Чтобы сформулировать главный результат этого раздела, введем важное само по себе понятие многообразия Зейферта.

Многообразие Зейферта – это трехмерное многообразие, представленное в виде объединения попарно непересекающихся простых замкнутых кривых, которые называются слоями. При этом слои должны «хорошо примыкать друг к другу». Чтобы это пояснить, введем понятие расслоенного полнотория.

Полноторие $D^{2} \times S^{1}$, разбитое на слои вида $\{*\} \times S^{1}$, называется тривиально расслоенным полноторием. Чтобы определить нетривиально расслоенное полноторие, выберем пару взаимно простых чисел $\alpha,
u$, где $\alpha>1$. Возьмем цилиндр $D^{2} \times I$ и склеим его основания по диффеоморфизму, являющемуся поворотом на
Рис. 3.8
угол $\frac{2 \pi
u}{\alpha}$. В результате получится полноторие.
Разбиение цилиндра на отрезки вида $\{*\} \times I$ определяет разбиение этого полнотория на окружности, называемые слоями. Один из слоев, который получается склеиванием концов отрезка $\{0\} \times I$, один раз обходит тор. Он называется особым. Каждый другой слой обходит тор ровно $\alpha$ раз. Число $\alpha$ называется кратностью

особого слоя. Пара чисел ( $\alpha,
u$ ) называется параметрами расслоенного полнотория, а также параметрами его особого слоя.

На рис. 3.8 изображено расслоенное полноторие типа $(3,2)$, а на рис. 3.9 условно изображены слои расслоенного полнотория общего типа.
Определение 3.1. Компактное ориентируемое трехмерное многообразие (с краем или без края), разбитое на непересекающиеся простые замкнутые кривые (слои), называется многообразием Зейферта, если каждый слой имеет целиком состоящую из слоев окрестность, послойно гомеоморфную расслоенному полноторию. Многообразие Зейферта с заданной на нем структурой слоев называется расслоением Зейферта.

Легко видеть, что расслоенные полнотория с параметрами $(\alpha,
u)$ и $(\alpha,
u+k \alpha)$ послойно гомеоморфны. Поэтому можно всегда считать, что $0<
u<\alpha$. Более того, можно показать (см., например, [127]), что пара чисел ( $\alpha,
u$ ), где $0<
u<\alpha$, является инвариантом расслоенного полнотория.
Пусть $Q$ – многообразие Зейферта (с кра-
Рис. 3.9 ем или без). Введем на нем отношение эквивалентности, полагая, что две точки эквивалентны тогда и только тогда, когда они лежат в одном слое.
Определение 3.2. Фактор-пространство многообразия $Q$ по этому отношению эквивалентности обозначим через $P$ и назовем базой расслоения Зейферта.
Другими словами, пространство $P$ получается из многообразия $Q$ стягиванием каждого слон в свою точку. Образы особых слоев будем называть особыми точками базы (расслоения Зейферта).

Предложение 3.7. База $P$ любого расслоения Зейферта – это компактная двумерная поверхность (с краем или без).
Доказательство см., например, в книге С. В. Матвеева и А. Т. Фоменко [127].
В дальнейшем мы будем рассматривать только связные многообразия Зейферта с краем. Базами соответствующих расслоений Зейферта будут двумерные связные поверхности с краем. Отметим на базе точки, являющиеся проекциями особых слоев расслоения Зейферта. Припишем каждой такой точке тот же тип, что и у отвечающего ей особого слоя.
Теорема 3.1. Два расслоения Зейферта $Q$ и $Q^{\prime}$ с краем послойно гомеоморфны с сохранением ориентации тогда и только тогда, когда
1) их базы гомеоморфны,
2) число и типы особых точек на базах совпадают.
Доказательство см. в книге [127].
Вернемся к интегрируемым системам на изоэнергетических 3 -многообразиях $Q$.

