§ 110. Определение вероятностей событий, функций распределения и плотностей вероятности

Если по результатам независимых опытов, произведенных в одинаковых условиях, требуется определить вероятность некоторого события то естественной оценкой искомой вероятности является полученная в результате опытов частота события А. Математическое ожидание и дисперсия частоты, согласно (19.18) и (20.38), выражаются через вероятность события А формулами

Первая формула (110.1) показывает, что частота является несмещенной оценкой вероятности события. Дисперсия частоты может служить характеристикой точности определения вероятности события по результатам опытов.

Функция распределения случайной величины X представляет собой вероятность события рассматриваемую как функция переменной х. Поэтому оценкой функции распределения случайной величины X может служить полученная в результате опытов частота события х как функция После сглаживания полученной таким образом функции распределения можно найти плотность вероятности случайной величины X, применяя какой-либо из приближенных способов дифференцирования.

Плотность вероятности случайной величины можно определить и непосредственно, без предварительного определения функции распределения. Для этого следует разбить полученный в результате опытов диапазон значений случайной величины на равные интервалы и вычислить среднюю плотность частоты на каждом интервале как отношение частоты значения случайной величины в этом интервале к длине интервала. При этом интервалы, на которые разбивается диапазон полученных в результате опытов значений случайной величины, не должны быть слишком малыми, так как при очень малом интервале нельзя выявить характер зависимости плотности вероятности

от х. Так, например, если интервал настолько мал, что в каждом интервале содержится одно или ни одного из полученных в результате опытов значений случайной величины, то найденная по результатам опытов плотность вероятности случайной величины при каждом значении х будет равна либо нулю, либо некоторой вполне определенной величине при любом законе изменения истинной плотности вероятности в зависимости от х. При слишком большом интервале также невозможно выявить характер зависимости плотности вероятности от х вследствие осреднения плотности частоты. Поэтому при непосредственном определении по результатам опытов плотности вероятности необходимо взять интервал такой длины, чтобы в каждом интервале в среднем было не меньше десяти полученных в результате опытов значений случайной величины. При этом общее количество опытов должно быть порядка нескольких сотен.

Вычисление плотности вероятности по предварительно определенной функции распределения имеет существенные преимущества перед непосредственным определением плотности вероятности, так как не связано с выбором какого-либо интервала изменения переменной х. Кроме того, сглаживание экспериментальной функции распределения дает возможность определять функцию распределения и плотность вероятности по меньшему числу опытов. Впрочем, следует отметить, что для достаточно надежной оценки функции распределения и особенно плотности вероятности необходимо большое число опытов, измеряемое сотнями.