Как уже сказано выше, мы можем менять ориентацию 3 -многообразия $Q$, а также ориентацию ребра молекулы. Как реагируют на это введенные нами инварианты? В этом пункте мы ограничимся рассмотрением атомов без звездочек. Присутствие звездочек, конечно, несколько усложняет картину, но мы не будем на этом задерживаться. Следуя нашим общим принципам, нужно посмотреть, что происходит с избыточным $t$-оснащением:
\[
\mathbb{T}(v)=\left(C_{j}(\mathbb{P}), R_{j}^{-}(\mathbb{P}), R_{j}^{+}(\mathbb{P}), \Lambda_{c}(\mathbb{P}), \Delta_{c}(\mathbb{P}), Z_{c}(\mathbb{P})\right) .
\]
При изменении ориентации изоэнергетической поверхности $Q^{3}$ меняются допустимые системы координат. А именно, для седловых атомов – меняется знак второго базисного цикла $\mu$, а для атомов типа $A$ – меняется знак первого базисного цикла $\lambda$. Кроме этого меняется ориентация на каждом трансверсальном сечении, что вызывает, в частности, замену знаков на кольцах атома: положительные кольца становятся отрицательными и наоборот. Отсюда легко следует, что избыточное $t$-оснащение изменится следующим образом.
1) На ребрах между двумя седловыми атомами и на ребрах между двумя атомами типа $A$ матрица перехода $C=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta\end{array}\right)$ приобретет вид $C^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\beta \\ -\gamma & \delta\end{array}\right)$. На ребрах между седловым атомом и атомом $A$ матрица $C$ перейдет в $C^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}-\alpha & \beta \\ \gamma & -\delta\end{array}\right)$.
2) Векторы вращения $R^{-}$и $R^{+}$на каждом ребре поменяют знаки.
3) $\Lambda$-инварианты не изменятся.
4) $\Delta$ – и $Z$-инварианты домножатся на -1 .
Посмотрим теперь, что происходит при изменении ориентации на какомлибо ребре молекулы $W$.
1) Матрица перехода $C$ заменяется на обратную $C^{\prime}=C^{-1}$.
2) Новый вектор $R^{-}$получается из старого вектора $R^{+}$переписыванием его компонент в обратном порядке. Аналогичным образом новый $R^{+}$получается из старого $R^{-}$.
3) $\Lambda$-инвариант не изменится.
4) $\Delta$ – и $Z$-инварианты не изменятся.
Поскольку окончательные траекторные инварианты $R, \tilde{\Lambda}, \tilde{\Delta} \tilde{Z}[\tilde{\theta}]$ являются функциями от избыточных оснащений, мы можем явно указать закон их преобразования.
Предложение 8.6.
a) Изменение ориентации $Q$ следующим образом преобразует траекторный $R$-инвариант:
a-1. Если конечное ребро соединяет два седловых атома или два атома типа $A$, то $R$-вектор на этом ребре не меняется.
a-2. Если конечное ребро соединяет седловой атом с атомом $A$, то $R$-вектор на этом ребре меняет знак.
a-3. Если ребро бесконечное, то $R$-вектор меняет знак во всех случаях.
б) Изменение ориентации ребра молекулы следующим образом преобразует траекторный $R$-инвариант:
б-1. На конечном ребре молекулы новый $R$-вектор получается из исходного следующей процедурой. Нужно восстановить по исходному $R$-вектору соответствующую функцию вращения $\rho(t), t \in(0,1)$. Она восстанавливается с точностью до сопряженности, что не влияет на закон преобразования $R$-вектора. Затем следует рассмотреть новую функцию $\widetilde{\rho}(t)=$ $=\rho^{-1}(1-t)$ и взять для нее соответствуюший $R$-вектор.
б-2. На бесконечном ребре новый $R$-вектор получается из исходного путем переписывания его компонент в обратном порядке и домножением их на-1.
Предложение 8.7. При изменении ориентаций $Q$ и ребер молекулы инвариант $\tilde{\Lambda}$ не меняется.
Предложение 8.8.
а) При изменении ориентации $Q$ траекторный $\widetilde{\Delta} \widetilde{Z}[\tilde{\theta}]$-инвариант заменяется на $(-\widetilde{\Delta})(-\widetilde{Z})[-\widetilde{\theta}]$, что означает следующее: класс эквивалентности тройки $(\Delta, Z,[\theta])$ переходит в класс эквивалентности следующей тройки: $(-\Delta,-Z,[-\theta])$. ант, отвечающий радикалу $U$, изменяется только в следующих двух случаяx:
кал $U$, и число $M R_{j}^{+}$не целое. Тогда в тройке $(\Delta, Z,[\theta])$ компоненты $\Delta$ и $Z$ не меняются, а число $[\theta]_{j}$ увеличивается на единицу. Здесь $[\theta]_{j}$ – компонента 0-цепи $[\theta]$, отвечающая ребру ${ }_{j}$. См. определение $[\theta]$ выше. кала $U$, и число $M R_{j}^{-}$не целое. Тогда в тройке ( $\Delta, Z,[\theta]$ ) компоненты $\Delta$ и $Z$ не меняются, а число $[\theta]_{j}$ уменьшается на единиц. Здесь $[\theta]_{j}$ – компонента 0 -цепи $[\theta]$, отвечающая ребру $e_{j}$.
