§ 54. Интегрирование случайной функции

Рассмотрим случайную функцию

где определенная функция. Предположим, что известны математическое ожидание и корреляционная функция случайной функции и поставим задачу найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции Так же как и в предыдущем параграфе, мы решим эту задачу сначала чисто формально, не заботясь о математической строгости, а потом дадим строгое определение интеграла от случайной функции и покажем, что решение поставленной задачи на основе этого определения совпадает с формальным решением. Математическое ожидание случайной функции на основании свойств математических ожиданий равно:

или

Для определения корреляционной функции случайной функции вычтем формулу (54.3) почленно из (54.1). Тогда получим:

и

Применяя к этому равенству операцию математического ожидания, найдем корреляционную функцию случайной функции

Формула (54.6) показывает, что если случайная функция с некоррелированными значениями имеет конечную дисперсию, то корреляционная функция интеграла от этой случайной функции тождественно равна нулю. Для того чтобы интеграл от случайной функции с некоррелированными значениями имел отличную от тождественного нуля корреляционную функцию, необходимо, чтобы корреляционная функция этой случайной функции обращалась при в бесконечность как -функция разности т. е. чтобы эта случайная

функция была белым шумом. Подставляя в формулу (54.6) выражение (49.18) корреляционной функции белого шума, получим:

Таким образом, корреляционная функция интеграла от белого шума выражается простым интегралом, а не двойным.

Заменяя в формуле (54.4) переменную интегрирования переменной умножая эту формулу на и применяя к полученной формуле операцию математического ожидания, найдем взаимную корреляционную функцию интеграла (54.1) и случайной функции X:

В частности, подставляя в (54.8) выражение (49.18) корреляционной функции белого шума, получим следующее выражение для взаимной корреляционной функции интеграла от белого шума с самим белым шумом:

Данное выше решение задачи определения математического ожидания и корреляционной функции интеграла от случайной функции является нестрогим по двум причинам. Во-первых, нестрогим было изменение порядка операций интегрирования и математического ожидания. Во-вторых, и это самое главное, обычное определение интеграла неприменимо к случайным функциям по той же причине, что и обычное определение производной. Поэтому необходимо дать сначала определение интеграла от случайной функции, а потом уже выводить формулы для его математического ожидания и корреляционной функции.

В приложениях обычно считают случайную функцию интегрируемой, если интегрируемы все ее реализации. Если допустить возможное существование исключительных неинтегрируемых реализаций, имеющих нулевую суммарную вероятность, то интеграл от случайной функции можно будет определить как предел почти наверное соответствующей суммы. С теоретической точки зрения для определения интеграла от случайной функции, как и для определения производной, удобнее пользоваться понятием предела в среднем квадратическом. В соответствии с этим случайную функцию называют интегрируемой по области с весом если существует такая случайная функция что

независимо от выбора точек соответствующих участков на которые разбита область Случайная функция называется интегралом от случайной функции с функцией веса распространенным на область и для нее применяется обычное обозначение интеграла (54.1). Определение (54.10) показывает, что интеграл от случайной функции есть предел в среднем квадратическом (см. § 37) соответствующей суммы:

Для строгого вывода формул (54.3) и (54.6) рассмотрим такую последовательность разбиений области на участки для которой Положим:

Применяя формулы (19.13) и (20.22), находим математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции

Таким образом, из существования конечных математического ожидания и корреляционной функции случайной функции X следует, что все случайные функции имеют конечные математические ожидания и дисперсии [при условии конечности функции веса Следовательно, к случайным функциям применима доказанная в предыдущем параграфе общая теорема. На основании этой теоремы из (54.10) следует, что математическое ожидание и корреляционная функция случайной функции существуют и равны пределам последовательностей математических ожиданий и корреляционных функций случайных функций

Но пределы функций на основании обычного определения интеграла равны интегралам (54.3) и (54.6) соответственно. Следовательно, формулы (54.15) и (54.16) равноценны формулам (54.3) и (54.6).

