§ 9. Применение импульсных функций и обобщение понятия плотности вероятности

Плотность вероятности можно определить для любых случайных величин, если воспользоваться импульсными функциями. Производную функции в точке разрыва можно считать равной бесконечности. Однако приращение функции на любом интервале, содержащем точку

разрыва первого рода, конечно. Поэтому интеграл от производной разрывной функции, распространенный на сколь угодно малый интервал, содержащий точку разрыва этой функции, должен быть конечным. Такими свойствами обладает импульсная -функция, широко применяемая в физических и технических приложениях.

Импульсной -функцией называется такая функция, которая равна нулю всюду, кроме начала координат, равна бесконечности в начале координат, а интеграл от нее, распространенный на сколь угодно малый отрезок, содержащий начало координат, равен единице:

Часто бывает удобно потребовать еще, чтобы -функция была четной, что можно выразить равенствами: о

Однако это требование совершенно необязательно.

Очевидно, что для любой функции

если Если интервал не содержит точку то интегралы в (9.4) равны нулю. Действительно, равна нулю всюду, кроме точки Следовательно, интеграл (9.4) не изменится от замены функции ее значением если она непрерывна в точке Вынося это значение за знак интеграла и принимая во внимание (9.2), мы и получим (9.4). Если точка является точкой разрыва первого рода функции разбивая интервал интегрирования в (9.4) на части применяя к каждому из полученных интегралов предыдущие рассуждения и учитывая (9.3), получим формулу (9.4), если считать, что значение функции в точке разрыва равно полусумме ее пределов слева и справа в этой точке.

Импульсную -функцию можно рассматривать как предел обычной функции. Так, например, функция

при стремится к -функции. И вообще, если — любая абсолютно интегрируемая функция (т. е. если интеграл от ее модуля, распространенный на всю числовую ось, конечен), и то функция

в пределе при обращается в -функцию. Действительно, так как абсолютно интегрируема, то она убывает быстрее, чем при Следовательно, и при любом функция определяемая формулой (9.6), стремится к нулю при Значение в силу условия стремится к бесконечности при Интеграл от функции распространенный на любой интервал, содержащий начало координат, стремится к 1 при так как при интегрировании функции в пределах числитель заменой переменных приводится к интегралу который имеет пределом при интеграл, стоящий в знаменателе. Если четная функция, то функция в пределе при будет удовлетворять и условию (9.3). Остается доказать, что для функции в пределе при справедлива формула (9.4). При этом для простоты мы ограничимся случаем непрерывной четной функции Если то на основании доказанных свойств функции

где сколь угодно малая величина. Выбирая настолько малым, чтобы функция была монотонной в каждом из интервалов на основании второй теоремы о среднем можем написать ([74], т. II, гл. VI, § 3):

где На основании уже доказанных свойств функции первый интеграл в формуле (9.8) при стремится к половине, а второй — к нулю. Следовательно,

и аналогично

На основании этих равенств формула (9.7) принимает вид:

что и доказывает справедливость формулы (9.4) для функции в пределе при

Взяв в формуле (9.6) функцию имеющую производные всех порядков, можно определить производные -функции как пределы соответствующих производных функции При этом для любой дифференцируемой раз функции имеет место формула

где Если точка не принадлежит интервалу то интегралы в (9.12) равны нулю. Если производная имеет разрыв первого рода в точке то ее значение в точке в (9.12) следует понимать как полусумму ее левого и правого пределов в этой точке. Формула (9.12) будет доказана, если мы выведем предельные равенства

Для доказательства достаточно применить метод индукции. Взяв в (9.6) функцию которая имеет непрерывную производную

порядка и удовлетворяет условию получим интегрированием по частям:

Отсюда видно, что формула (9.13) справедлива при если она справедлива при . А так как раньше формула (9.13) была доказана для [формула (9.11)], то она справедлива для любого Формула (9.14) получается как следствие формулы (9.13) после замены переменных

Интегрируя -функцию в пределах от до получим на основании (9.1), (9.2) и (9.3) единичную ступенчатую функцию:

Следовательно, -функция представляет собой производную единичной ступенчатой функции:

Импульсные функции - -функция и ее производные, — строго говоря, не являются функциями с точки зрения обычного определения функции в математике. Нельзя говорить и о пределах рассмотренных выше функций при обычном понимании предела. Однако предельные интегральные соотношения (9.11), (9.13) и являются совершенно строгими с математической точки зрения. Поэтому импульсные функции следует рассматривать как обобщенные функции, обладающие интегральными свойствами (9.4) и (9.12). При этом формулы (9.4) и (9.12) представляют собой лишь сокращенную запись формул (9.11) и (9.13), (9.14) соответственно. Для практических приложений импульсных функций также важны лишь их интегральные свойства (9.4) и (9.12). Поэтому практическое применение импульсных функций вполне обосновано.

