§ 135. Определение оптимального линейного оператора методом канонических разложений в общем случае

В § 124 мы видели, что задача определения оптимального линейного оператора в самом общем случае приводится к решению уравнения

где известная функция, неизвестный линейный оператор. Для того чтобы решить уравнение (124.4), представим случайную функцию X каким-либо каноническим разложением в области наблюдения Т:

На основании общей теории § 62 координатные функции определяются формулой

где линейные функционалы, удовлетворяющие совместно с функциями условию биортогональности

а индексом внизу у функционала показано, что он действует над функцией рассматриваемой как функция х при фиксированном Случайные величины в разложении (135.1) определяются формулой

По аналогии с формулой (134.4) будем искать решение уравнения (124.4) в виде:

где — неизвестные функции, которые следует определить так, чтобы выражение (135.5) формально удовлетворяло уравнению (124.4). Из (135.5) и (135.2) следует, что

Подставляя это выражение в (124.4), получим:

Это равенство показывает, что выражение (135.5) может удовлетворять уравнению (124.4) только в том случае, когда функция рассматриваемая как функция х, может быть представлена в области разложением по координатным функциям Но это условие, как будет показано в конце параграфа, необходимо и для существования линейного оператора А, удовлетворяющего уравнению (124.4) и преобразующего случайную функцию X в случайную функцию с конечной дисперсией.

Если функция может быть представлена в области разложением (135.7) по функциям то для определения коэффициентов этого разложения достаточно преобразовать равенство (135.7)

при помощи функционала Тогда получим:

или, принимая во внимание (135.3),

Отсюда находим:

Эта формула однозначно определяет коэффициенты в случае, когда функция представима в области разложением (135.7). Таким образом, формулы (135.5) и (135.10) определяют формальное решение уравнения (124.4) во всех случаях, когда это уравнение имеет решение.

Полагая в формуле (135.10) последовательно и вводя обозначения

найдем по формуле (135.5) решения уравнений (124.2) и (124.3):

На основании (135.11) и (135.4) можем написать:

Следовательно.,

Таким образом, взаимная корреляционная функция всегда может быть представлена при разложением по координатным функциям Следовательно, по доказанному выше формула (135.13) всегда дает формальное решение уравнения (124.2).

Для того чтобы уравнение (124.3), соответствующее данному значению индекса имело решение, необходимо, чтобы функция была представима в области разложением по координатным

функциям Это разложение на основании формул (135.7), (135.10) и (135.12) имеет вид:

Если функция может быть представлена в области разложением (135.17), то решение соответствующего уравнения (124.3) формально определяется формулой (135.14).

На основании формул (124.6), (124.7), (135.13), (135.11), (135.12) и (135.14) величины выражаются рядами

Эти формулы могут быть использованы для вычисления величин при определении оптимального линейного оператора методом канонических разложений.

В частном случае, когда наблюдаемая случайная функция является скалярной функцией непрерывно изменяющейся переменной линейные функционалы выражаются формулой

Формула (135.10) принимает в этом случае вид (134.9). При этом из (135.13) и (135.14) следуют формулы (134.12) и (134.13) для весовых функций операторов а формулы (135.11) и (135.12) принимают вид (134.11) и (134.14).

Если наблюдаемая случайная функция скалярная, а областью наблюдения является дискретное множество значений аргумента то линейные функционалы выражаются формулой

В этом случае формулы (135.13) и (135.14) определяют весовые коэффициенты операторов

а формулы (135.11) и (135.12) принимают вид:

Формулы (135.23) — (135.26) могут быть применены для нахождения оптимальной линейной дискретной системы.