Теорема 3.2.
a) $B$ некоторой четырехмерной окрестности $V(L) \subset M^{4}$ особого слоя $L$ существует гладкая функция $F$ такая, что все интегральные траектории гамильтонова поля $\operatorname{sgrad} F$ замкнуты, причем для любой такой траектории $\gamma(t)$ выполнено соотношение $\gamma(0)=\gamma(2 \pi)$.
б) Функиия $F$ коммутирует с гамильтонианом $H$ и интегралом $f$. Их косые градиенты связаны соотношением:
\[
\operatorname{sgrad} F=\lambda \operatorname{sgrad} H+\mu \operatorname{sgrad} f
\]

для некоторых гладких функций $\lambda$ и $\mu$, постоянных на слоях слоения Лиувилля. В частности, $F$ является первым интегралом гамильтонова векторного поля $v=\operatorname{sgrad} H$, и каждая траектория $\gamma(t)$ лежит на некотором слое слоения Лиувилля.
Будем называть такой интеграл $F$ периодическим.
Доказательство.
1) Начнем со случая, когда интеграл $f$ имеет на критической окружности $S$ локальный минимум или локальный максимум. Здесь $S$ совпадает с особым слоем $L$. В лемме 3.1 и на рис. 3.5 уже описано топологическое строение трехмерной окрестности $U(L)$. Это – полноторие, расслоенное на концентрические торы, т.е. прямое произведение расслоенного диска $D^{2}$ на окружность $S^{\mathbf{1}}$. Ясно, что четырехмерная окрестность $V(L)$ в свою очередь может быть рассмотрена как прямое произведение $U(L)$ на отрезок $I$. Таким образом, на $V(L)=D^{2} \times S^{1} \times I$ определено естественное слоение на окружности вида $\{a\} \times S^{1} \times\{b\}$, где $a \in D^{2}$, $b \in I$. Причем каждая такая окружность лежит на некотором торе Лиувилля. Искомую функцию $F$ зададим теперь формулой
\[
F(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{\gamma(x)} \alpha,
\]

где $\alpha$ – дифференциальная 1-форма такая, что $d \alpha=\omega$, а $\gamma(x)$ – окружность из описанного выше слоения, проходящая через точку $x \in V(L)$. Как мы видим, определение функции $F$ аналогично построению функции действия (см. выше теорему Лиувилля). Отметим, что при изотопии окружности $\gamma$ функция $F$ не меняется. Ранее уже было доказано, что интегральные траектории векторного поля $\operatorname{sgrad} F$ лежат на торах Лиувилля, замкнуты с периодом $2 \pi$ и гомологичны $\gamma$. Поскольку $F$ играет здесь роль переменной действия, то, согласно теореме Лиувилля, она является функцией от $H$ и $f$. Следовательно, $\operatorname{sgrad} F$ является некоторой линейной комбинацией векторных полей $\operatorname{sgrad} H$ и $\operatorname{sgrad} f$, что и доказывает пункт (б) теоремы в случае локального минимума или максимума. Отметим, что структура прямого произведения $D^{2} \times S^{1}$ на окрестности $U(L)$ задается неоднозначно, что приводит к неоднозначности функции $F$.
2) Рассмотрим теперь седловой случай. Схема доказательства здесь такая же, но следует уточнить, по каким циклам $\gamma$ будет вестись интегрирование. Как и в предыдущем случае, возьмем все критические седловые окружности

$S_{1}, \ldots, S_{k}$ слоя $L$, и их трехмерные окрестности $U\left(S_{1}\right), \ldots, U\left(S_{k}\right)$ в $Q$. Строение этих окрестностей мы уже знаем из леммы 3.1. А именно, если седловая окружность $S_{i}$ имеет ориентируемую сепаратрисную диаграмму, то ее окрестность является прямым произведением двумерного креста на окружность. Эта окрестность расслоена на окружности, каждая из которых лежит на своем торе Лиувилля. В неориентируемом случае такое слоение на окружности $\gamma$ тоже можно определить. Но в этом случае каждая окружность $\gamma$, отличная от $S_{i}$, будет обходить вокруг оси $S_{i}$ дважды. Это означает, что окрестность $U\left(S_{i}\right)$ имеет структуру расслоенного полнотория с параметрами $(2,1)$. В обоих случаях эти расслоения на окружности естественно продолжаются на четырехмерную окрестность $V\left(S_{i}\right)$. Рассмотрим теперь произвольный тор Лиувилля, близкий к особому слою $L$. Он обязательно пересекает одну или несколько четырехмерных окрестностей $V\left(S_{i}\right)$ (рис. 3.10). Каждая из них позволяет нарисовать на торе некоторую окружность (поскольку каждая $V\left(S_{i}\right)$ уже расслоена на окружности). Получившиеся окружности на торе являются гомологичными нетривиальными циклами (рис. 3.10). Это вытекает из следующей леммы.
Лемма 3.2. Пусть $T_{s}$ – гладкое семейство торов Лиувилля, на каждом из которых выбран цикл (окружность) $\gamma_{s}$, гладко зависящий от $S$, причем при стремлении $S$ к нулю эти циклы стремятся к замкнутой траектории $\gamma_{0}$ векторного поля $\operatorname{sgrad} H$ (в $C^{1}$-метрике). Тодда каждый цикл $\gamma_{s}$ нетривиален (т.е. не гомологичен нулю) на торе $T_{s}$.

