§ 51. Свойства корреляционных функций

Из определения корреляционной функции (49.7) следует, что корреляционная функция симметрична:

Для действительной случайной функции X равенство (51.1) принимает вид:

Геометрический смысл свойства симметрии корреляционной функции в случае скалярного аргумента состоит в том, что корреляционная функция имеет комплексные сопряженные значения в точках, симметричных относительно биссектрисы координатного угла плоскости (рис. 22). Для действительных случайных функций это означает, что поверхность, изображающая корреляционную функцию, симметрична относительно плоскости, проходящей через биссектрису координатного угла плоскости и ось аппликат (рис. 23).

Рис. 22.

Неравенство (20.27) для корреляционного момента дает второе свойство корреляционной функции:

В случае скалярного аргумента это означает, что значение корреляционной функции в любой точке не может превосходить по модулю среднее геометрическое ее значений на главной диагонали

в точках ее пересечения с прямыми, проведенными из данной точки параллельно осям (рис. 24).

Для вывода третьего свойства корреляционной функции рассмотрим интеграл

где - произвольная функция, а оба интеграла берутся в произвольных, но одинаковых пределах.

Рис. 23.

Подставляя в (51.4) выражение корреляционной функции (49.7), меняя местами операции интегрирования и математического ожидания и применяя обычное преобразование, получим:

Отсюда следует, что интеграл (51.4), как математическое ожидание неотрицательной величины, не может быть отрицательным ни для какой функции и ни для какой области интегрирования В. Функции, обладающие таким свойством, называются определенно положительными. Таким образом, корреляционная функция всегда определенно положительна.

В § 20 мы видели, что от прибавления к случайным величинам произвольных неслучайных величин их дисперсии и корреляционные моменты не изменяются. Следовательно, корреляционная функция случайной функции не изменяется от прибавления к случайной функции произвольной неслучайной функции. В частности, центрированная случайная функция имеет ту же корреляционную функцию, что и случайная функция

Рис. 24.

Аналогичными свойствами обладает взаимная корреляционная функция двух случайных функций. Сравнивая выражение (49.12) взаимной корреляционной функции случайных функций и с выражением взаимной корреляционной функции тех же функций, взятых в обратном порядке:

находим:

Таким образом, при изменении порядка, в котором берутся случайные функции, взаимная корреляционная функция двух случайных функций переходит в комплексную сопряженную функцию, а ее аргументы меняются местами. Для действительных случайных функций равенство (51.7) принимает вид:

Из неравенства (20.27) для корреляционного момента вытекает второе свойство взаимной корреляционной функции двух случайных функций:

Взаимная корреляционная функция двух случайных функций не изменяется от прибавления к этим случайным функциям произвольных неслучайных функций.

Из (49.16) и (51.3), а также из (49.17) и (51.9) следует, что нормированные корреляционные функции случайных функций не превосходят по модулю единицу. Это следует также непосредственно из определения нормированных корреляционных функций как некоторых коэффициентов корреляции.

Для дальнейшего изучения основных свойств корреляционных функций дадим определение непрерывности случайной функции. Случайная функция называется непрерывной в точке если при любом можно найти такое что

при

Случайная функция, непрерывная при всех значениях в некоторой области называется непрерывной в области Так как

то для непрерывной случайной функции непрерывны ее математическое ожидание и центрированная случайная функция Наоборот, если математическое ожидание и центрированная случайная функция непрерывны, то случайная функция непрерывна. Докажем, что и корреляционная функция непрерывной случайной функции непрерывна. Для этого, пользуясь определением корреляционной функции (49.7), напишем:

Отсюда, пользуясь неравенством (20.27), находим:

По условию величины

могут быть сделаны сколь угодно малыми, если взять достаточно малые Следовательно, если только дисперсия случайной функции ограничена, разность будет сколь угодно малой при достаточно малых что и доказывает непрерывность корреляционной функции.

Мы доказали, что математическое ожидание и корреляционная функция непрерывной случайной функции непрерывны. Докажем теперь обратное предложение: если математическое ожидание и корреляционная функция случайной функции непрерывны, то случайная функция

непрерывна. Для этого, согласно (51.12), достаточно доказать, что из непрерывности корреляционной функции вытекает непрерывность соответствующей центрированной случайной функции Согласно определению корреляционной функции (49.7), имеем:

Вследствие непрерывности корреляционной функции правая часть формулы (51.15) как угодно мала при достаточно малом Следовательно, центрированная случайная функция непрерывна, что и требовалось доказать. Совершенно так же доказывается непрерывность взаимной корреляционной функции непрерывных случайных функций.

В примере 2 § 49 корреляционная функция флуктуаций напряжения на выходе -цепочки, определяемая формулой (49.24), непрерывна. Следовательно, по доказанному выше напряжение на выходе -цепочки является непрерывной случайной функцией. В то же время все ее реализации, как показывают формулы (48.20) и (49.22), претерпевают разрывы первого рода в моменты действия импульсов. Точно так же корреляционная функция ступенчатой случайной функции примера 3 § 49, определяемая формулой (49.36), непрерывна. Следовательно, эта случайная функция непрерывна. Между тем все ее реализации являются ступенчатыми функциями и, следовательно, разрывны. Мы имеем, таким образом, примеры непрерывных случайных функций, имеющих разрывные реализации. Эти примеры показывают, что непрерывность случайной функции (вероятностная, в среднем квадратическом) является более общим типом непрерывности, чем обычная непрерывность всех возможных реализаций случайной функции.