§ 74. Эргодическое свойство стационарных случайных функций
На основании общей эргодической теоремы, доказанной в § 55, для стационарной случайной функции скалярной переменной 
имеет место предельное равенство
если ее корреляционная функция 
удовлетворяет условию
Но
Изменяя порядок интегрирования и выполняя интегрирование по получим:
Разбивая интервал интегрирования на части 
и принимая во внимание (72.6), можем представить формулу (74.4) в виде:
или
Таким образом, для справедливости эргодической теоремы для стационарной случайной функции 
необходимо и достаточно, чтобы ее корреляционная функция удовлетворяла условию
Стационарные случайные функции, для которых справедлива эргодическая теорема, называются обычно эргодическими.
Для действительных стационарных случайных функций условие (74.7) принимает вид:
Из достаточного условия справедливости эргодической теоремы (55.12) следует, что стационарная случайная функция 
эргодична, если ее корреляционная функция 
неограниченно убывает по модулю при 
т. е. если для любого 
можно найти такую величину 
что
Совершенно аналогично из общего условия (55.9) справедливости эргодической теоремы выводится необходимое и достаточное условие
того, чтобы стационарная случайная функция нескольких переменных 
была эргодической. Применяя то же преобразование, которое привело нас к условию (74.7), по отношению к каждой паре аргументов t приведем условие (55.9) к виду:
Это условие необходимо и достаточно для того, чтобы среднее значение стационарной случайной функции нескольких переменных 
по области 
стремилось в среднем квадратическом к ее математическому ожиданию при неограниченном увеличении 
Так же как и в случае функции одной переменной, необходимое и достаточное условие (74.10) может быть заменено более простым достаточным условием эргодичности стационарной случайной функции. А именно, для того чтобы стационарная случайная функция 
была эргодической, достаточно, чтобы ее корреляционная функция 
стремилась к нулю при неограниченном увеличении абсолютной величины каждого из ее аргументов.
Пример. Действительная стационарная случайная функция 
рассмотренная в примере 1 § 72, эргодична, так как ее корреляционная функция, определяемая формулой (72.15), удовлетворяет условию (74.8). Действительно, 
Стационарная случайная функция, рассмотренная в примере 2 § 72, очевидно, также эргодична.