Доказательство.
Из соображений непрерывности ясно, что все циклы $\gamma_{s}$ одновременно либо тривиальны на торах $T_{s}$, либо нетривиальны. Допустим от противного, что все они тривиальны. Тогда гладкая кривая $\gamma_{s}$ ограничивает на торе двумерный диск (рис. 3.11). На ней обязательно найдется точка $x_{s}$, в которой векторы $\operatorname{sgrad} H$ и $\frac{d \gamma_{s}}{d t}$ направлены в противоположные стороны. Дело в
Рис. 3.11 том, что в силу теоремы Лиувилля, при подходящем выборе координат на торе, поле $\operatorname{sgrad} H$ выпрямляется (см. рис. 3.11). Устремим теперь $S$ к нулю. Тогда вектор $\frac{d \gamma_{s}}{d t}$ стремится к вектору $v=\operatorname{sgrad} H$ в каждой точке. Ясно, что это эти два факта противоречат друг другу. Лемма доказана.

Возвращаемся к доказательству теоремы 3.2. Мы получили на каждом торе Лиувилля, близком к $L$, нетривиальную окружность $\gamma$ (близкую к замкнутой интегральной траектории $S_{i}$ поля $v=\operatorname{sgrad} H$ ). Если тор Лиувилля проходит мимо нескольких замкнутых траекторий $S_{i}$, то мы получим на нем несколь-

ко таких нетривиальных окружностей. Их гомологичность следует из того, что они не пересекаются. Обратим внимание на то, что это рассуждение показывает гомологичность окружностей лишь с точностью до их ориентации. Можно ли ориентировать их таким образом, чтобы на каждом торе Лиувилля они стали гомологичными уже как ориентированные циклы? (Мы, разумеется, хотим, чтобы вблизи каждой из критических окружностей $S_{i}$ циклы $\gamma$ имели одинаковую ориентацию.) В принципе, это не очевидно. Конечно, на каждом отдельном торе Лиувилля все расположенные на нем циклы $\gamma$ можно согласованно ориентировать. Но к особому слою $L$ могут примыкать не один, а много разных торов Лиувилля. Следовательно, надо согласовывать ориентации циклов $\gamma$ на разных торах. Возможно ли это? Ответ положительный.

Обсуждаемый вопрос можно переформулировать следующим образом. Рассмотрим произвольный тор Лиувилля $T$, попавший в окрестность $V(L)$. На нем имеется один или несколько циклов $\gamma$, которые гомологичны между собой с точностью до ориентации. Рассмотрим «двузначную» функцию, определенную по уже знакомой нам формуле
\[
F(T)= \pm \frac{1}{2 \pi} \int_{\gamma} \alpha .
\]

Здесь, как и выше, $\alpha$ – дифференциальная 1-форма действия, т.е. $d \alpha=\omega$ (можно показать, что такая форма в окрестности $V(L)$ всегда существует). Эта функция, очевидно, гладко продолжается на всю окрестность $V(L)$. Нам на самом деле нужно показать, что эта «двузначная» функция распадается на две однозначные функции, каждая из которых может быть рассмотрена в качестве искомого периодического интеграла.