В случае, когда наблюдаемая функция является векторной, формулы (135.5) и (135.10) дают решение системы уравнений (125.13). В частности, если наблюдаемая случайная функция является -мерной векторной функцией непрерывно изменяющегося в области аргумента то формулы (135.5) и (135.10) определяют решение системы линейных интегральных уравнений (125.19). В этом случае линейные функционалы согласно общей теории § 70 выражаются формулой

При этом формулы (135.13) и (135.14) дают следующие выражения весовых функций соответствующих линейным оператором

а формулы (135.11) и (135.12) принимают вид:

Величины в данном случае, так же как и случайная функция К, являются -мерными векторами. Формула (135.29) определяет решение систем интегральных уравнений (125.19) при в том случае, когда все векторные функции могут быть представлены в области разложением (135.17) по координатным функциям т. е. когда все составляющие всех функций представимы

в области разложениями по соответствующим составляющим координатных функций

В частном случае, когда представляют собой различные моменты времени, а область наблюдения интервал формулы (135.28) — (135.31) и (125.20) определяют весовые функции оптимальной многомерной линейной системы.

Изложенный общий метод решения уравнения (124.4) дает оптимальный линейный оператор в форме бесконечного ряда. Вычисление членов этого ряда в общем виде и его суммирование в большинстве практических задач невозможно. Поэтому изложенный метод дает возможность находить оптимальные линейные системы практически лишь приближенно при помощи конечных отрезков рядов. При этом вследствие того, что полезный сигнал всегда изменяется медленнее, чем помеха, в рядах, определяющих оптимальную линейную систему, обычно можно ограничиться значительно меньшим количеством членов, чем в каноническом разложении случайной функции содержащей помеху. Как правило, в рядах, определяющих оптимальный линейный оператор, можно ограничиться сравнительно небольшим числом первых членов, в то время как для достаточно точного представления случайной функции X обычно требуется очень большое число членов канонического разложения. Это обстоятельство и является причиной того, что метод канонических разложений представляет собой эффективный метод для практического определения оптимальных систем. Практическим критерием достаточной точности определения оптимального линейного оператора при помощи отрезков рядов (135.13), (135.14), (135.18), (135.19) и (135.20) может служить малость относительного уменьшения средней квадратической ошибки (а в случае критерия экстремума данной функции математического ожидания и дисперсии или корреляционной матрицы ошибки — и малость относительного изменения математического ожидания ошибки) при увеличении числа членов отрезков этих рядов.

Заметим, что квадрат средней квадратической ошибки приближенного оптимального оператора, полученного при помощи конечных отрезков рядов (135.13), (135.14), (135.18), (135.19) и (135.20), как легко видеть, определяется формулами (124.32), (124.33) и (124.36), в которых величины и со должны быть вычислены при помощи тех же отрезков рядов (135.18), (135.19) и (135.20). При этом математическое ожидание ошибки приближенного оптимального оператора определяется формулой (124.38), в которой величины также должны быть вычислены при помощи соответствующих конечных отрезков рядов (135.18), (135.19) и (135.20).

Докажем, что найденное формальное решение уравнений (124.2) и (124.3) имеет смысл и действительно определяет оптимальный линейный оператор. Сначала докажем, что представимость функции разложением (135.7)

необходима для существования линейного оператора А, удовлетворяющего уравнению (124.4) и преобразующего случайную функцию X в случайную функцию с конечной дисперсией, ограничиваясь для простоты наиболее важным для практики случаем, когда случайная функция X имеет конечную дисперсию Предполагая, что такой оператор существует, подставим в левую часть уравнения (124.4) каноническое разложение (56.2) корреляционной функции Тогда получим:

Из формулы (57.11) следует, что ряд

сходится, если дисперсия случайной функции X конечна. А так как дисперсия преобразованной случайной функции также конечна, то и ряд

сходится. Из сходимости рядов (135.34) и (135.35) следует сходимость ряда (135.33). Таким образом, для любого линейного оператора А, преобразующего случайную функцию X в случайную функцию с конечной дисперсией, левая часть уравнения (124.4) представима разложением (135.33), и ряд (135.35) сходится. Следовательно, для существования линейного оператора удовлетворяющего уравнению (124.4) и преобразующего случайную функцию X в случайную функцию с конечной дисперсией, необходимо, чтобы правая часть уравнения (124.4) могла быть представлена при разложением (135.7) по функциям и чтобы ряд

сходился.