Изложенное показывает, что интегрируемость случайной функции X с весом по области влечет за собой существование интегралов (54.3) и (54.6), которое, таким образом, является необходимым условием интегрируемости случайной функции Для доказательства достаточности этого условия необходимо найти еще взаимную корреляционную функцию случайных функций Эта взаимная корреляционная функция, согласно доказанному в предыдущем параграфе общему предложению, существует и представляет собой на основании формулы (53.30) предел последовательности взаимных корреляционных функций случайных функций со случайной функцией

Но на основании формул (54.12) и (20.22)

Подставляя это выражение в формулу (54.17), получим на основании обычного определения интеграла формулу (54.8).

Для доказательства достаточности существования интегралов (54.3) и (54.6) для интегрируемости случайной функции X предположим, что математическое ожидание и корреляционная функция случайной функции выражаются формулами (54.3) и (54.6), а взаимная корреляционная функция

случайных функций формулой (54.8), и докажем, что в этом случае интеграл (54.1) существует и равен случайной функции что имеет место равенство (54.10). Так как

а правая часть этого равенства на основании формул (54.15), (54.16) и (54.8) стремится к нулю при то последовательность случайных функций сходится в среднем квадратическом к случайной функции которая, таким образом, является интегралом от случайной функции и выражается формулой (54.1). Итак, существование интегралов (54.3) и (54.6) является необходимым и достаточным условием существования интеграла (54.1) от случайной функции всех предыдущих выкладках аргументы могут быть как скалярными величинами, так и векторными. Если вектор, то каждый интеграл в предыдущих формулах следует понимать как кратный интеграл по пространству соответствующего числа измерений.

Если интегралы (54.3) и (54.6) существуют в обобщенном смысле (§ 9), то и интеграл (54.1) от случайной функции X мы будем считать существующим в обобщенном смысле.

Пример 1. Найти корреляционную функцию интеграла от случайной функции X, корреляционная функция которой определяется формулой (49.36). В данном случае

Применяя формулу (54.6), находим:

При эта формула дает:

При вследствие симметрии корреляционной функции переменные поменяются местами. В результате получим следующую формулу для корреляционной функции интеграла (54.20):

Пример 2. Случайная функция X связана с белым шумом V, имеющим единичную интенсивность линейным дифференциальным уравнением

и равна нулю при Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции

Интегрируя уравнение (54.24), находим:

где для краткости положено

Математическое ожидание белого шума V по определению тождественно равно нулю. Следовательно, на основании (54.3) и (54.25) математическое ожидание случайной функции X тождественно равно нулю. Корреляционная функция случайной функции V по условию равна Применяя формулу (54.6), находим:

При эта формула дает:

Полагая для краткости

и принимая во внимание симметрию корреляционной функции, получаем следующую формулу для корреляционной функции случайной функции X:

Очевидно, что в частном случае, когда где некоторые постоянные,

и формула (54.30) принимает вид (49.36). Таким образом, случайную функцию, корреляционная функция которой определяется формулой (49.36), можно рассматривать как результат прохождения белого шума через линейную систему, поведение которой описывается линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами.

Легко видеть, что любую случайную функцию, корреляционная функция которой выражается формулой вида (54.30), можно представить как случайную функцию, связанную с некоторым белым шумом линейным дифференциальным уравнением (54.24). Для того чтобы убедиться в этом, обозначим через любое значение при котором функция равна нулю (в частном случае может быть и выразим функции формулами (54.26) и (54.29). При этом, если то нуль в нижнем пределе интеграла

в (54.26) можно заменить любым значением при котором функция не равна нулю. Дифференцируя формулы (54.26) и (54.29), получим:

Отсюда определяются коэффициенты и уравнения (54.24). Так как функции при любом имеют одинаковые знаки (это следует из положительности дисперсии случайной функции X), то второе уравнение (54.32) имеет действительное решение относительно только в том случае, когда отношение является монотонно возрастающей функцией в полном согласии с (54.29).