Для этого достаточно заметить, что $F$ имеет смысл переменной действия (см. выше теорему Лиувилля), поскольку циклы $\gamma$ нетривиальны на торах Лиувилля. Отсюда сразу следует, что интегральные траектории («двузначного») векторного поля $\operatorname{sgrad} F$ замкнуты с периодом $2 \pi$. Кроме того, имеет место соотношение
\[
\operatorname{sgrad} F= \pm \alpha \operatorname{sgrad} H \pm \beta \operatorname{sgrad} f,
\]

где $\alpha$ и $\beta$ постоянны на каждом слое Лиувиллева слоения. Рассмотрим это соотношение на особом слое $L$. Заметим, что $\alpha$ и $\beta$ не могут быть равны нулю одновременно, иначе мы получили бы противоречие с $2 \pi$-периодичностью траекторий. Выберем теперь знаки $\alpha$ и $\beta$ каким-то определенным образом и фиксируем наш выбор. В результате мы получим на особом слое $L$ однозначное векторное поле, всюду отличное от нуля. Мы можем теперь однозначно продолжить его на окрестность $V(L)$, выбирая знак из соображений непрерывности.

В итоге мы получим в $V(L)$ гладкое однозначное векторное поле, все траектории которого замкнуты с периодом $2 \pi$ и лежат на слоях лиувиллева слоения. Остается в качестве периодического интеграла взять его гамильтониан.

Следствие. $\mathrm{Ha} V(L)$ естественно определено пуассоново действие окружности – сдвиг вдоль интегральных траекторий поля $\operatorname{sgrad} F$ на угол $\varphi$. Траектории поля $\operatorname{sgrad} F$ – это в точности орбиты действия этой группы.

Доказанный результат можно проинтерпретировать следующим образом. Согласно теореме Лиувилля в окрестности каждого неособого слоя лиувиллева слоения можно определить переменные действия $s_{1}, s_{2}$. Как они себя ведут в окрестности особого слоя? Теорема 3.2 утверждает, что одна из переменных действия (если соответствующий ей цикл выбран правильным способом!) выживает, то есть является гладкой функцией в окрестности особого слоя с отличным от нуля дифференциалом. Отметим, что аналогичный результат справедлив для невырожденных систем и в многомерном случае, см. [341], [342], [344].

Из теоремы 3.2 легко вытекает следующее утверждение, дающее описание слоения Лиувилля в трехмерной инвариантной окрестности $U(L) \subset Q^{3}$ особого слоя $L$.

Теорема 3.3.
a) Трехмерное многообразие $U(L)$ является многообразием Зейферта, особые слои которого (если они существуют) имеют один и тот же тип $(2,1)$.
б) Эти особые слои являются в точности критическими окружностями интеграла $f$ с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами.
в) Если особых слоев у этого расслоения Зейферта нет, то многообразие $U(L)$ является прямым произведением $P(L) \times S^{1}$, где $P(L)$ – двумерная ориентируемая поверхность с краем.
2) В общем случае структура расслоения Зейферта на $U(L)$ и структура слоения Лиувилля на $U(L)$ согласованы в том смысле, что каждый слой расслоения Зейферта (окружность) лежит на каком-то слое слоения Лиувилля. В частности, интеграл $f$ постоянен на слоях расслоения Зейферта.

Доказательство.
Это утверждение фактически является топологической переформулировкой теоремы 3.2 и ее следствия. В качестве ориентированных слоев расслоения Зейферта на $U(L)$ мы просто берем ориентированные орбиты $S^{1}$-действия, порожденного периодическим интегралом $f$. В небольшом комментарии нуждается лишь пункт (в). В силу ориентируемости слоев расслоения Зейферта и самой окрестности $U(L)$, база $P=P(L)$ является ориентируемой двумерной поверхностью с краем. Если особых слоев в расслоении Зейферта нет, то слоение локально тривиально. Более того, поскольку база $P(L)$ имеет край, то никаких дополнительных инвариантов слоения (типа числа Эйлера) не существует и, следовательно, слоение Зейферта на $U(L)$ имеет тип прямого произведения.

