Оказывается, существует естественное вложение группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$ в группу изометрий $\operatorname{Iso}\left(L^{2}\right)$ двумерной плоскости Лобачевского $L^{2}$. Тем самым, группа $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$ представляется в виде изометрий плоскости Лобачевского. Реализуем плоскость Лобачевского в виде верхней полуплоскости комплексной $z$-плоскости. Рассмотрим на ней две изометрии $\beta, \alpha$, задающиеся следующими дробно-линейными преобразованиями:
\[
\alpha: z \rightarrow-\frac{1}{z}, \quad \beta: z \rightarrow z+2 .
\]

Хорошо известно, что группа собственных изометрий плоскости Лобачевского Iso $\left(L^{2}\right)_{0}$ изоморфна фактор-группе $S L(2, \mathbb{R}) / \mathbb{Z}_{2}$, где $\mathbb{Z}_{2}=\{ \pm E\}$. Тогда преобразования $\beta$ и $\alpha$ запишутся в виде матриц
\[
\alpha^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right), \quad \beta^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
0 & 1
\end{array}\right) .
\]

Рис. 2.57
Геометрически преобразование $\beta$ задает сдвиг вдоль вещественной оси на две единицы. Преобразование $\beta$ имеет бесконечный порядок, поскольку его $k$-я степень имеет вид:
\[
\left(\beta^{\prime}\right)^{k}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 k \\
0 & 1
\end{array}\right) .
\]

Преобразование $\alpha$ – это гиперболический поворот на угол $\pi$ вокруг точки $i$ на мнимой оси. Это очевидно инволюция. Квадрат матрицы $\alpha^{\prime}$ равен $-E$, однако это есть тождественное преобразование в группе $\operatorname{Iso}\left(L^{2}\right)_{0}=$ $=S L(2, \mathbb{R}) / \mathbb{Z}_{2}$.

Лемма 2.2. Подгрупа в группе $\operatorname{Iso}\left(L^{2}\right)_{0}$, порожденная преобразованиями $\beta$ и $\alpha$, изоморфна групле $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$.

Доказательство следует из явного вида матриц.
Фундаментальная область $F(D)$ подгруппы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$ изображена на рис. 2.57. Она очевидно является треугольником, все три вершины которого лежат на бесконечности, т.е. на абсолюте. Под действием преобразований $\beta$ и $\alpha$ эта область размножается как показано на рис. 2.58. Преобразование $\beta$ сдвигает ее на две единицы вправо, а преобразование $\alpha$ поворачивает область на угол $\pi$ вокруг точки $i$. Отсюда видно, что применяя композиции этих преобразований, мы постепенно замостим всю верхнюю полуплоскость образами области $F(D)$, как показано на рис. 2.58.

Теперь мы можем вложить дерево $D$ в плоскость Лобачевского таким образом, что оно будет переходить в себя при описанном действии группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$. Проще всего построить это вложение так. В фундаментальной области (треугольнике) $F(D)$ выберем треножник, показанный на рис. 2.59 , состоящий из отрезков геодезических и имеющий свою вершину в центре треугольника $F(D)$. Для этого достаточно провести из каждой верши-

Рис. 2.58 ны $F(D)$ перпендикуляр к противоположной стороне. Точка пересечения трех перпендикуляров и дает центр треножника. Под действием композиций преобразований $\beta$ и $\alpha$ треножник порождает дерево $D$ (рис. 2.59). Для наглядности, та же картина вложения дерева $D$ в плоскость Лобачевского показана нами и на модели Пуанкаре, то есть на единичном круге (рис. 2.60). Профакторизуем теперь плоскость Лобачевского по всей группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$. В результате с топологической точки зрения получится кольцо с одной отмеченной точкой внутри (рис. 2.61). Эта отмеченная точка отвечает неподвижной точке преобразования $\alpha$. В этой точке нарушается гладкость и получается коническая особенность. Кольцо с отмеченной точкой внутри вскоре появится у нас как атом $A^{*}$.

Теперь погрузим теорию $f$-атомов в гиперболическую геометрию. Оказывается, что в некотором смысле каждый $f$-атом может быть представлен в виде фактора плоскости Лобачевского по подходящей подгруппе группы изометрий. Более точно, следует поступить так. Возьмем в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$ любую подгруппу $G$ конечного индекса без элементов конечного порядка. Фундаментальная область $F(G)$ группы $G$ получается объединением нескольких фундаментальных областей $F(D)$. При этом число таких областей $F(D)$ в точности равно индексу подгруппы $G$ в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$. В частности, площадь
Рис. 2.59

области $F(G)$ равна $\pi k$, где $k$ – индекс подгруппы $G$ в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$. Факторпространство плоскости Лобачевского по подгруппе $G$ группы изометрий будет полной, в смысле метрики постоянной отрицательной кривизны, некомпактной двумерной поверхностью с параболическими концами. Эти концы соответствуют парам геодезических, касающихся друг друга в бесконечно удаленной точке на абсолюте.

