§ 38. Теоремы Пуассона и Бернулли

Доказанные в предыдущем параграфе общие теоремы устанавливают достаточное условие, при соблюдении которого среднее арифметическое очень большого числа случайных величин или среднее арифметическое результатов наблюдения одной и той же случайной величины при очень большом числе опытов имеет тенденцию перестать быть случайным и стабилизироваться около своего математического ожидания. Это условие, заключающееся в том, что сумма дисперсий и всех корреляционных моментов случайных величин должна расти медленнее, чем квадрат числа случайных величин, практически всегда выполняется, так как практически всегда можно указать такое число К, которое больше дисперсий всех интересующих нас величин, а среди корреляционных моментов каждой из случайных величин со всеми другими величинами лишь конечное число заметно отличается от нуля, а остальные приближенно равны нулю. Кроме того, входящие в сумму корреляционные моменты имеют противоположные знаки и частично взаимно компенсируются. Поэтому практически всегда сумма дисперсий и корреляционных моментов случайных величин растет пропорционально первой степени числа случайных величин. Это и является основной причиной устойчивости средних результатов массовых случайных явлений.

Из доказанных в предыдущем параграфе теорем как частные случаи вытекают теоремы об устойчивости частоты события при большом числе опытов. Рассмотрим неограниченную последовательность независимых опытов (см. § 6), в результате которых наблюдается появление или непоявление некоторого события А. Обозначим

через число появлений события А в результате опыта. Эта случайная величина может принять одно из двух возможных значений: или 1. Если вероятность появления события А в результате опыта равна то, согласно формулам (10.21), математическое ожидание и дисперсия числа появлений события опыте равны:

Сумма случайных величин

очевидно, представляет собой число появлений события А в результате опытов, а случайная величина

представляет собой частоту события опытах. Так как опыты по условию независимы, то (см. § 6) случайные величины взаимно независимы, а следовательно, и не коррелированы. Дисперсии же случайных величин согласно (38.1), ограничены, так как все они меньше единицы. Следовательно, случайные величины удовлетворяют условиям общей теоремы Чебышева, и на основании (38.1), (38.2) и (38.3) формула (37.5) принимает вид:

Таким образом, разность между, частотой события и средним арифметическим его вероятностей в ряде независимых опытов сходится по вероятности к нулю. Эта теорема была доказана Пуассоном.

Если в частном случае вероятность события А во всех опытах одинакова и равна то формула (38.4) принимает вид:

Таким образом, частота события А в ряде независимых опытов сходится по вероятности к вероятности этого события, если вероятность события не изменяется от опыта к опыту. В этом состоит теорема Якова Бернулли — простейшай форма закона больших чисел и первая по времени из теорем, относящихся к этому разделу теории вероятностей.