В приложениях часто бывает удобно пользоваться аналитическим представлением -функции в форме интеграла Фурье. Полагая в получим:

Воспользуемся теперь формулой

справедливой для любого комплексного и любого а, имеющего положительную действительную часть. Формулу (9.19) можно вывести, например, методом дифференцирования по параметру принимая во внимание, что гл. III, § 3)

Полагая в сравнивая результат с (9.18), получим представление функции в форме интеграла Фурье:

Отсюда, переходя к пределу при получим:

Интеграл в этой формуле расходящийся. Его следует понимать как предел сходящегося интеграла (9.21). Формула (9.22) полезна для многих приложений.

Пользуясь -функцией, можно определить плотность вероятности для любой случайной величины. В частности, плотность вероятности прерывной случайной величины X на основании (9.1) и (9.2) определяется формулой

Однако, если считать, как это обычно делается, что -функция удовлетворяет условию (9.3), то для того, чтобы формула (8.6) была справедлива при любом х, необходимо условиться, что верхний предел не принадлежит области интегрирования, т. е. рассматривать интеграл как предел при интеграла по интервалу Точно так же формула (8.5) справедлива при любых если считать не принадлежащими интервалу интегрирования, т. е. понимать интеграл как предел при интеграла, распространенного на интервал . Для того чтобы формулы (8.5) и (8.6) были справедливы (конечно, с заменой неравенства неравенством без дополнительных условий относительно концов интервала интегрирования, необходимо отказаться от условия (9.3) и определить -функцию как предел функции

соответствующей такой функции в формуле (9.6), которая равна нулю при всех отрицательных значениях

Для случайной величины, функция распределения которой имеет точки разрыва и дифференцируема во всех точках непрерывности, плотность вероятности может быть выражена в виде суммы некоторой функции и линейной комбинации -функций:

Применение импульсных функций дает возможность значительно расширить обычное понятие интеграла, включив в него любые линейные комбинации значений подынтегральной функции и ее производных (или обобщенных производных, если обычные производные не существуют) в дискретном ряде точек, принадлежащих области интегрирования. Пусть произвольное дискретное множество точек на отрезке и

Полагая

и принимая во внимание (9.4) и (9.12), можно представить формулу (9.25) в виде:

Эта формула справедлива и в том случае, когда точки принадлежат множеству точек если условиться всегда считать концы интервала интегрирования принадлежащими интервалу интегрирования. Числа в формулах (9.25) и (9.26) могут быть и бесконечными.

Совершенно аналогично определяется -функция в пространстве любого числа измерений. А именно, -функцией в пространстве измерений называется такая функция -мерного вектора которая равна нулю всюду, кроме начала координат, равна бесконечности в начале координат и интеграл от которой, распространенный на произвольную область, содержащую начало координат, равен единице. При этом в формулах следует понимать как -мерный вектор, т. е. как совокупность переменных а формулу (9.2) следует заменить формулой

где интеграл следует понимать как -кратный интеграл по произвольной области в пространстве измерений, содержащей начало координат. Очевидно, что условиям (9.1) и (9.28) удовлетворяет, в частности, произведение -функций скалярных переменных

Поэтому многомерные -функции всегда можно считать произведениями соответствующих одномерных -функций.

Пример. Для того чтобы показать, что смешанные случайные величины, плотности вероятности которых выражаются формулой типа (9.24), имеют практическое значение, особенно в задачах теории автоматического управления, рассмотрим нелинейный элемент с ограниченной зоной линейности, характеристика которого определяется формулой

и предположим, что входной величиной этого нелинейного элемента является равномерно распределенная в интервале случайная величина Найдем функцию распределения и плотность вероятности выходной величины рассматриваемого элемента, т. е. случайной величины

Очевидно, что величина не может быть меньше —а и больше а. Следовательно, обозначая через ее функцию распределения, можем написать равенства:

Рис. 6.

Если то выходная величина рассматриваемого элемента будет меньше у в том и только в том случае, когда ее входная величина X меньше у. Следовательно,

Таким образом, в интервале функция распределения величины совпадает с функцией распределения величины Но функция распределения величины X, как мы видели в примере § 8, определяется формулой (8.9). На основании формул (8.9) и (9.32) функция распределения величины У выразится формулой

В точках функция распределения имеет разрывы. На рис. 6 показаны графики функций распределения случайных величин Так как вероятности значении равны соответственно и то плотность вероятности случайной величины выражается формулой