Рис. 2.62
Рис. 2.63

Если мы теперь зададим на плоскости Лобачевского функцию Морса $\tilde{f}$, инвариантную относительно действия группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$ (а, следовательно, и относительно ее подгрупп $G$ ), то фактор-пространства вида $L^{2} / G$ можно будет оснастить функцией Морса $f$. Она получится из универсальной функции $\tilde{f}$ путем ее опускания вниз на фактор-пространство $L^{2} / G$. В результате получится $f$-атом.

Опишем универсальную функцию $\tilde{f}$ на $L^{2}$. На рис. 2.62 изображены линии уровня искомой функции $\tilde{f}$ на фундаментальной области $F(D)$ и на ее образе при действии преобразования $\alpha$ (в результате получается четырехугольник с верши-

нами на абсолюте). Центр четырехугольника – это седловая морсовская точка, а геодезические, соединяющие середины противоположных сторон, это критическая линия уровня функции $\tilde{f}$. При этом линии уровня выходят на границу фундаментальной области и, следовательно, четырехугольника, под прямым углом. Это гарантирует нам гладкость функции уже на всей плоскости Лобачевского после размножения области $F(D)$ элементами группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$. В результате получается картина линий уровня функции $\tilde{f}$ на всей плоскости Лобачевского. На рис. 2.63 показана одна критическая линия уровня функции $\tilde{f}$. Комбинируя теперь рис. 2.62 и рис. 2.63, легко нарисовать – как устроены и все остальные (регулярные) линии уровня функции $\tilde{f}$.
Лемма 2.3.
а) Описанная функция $\tilde{f}$ на плоскости Лобачевского является функцией Морса, инвариантной относительно группы $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$.
б) Все ее критические точки являются седловыми.
Доказательство фактически дано при построении функции $\tilde{f}$.

Задача. Описать функцию $\tilde{f}$ в инвариантных терминах геометрии Лобачевского.
Пусть теперь $G$ – произвольная подгруппа конечного индекса без элементов конечного порядка в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, вложенная в группу изометрий плоскости Лобачевского.
Теорема 2.15. Фактор-пространство $L^{2} / G$ плоскости Лобачевского по группе $G$ является некомпактной двумерной поверхностью $P^{2}$, снабженной функцией Морса $f$. Ее параболические концы уходят на бесконечность. На этой поверхности задана полная метрика постоянной отрицательной кривизны. Пара ( $\left.P^{2}, f\right)$ задает некоторый $f$-атом. Точнее, класс эквивалентности этой пары является некоторым $f$-атомом. И наоборот, любой $f$-атом получается таким образом.
КоммЕНтаРиЙ. Поверхность $P^{2}$ имеет концы, уходящие на бесконечность. Удобно считать, что функция $\tilde{f}$ равна нулю на критической линии уровня. Тогда, отрезав концы поверхности $P^{2}$, то есть рассмотрев множество $\{|f| \leqslant \varepsilon\}$, мы получаем уже компактную двумерную поверхность с функцией Морса, определяющую $f$ атом.

Доказательство фактически дано выше при построении функции $\tilde{f}$.

На рис. 2.64 мы условно изобразили представление атома $B$ в виде полной поверхности

Рис. 2.64 постоянной отрицательной кривизны с тремя параболическими концами, уходящими на бесконечность. Отметим, что эти поверхности нельзя гладко вложить в $\mathbb{R}^{3}$ так, чтобы индуцированная на них метрика оказалась бы полной метрикой постоянной отрицательной кривизны. При

этом критическая линия уровня функции Морса, то есть восьмерка, реализовалась в виде замкнутой минимальной геодезической с самопересечением. На этом же рисунке показана модель постоянной отрицательной кривизны для атома $C_{2}$. Видны две минимальные замкнутые геодезические, образующие критическую линию уровня функции Морса.

Выше мы описали накрытие $f$-графа универсальным деревом $D$. Мы peaлизовали это дерево в плоскости Лобачевского (рис. 2.60) в виде графа, составленного из отрезков геодезических. В каждой вершине графа сходятся ровно три дуги. Углы между ними равны и составляют $\frac{2 \pi}{3}$. Следовательно, дерево $D$ оказывается минимальной сетью или сетью Штейнера. Другими словами, она является локально минимальной сетью. Для случая сетей на плоскости, то есть для пространства нулевой кривизны, имеется богатая и хорошо разработанная теория таких сетей. См. работу А.О. Иванова и А. А. Тужилина [69]. В нашем случае, переходя к фактор-пространству $L^{2} / G$, мы получаем замкнутые минимальные сети на полной поверхности постоянной отрицательной кривизны, являющейся атомом. Любопытно, что для любой такой сети на атоме все ее отрезки имеют одинаковую длину. Отсюда может быть удастся извлечь полную классификацию локально минимальных сетей, т. е. сетей Штейнера, на всех атомах, реализованных в виде полных некомпактных поверхностей постоянной отрицательной кривизны с параболическими концами.