В случае особого слоя $L$, содержащего критические окружности с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами, можно дать еще одно наглядное описание топологии окрестности $U(L)$. Можно проверить, что в этом случае всегда существует «сечение» слоения Зейферта $\widetilde{P} \subset U(L)$, обладающее следующими свойствами:
1) $\widetilde{P}$ трансверсально слоям расслоения Зейферта;
2) каждый неособый слой пересекает поверхность $\widetilde{P}$ дважды, а особые слои (критические окружности с неориентируемой сепаратрисной диаграммой) только один раз.
Поясним, как такая поверхность может быть построена. Поскольку слой $L$ является деформационным ретрактом своей окрестности $U(L)$, то достаточно построить трансверсальное сечение лишь на особом слое (а затем гладко продолжить его на некоторую окрестность). Построим сначала это сечение в малых окрестностях критических окружностей: в случае неориентируемой сепаратрисной диаграммы возьмем произвольную трансверсаль к критической окружности, а в ориентируемом случае две непересекающиеся трансРис. 3.12 версали (получающиеся друг из друга сдвигом на $\pi$ ). Легко видеть, что особый слой $L$ является объединением двумерных орбит, каждая из которых диффеоморфна кольцу $S^{1} \times D^{1}$, и критических окружностей. На каждой критической окружности (и даже в некоторой ее окрестности) сечение $\widetilde{P}$ уже имеется, и мы должны продолжить его на каждое из колец (рис. 3.12). Это, очевидно, можно сделать, соединяя между собой начальные пары точек, находящиеся на противоположных граничных окружностях кольца.

В результате мы получим сечение расслоения Зейферта на особом слое $L$, обладающее требуемыми свойствами. Продолжая его на трехмерную окрестность $U(L)$, получаем искомую поверхность $\widetilde{P}$. Легко видеть, что поверхность $\widetilde{P}$ связна, если особый слой $L$ связен.

На $\widetilde{P}$ естественно определена инволюция $\tau$. В самом деле, каждой точке $x$ из $\widetilde{P}$ можно сопоставить точку $\tau(x) \in \widetilde{P}$, являющуюся второй точкой пересечения слоя расслоения Зейферта, проходящего через точку $x$, с сечением $\widetilde{P}$ (рис. 3.13 ). Такая точка встречи всегда

Рис. 3.13 существует и отлична от $x$, если $x$ не принадлежит особому слою расслоения Зейферта. Если же точка $x$ лежит на особом слое расслоения Зейферта, то мы полагаем $\tau(x)=x$.

Лемма 3.3.
а) Отображение $\tau$ является инволюцией на $\widetilde{P}$. Ее неподвижные – это в точности точки пересечения $\widetilde{P}$ с особыми слоями расслоения Зейферта.
б) База $P$ расслоения Зейферта на $U(L)$ является фактор-пространством поверхности $\widetilde{P}$ по действию инволюции $\tau$.
Доказательство вытекает из определения инволюции $\tau$.

Заметим, что на поверхности $\widetilde{P}$ естественно определена функция Морса, являющаяся ограничением интеграла $f$. Ясно, что инволюция $\tau$ сохраняет функцию $f$.

Эта конструкция позволяет представить $U(L)$ в следующем виде. Рассмотрим 3 -цилиндр $\widetilde{P} \times$ $\times[0, \pi]$. Склеим два его основания $\widetilde{P} \times\{0\}$ и $\widetilde{P} \times\{\pi\}$ по действию инволюции $\tau$, т.е. отождествив точку $(x, 0)$ с точкой $(\tau(x), \pi)$ (рис. 3.14). В результате получится искомое 3 -многообразие $U(L)$ – косое произведение поверхности $\widetilde{P}$ на окружность.
Рис. 3.14
Опишем теперь, как устроено слоение $U(L)$ на торы Лиувилля. На поверхности $\widetilde{P}$ имеется слоение на линии уровня функции $f$. Следовательно, прямое произведение $\widetilde{P} \times[0, \pi]$ расслоено на 2 -цилиндры, представляющие собой прямые произведения линий уровня функции $f$ на отрезок. Склеивая теперь основания 3 -цилиндра $\widetilde{P} \times[0, \pi]$ по инволюции $\tau$, мы видим, что эти 2-цилиндры склеиваются в двумерные торы Лиувилля, расслаивающие $U(L)$.