§ 103. Метод статистической линеаризации

В теории автоматического управления часто приходится встречаться с дифференциальными уравнениями, содержащими такие нелинейные функции одной скалярной переменной, которые не могут быть линеаризованы обычными в математике способами, например разрывные функции. К таким существенно нелинейным функциям отюсятся характеристики различного рода нелинейных элементов, применяемых в системах автоматического управления, например релейных элементов. На рис. 50 приведена в качестве примера характеристика релейного элемента с зоной нечувствительности. К дифференциальным уравнениям, содержащим подобные функции, изложенные в предыдущих параграфах методы линеаризации неприменимы. Для приближенного определения вероятностных характеристик интегралов дифференциальных уравнений, содержащих существенно нелинейные функции, можно применить метод статистической линеаризации, основанный на замене нелинейных функций такими линейными функциями, которые в известном смысле статистически равноценны данным нелинейным функциям. Вопрос о том, что принять за условие статистической равноценности двух функций, можно решить различными способами. Для приближенной теории, оперирующей моментами первого и второго порядков случайных функций, естественно считать статистически равноценными такие функции, которые имеют одинаковые моменты первого и второго порядков при данном законе распределения аргумента. Это условие статистической равноценности двух функций положено в основу статистической линеаризации И. Е. Казаковым [24—26].

Рис. 50.

Рассмотрим две действительные случайные величины связанные функциональной зависимостью

и поставим задачу заменить случайную величину У такой линейной функцией случайной величины X, которая имела бы такое же математическое ожидание и такую же дисперсию, как случайная величина К. Положим

и подберем коэффициенты так, чтобы случайные величины имели одинаковые математические ожидания и дисперсии:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины на основании теорем о линейных функциях случайных величин выражаются формулами

Сравнивая (103.3) и (103.4), получаем следующие формулы для коэффициентов

причем следует взять тот же знак, который имеет пролзводная функции (функция в практических задачах всегда бывает монотонной). Для полного определения коэффициентов остается вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины У. Для этого необходимо задать закон распределения случайной величины Пусть плотность вероятности случайной величины Тогда математическое ожидание и дисперсия случайной величины У, согласно (30.2), определятся формулами

Формулы (103.5) и (103.6) полностью определяют коэффициенты Заметим, что если рассматривать функцию (103.1) изолированно, то знак коэффициента не имеет никакого значения. Если же функция входит в дифференциальные уравнения и ее аргумент зависит от определяемых этими дифференциальными уравнениями неизвестных величин, то весьма существенно выбрать правильный знак коэффициента так как при неправильном выборе знака коэффициента может совершенно исказиться описываемый дифференциальными уравнениями процесс, например стать неустойчивым. Согласно данной выше рекомендации, коэффициент должен иметь тот же знак, что и производная функции

Изложенный способ статистической линеаризации функций, исходя из условия сохранения математического ожидания и дисперсии функции, как заметил Казаков, не всегда оказывается наивыгоднейшим. Дело в том, что аргументами функций, входящих в дифференциальные уравнения, обычно являются не случайные величины, а случайные функции. Статистическая линеаризация, сохраняющая математическое ожидание и дисперсию функции, обычно дает ошибку одного знака в ее корреляционной функции. Для того чтобы лучше приблизить корреляционную функцию случайной функции У, связанной со случайной функцией X зависимостью (103.1), следует воспользоваться каким-либо другим условием статистической

равноценности функций. Например, можно поставить требование, чтобы ошибка от замены функции линейной функцией (103.2) в среднем была в некотором смысле минимальной. Практически имеет смысл потребовать, чтобы средняя квадратическая ошибка от замены функции линейной функцией была минимальной. Тогда получим для определения коэффициентов условие

Подставляя сюда выражение (103.2) случайной величины и пользуясь свойствами математических ожиданий, приведем условие (103.7) к виду:

Приравнивая нулю частные производные этого выражения по получаем уравнения

Первое из этих уравнений дает для первую формулу которая ранее была выведена из условия сохранения математического ожидания функции. Второе уравнение (103.9) дает для формулу

Выражая здесь математическое ожидание функции случайной величины X через ее плотность вероятности, получим:

Таким образом, статистическая линеаризация функции по условию минимума средней квадратической ошибки дает то же значение коэффициента что и статистическая линеаризация по условию сохранения математического ожидания и дисперсии функции, а для коэффициента дает другое значение. Казаков рекомендует принимать в качестве коэффициента в формуле (103.2) среднее

арифметическое его значений, получаемых двумя изложенными способами статистической линеаризации. Формулы (103.5), (103.6) и (103.11) показывают, что коэффициенты линейной зависимости, получаемой в результате статистической линеаризации данной функции зависят не только от вида функции но и от закона распределения случайной величины X (если аргумент X в формуле (103.1) является случайной функцией, то от одномерного закона распределения этой случайной функции). Так как аргументы существенно нелинейных функций в дифференциальных уравнениях обычно зависят от определяемых дифференциальными уравнениями неизвестных, то их законы распределения обычно бывают неизвестными, что делает невозможным точное определение коэффициентов Имея в виду, что статистическая линеаризация функций применяется для приближенного определения вероятностных характеристик интегралов дифференциальных уравнений и что законы распределения аргументов существенно нелинейных функций обычно бывают достаточно близкими к нормальному закону распределения, можно рекомендовать вычислять коэффициенты при статистической линеаризации, принимая нормальный закон распределения для аргументов существенно нелинейных функций. Тогда коэффициенты будут зависеть от математического ожидания и дисперсии случайной величины В этом заключается существенное отличие статистической линеаризации от обычной. При обычной линеаризации функции как показывает сравнение формул (103.2) и (31.1), коэффициенты равны соответственно следовательно, зависят только от математического ожидания аргумента

И. Е. Казаков дал также способ приближенного учета отклонения законов распределения аргументов нелинейных функций от нормального закона распределения при статистической линеаризации функций.