\right)$ и $g_{2}\left(x_{0}\right)$ соединены ориентированным ребром тогда и только тогда, когда $g_{1}=g_{2} \tilde{b}$. И соединены неориентированным ребром в том и только в том случае, когда $g_{1}=g_{2} \tilde{a}$. Первый пункт теоремы доказан.

б) Этот пункт теоремы фактически следует из определения максимальной симметричности $f$-графа.
в) Это утверждение сразу вытекает из пункта (б) теоремы 2.11. В самом деле, класс сопряженности нормального делителя в группе состоит из самого нормального делителя. Порядок группы симметрий в этом случае равен числу элементов в фактор-группе $\left(\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}\right) / G$, а это число в свою очередь равно числу вершин графа $\Gamma(G)$. Наоборот, если атом максимально симметричен, то порядок группы $N(G) / G$ и порядок группы $\left(\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}\right) / G$ совпадают. Поэтому $N(G)$ совпадает со всей группой $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, то есть подгруппа $G$ является нормальным делителем. Теорема доказана.
Сформулируем теперь естественный вопрос: для каких конечных групп можно так выбрать порождающие их элементы (не обязательно минимальную систему образующих), что соответствующий граф $J$ является $f$-графом, т. е. описывает некоторый атом. Ответ вытекает из теоремы 2.12.

Следствие (о максимально симметричных $f$-графах).

a) Пусть конечная группа $S$ порождена двумя элементами (не обязательно минимальной системой образующих), один из которых имеет второй порядок. Тогда соответствующий им граф $J$ обязательно является $f$-графом. Причем, этот $f$-граф является максимально симметричным.
б) Наоборот, если задан максимально симметричный $f$-граф, то он является графом $J$ для некоторой конечной группы $S$. Эта группа порождена двумя элементами, — не обязательно минимальной системой образующих, один из которых имеет второй порядок, а порядок другого элемента может быть любым, в том числе этот элемент может быть например единицей группы. Группа $S$ является группой симметрий исходного $f$-графа. Выбор указанной пары элементов неоднозначен.

Напомним, что описание всех конечных групп до какого-то фиксированного порядка — это исключительно сложная задача. Тем не менее для групп небольших порядков описание существует в виде таблиц. Например, в книге [91] дано описание всех неабелевых конечных групп до порядка 32 . Эти группы перечислены в виде таблиц их копредставлений, т. е. указаны образующие и соотношения. Поскольку порядок группы есть число вершин $f$-графа, следовательно, этот список, в принципе, позволяет нам вычислить список всех максимально симметричных $f$-графов с числом вершин до 32 включительно. Для этого нужно отобрать из указанного списка конечных групп лишь те, которые допускают копредставление с двумя образующими, из которых одна имеет второй порядок. Отметим,

что для одной и той же группы могут, в принципе, существовать несколько разных копредставлений такого вида. Следовательно, получим не один, а несколько соответствующих $f$-графов. Отметим, что хотя такие $f$-графы не изоморфны, однако у них одна и та же группа симметрий, т.е. исходная конечная группа.

Итак, при перечислении всех максимально симметричных $f$-атомов естественно возник класс конечных групп $S$, задаваемых следующим копредставлением:
\[
S=\left\{a, b \mid a^{2}=e, \ldots\right\},
\]

где многоточие обозначает другие, дополнительные соотношения, которые могут быть произвольными. Доказанное выше следствие можно переформулировать теперь так.
Следствие. Копредставления вида $S=\left\{a, b \mid a^{2}=e, \ldots\right\}$, задающие конечные группы, взаимно-однозначно соответствуют максимально симметричным ориентированным $f$-атомам. При этом, группа $S$ оказывается группой симметрий соответствующего ей $f$-атома.

Интересен вопрос вычисления рода атома, если известно его задание, — а точнее, задание отвечающего ему $f$-графа, — в виде копредставления $S=\{a, b \mid$ $\left.a^{2}=e, \ldots\right\}$ конечной группы $S$. Ответ дается следующей теоремой.

Теорема 2.13 (Ю. А. Браилов). Пусть задано копредставление $S=\left\{a, b \mid a^{2}=\right.$ $=e, \ldots\}$ конечной группы $S$. Рассмотрил соответствующий этому копредставлению атом $V$ и поверхноть $\tilde{P}$, получающуюся заклейкой дисками всех граничных окружностей атома. Тогда эйлерова характеристика поверхности $\tilde{P}$ может быть вычислена по формуле
\[
\chi(\widetilde{P})=|S|\left(\frac{1}{\text { порядок } b}+\frac{1}{\text { порядок } a b}-\frac{1}{2}\right) .
\]

Следовательно, род $g(V)$ атома $V$ вычисляется по копредставлению $S$ так:
\[
g=\frac{2-\chi}{2} .
\]

В таблице 2.3 мы приводим полный список всех максимально симметричных $f$-графов с числом вершин до 6 включительно. Отметим, что число вершин у $f$-графа всегда четное. Здесь мы пока считаем, что все вершины $f$-графа имеют кратность три. В дальнейшем у нас появятся и $f$-графы с вершинами кратности два. Такие вершины мы будем называть звездочками. Соответствующие атомы естественно назвать максимально симметричными. Мы видим, что таких атомов сравнительно немного. А именно, среди всех атомов до сложности 3 включительно максимально симметричными оказались лишь следующие атомы: $B, C_{1}, C_{2}, E_{1}, E_{3}$.

Прокомментируем таблицу 2.3. В первом столбце дано обозначение атома. Во втором столбце изображен его $f$-граф. В третьем столбце — группа симметрий $f$-графа и ее копредставление, определенное, вообще говоря, неоднозначно. В четвертом столбце указаны два элемента, порождающие эту группу. При этом первым поставлен элемент второго порядка.

Из таблицы 2.3 видно, что в одной и той же группе симметрий можно поразному выбирать пару порождающих элементов, чтобы получить полный список всех максимальных $f$-графов. Например, так сделано для групп $\mathbb{Z}_{2}, \mathbb{Z}_{6}, D_{3}$. В результате получаются различные максимально симметричные $f$-графы. В таблице каждой из этих групп отвечают по два $f$-графа.

Что имеется здесь в виду под разным выбором пары порождающих элементов в группе $G$ ? Это означает, что две выбранные нами пары элементов нельзя перевести друг в друга одним и тем же сопряжением группы $G$.