Докажем теперь, что формулы (135.5) и (135.10) определяют линейный оператор А, имеющий смысл в применении к случайной функции X и преобразующий ее в случайную функцию, имеющую конечную дисперсию. Для этого заметим, что на основании формул (135.5) и (135.4)

Так как при любых

то из сходимости ряда (135.36) следует, что ряд (135.37) сходится в среднем квадратическом. Дисперсия случайной функции определяемой форму равна сумме ряда (135.36) и, следовательно, конечна. Такил образом, формулы (135.5) и (135.10) определяют линейный оператор удовлетворяющий уравнению (124.4), имеющий смысл в применении к случайной функции и преобразующий ее в случайную функцию с конечной дисперсией во всех случаях когда такой оператор существует.

Из сравнения формулы (135.15) с (57.5) следует, что функции являются оптимальными координатными функциями случайной функции У по отношению к случайным коэффициентам Следовательно, на основании формулы (57.11) ряд (135.18) сходится, если случайная функция У имеет конечную дисперсию. Сходимость рядов (135.18) и (135.34) достаточна для того, чтобы разложение (135.16) взаимной корреляционной функции сходилось Таким образом, если дисперсии случайных функций конечны, то формулы (135.11) и (135.13) определяют линейный оператор А, имеющий смысл в применении к случайной функции X, преобразующий ее в случайную функцию с конечной дисперсией и удовлетворяющий уравнению (124.2).

Для существования линейных операторов удовлетворяющих уравнениям (124.3) и преобразующих случайную функцию X в случайные функции, имеющие конечные дисперсии, на основании изложенного необходимо, чтобы все функции могли быть представлены в области разложением (135.17) и чтобы все ряды

сходились. При этих условиях решение уравнений (124.3) определяется формулами (135.12) и (135.14).

Сходимость рядов (135.18) и (135.39) достаточна для того, чтобы все ряды (135.19) и (135.20) сходились. Далее, из сравнения формулы (124.6) с (135.18), (135.19) и (135.20) следует, что все линейные операторы определяемые формулами (135.13) и (135.14), имеют смысл и в применении ко всем функциям так как дают в результате преобразования функций сходящиеся ряды. Следовательно, все линейные операторы определяемые рядами (135.13) и (135.14), имеют смысл в применении к наблюдаемой случайной функции Этим завершается доказательство того, что изложенный метод дает решение уравнений (124.2) и (124.3), определяющих оптимальный. линейный оператор, во всех случаях, когда эти уравнения имеют решения, обладающие необходимыми свойствами.

Пример. Найти оптимальную дискретную линейную систему для условий примера 2 § 132, предполагая, что входная случайная функция действует на систему в равноотстоящие моменты времени

Согласно изложенному в § 125 решение поставленной задачи приводится к решению двух систем линейных алгебраических уравнений (125.10), соответствующих При большое числе моментов наблюдения решение этих систем уравнений обычными методами очень громоздко и трудоемко. Изложенный общий метод дает возможность весьма просто получить решение этих систем уравнений пои любом Для этого воспользуемся каноническим разложением случайной функции X в дискретном ряде равноотстоящих точек, найденным в примере § 59. Для этого канонического разложения дисперсии случайных коэффициентов К, определяются формулами (59.19) и (59.22), а коэффициенты выражаются формулами (59.27), где Подставляя выражения (59.19), (59.22) и (59.27) в (135.26) и полагая получим:

Подставляя эти выражения и выражения (59.27) в формулу (135.24), находим решения систем линейных алгебраических уравнений (125.10) для рассматриваемого случая:

Подставляя выражения (135.40) и выражения (59.19) и (59.22) дисперсий в формулу (135.20), находим величины

(см. скан)

Решив систему уравнений (132.43) для определяемых формулами (135.42) значений найдем величины и после чего весовые коэффициенты оптимальной дискретной линейной системы определятся формулой (125.11), которая дает:

Средняя квадратическая ошибка оптимальной системы определяется формулой (128.25) при соответствующих значениях величин

Формулы (135.41) дают точное решение соответствующих систем линейных алгебраических уравнений типа (125.10) при любом конечном числе неизвестных Найти это решение без применения метода канонических разложений было бы весьма затруднительно. Легко сообразить, что при любом конечном числе моментов наблюдения метод канонических разложений всегда дает точное решение систем уравнений (125.10) в конечной форме.