§ 108. Применение метода канонических разложений для исследования нелинейных преобразований случайных функций

Метод канрнических разложений дает возможность приближенно исследовать весьма общие виды нелинейных преобразований случайных функций. Рассмотрим случайную функцию которая получается в результате применения произвольного нелинейного оператора А к случайной функции

Оператор А будем пока считать совершенно произвольным. Ограничения, которые необходимо наложить на оператор будут выявлены в ходе дальнейшего изложения. Подставив в формулу (108.1) вместо функции X какое-либо ее каноническое разложение, получим, так же как и в § 100,

Это равенство представляет случайную функцию как некоторую

определенную функцию случайных величин В § 100 мы рассмотрели случай, когда эта функция с достаточной степенью точности может считаться линейной в области практически возможных значений случайных величин Если это условие не соблюдено, то можно поставить вопрос о приближении функции К, рассматриваемой как функция величин полиномами относительно Для того чтобы такое приближение было возможно, достаточно непрерывности функции, определяемой формулой (108.2), относительно величин Однако практически аппроксимация функции полиномами получается проще всего в том случае, когда в качестве полиномов берутся отрезки ряда Маклорена. В этом случае, кроме непрерывности функции, необходимо существование ее производных до определенного порядка, что потребует соответствующих ограничений, которым придется подчинить оператор А. Разложив У как функцию величин определяемую формулой (108.2), в ряд Маклорена, получим:

где

Здесь нуликом внизу у квадратной скобки отмечено значение величины, заключенной в квадратные скобки, при нулевых значениях всех величин Формула (108.3) дает формальное разложение случайной функции У по степеням случайных величин Поэтому если заданы моменты случайных величин всех необходимых порядков, то формально легко можно определить моменты случайной функции Введем для моментов случайных величин обозначение

Применяя к равенству (108.3) операцию математического ожидания и пользуясь обозначением (108.5), найдем момент первого порядка, т. е. математическое ожидание случайной функции

Для того чтобы найти момент порядка случайной функции перенесем член в левую часть формулы (108.3), дадим 5 значения и перемножим полученные таким образом

равенства. Тогда получим:

Применяя к этому равенству операцию математического ожидания и принимая во внимание (108.5), получим формальное разложение моментов случайной функции по моментам случайных величин

При практическом применении разложений (108.8) необходимо будет ограничиваться конечными отрезками этих разложений. Поэтому неизбежно возникает вопрос об оценке погрешности получаемых таким образом формул и связанный с этим вопрос о сходимости разложений (108.8). Первоочередным с практической точки зрения является вопрос об оценке математического ожидания квадрата модуля остаточного члена разложения (108.3), так как малость этой величины по сравнению с дисперсией суммы учитываемых членов разложения (108.3) может служить критерием точности определения практически наиболее важных моментов первого и второго порядков случайной функции У при помощи соответствующих отрезков разложений (108.8).

Изложенный метод обладает большой общностью, так как аргументы могут быть произвольными векторами. В частности, изложенный метод применим к векторным случайным функциям так как номера составляющих векторных случайных функций могут быть включены в состав соответствующих аргументов. Применяя метод к векторной случайной функции К, определяемой системой дифференциальных уравнений (102.1), получим для определения векторных функций системы линейных дифференциальных уравнений, отличающиеся от системы (102.17) только правыми частями. Для вывода системы уравнений, определяющей векторную функцию у достаточно продифференцировать все уравнения системы (101) по случайным величинам после подстановки в них разложений (102.3) и заменить в полученных таким образом уравнениях все случайные

величины нулями. В задачах практики можно производить вычисление коэффициентов разложения интеграла системы дифференциальных уравнений по степеням случайных параметров заменив в формуле (108.4) производные их выражениями через конечные приращения. Тогда вычисление коэффициентов разложения сведется к интегрированию системы уравнений (102.1) при различных частных значениях случайных величин Это дает некоторые упрощения при вычислении характеристик рассеивания интегралов дифференциальных уравнений при помощи цифровых математических машин. Это направление в теории нелинейных преобразований случайных функций развивается Б. Г. Доступовым, который разработал оригинальный метод, позволяющий существенно сократить число частных значений параметров V для которых необходимо определить реализации исследуемых случайных функций, чтобы найти их моменты [20, 22].

Идея метода Б. Г. Доступова заключается в следующем. Пусть произвольная случайная функция, получающаяся в результате данного нелинейного преобразования случайной функции Представив ее разложением (108.3) и ограничиваясь в нем членами не выше степени и первыми случайными величинами получим приближенную формулу

Отсюда, принимая во внимание (108.5), находим приближенное выражение математического ожидания случайной функции

С другой стороны, взяв комбинаций частных значений случайных параметров получим по формуле реализаций случайной функции Определив линейную комбинацию этих реализаций с произвольными действительными коэффициентами, получим:

Сравнивая эту формулу с (108.10), видим, что если выбрать значения величин и коэффициенты так, чтобы были выполнены равенства

то математическое ожидание случайной функции выразится приближенной формулой

Применяя эту формулу к случайным функциям приближенные формулы для математического ожидания и моментов высших порядков векторной случайной функции К, определяемой данным нелинейным преобразованием случайной функции X:

Б. Г. Доступов показал, что во многих случаях удается определить величины удовлетворяющие уравнениям (108.12) и (108.13), таким образом, чтобы число реализаций случайной функции У, необходимых для вычисления ее моментов по формулам (108.15) и (108.16), было значительно меньше числа реализаций, необходимых для вычисления функций

Б. Г. Доступовым совместно с автором разработан еще один метод определения вероятностных характеристик интегралов дифференциальных уравнений, основанный на определении их одномерного закона распределения [58,21].

Заметим в заключение, что, выражая случайную функцию при помощи канонического разложения формулой вида (108.2) через случайные величины мы получаем принципиальную возможность применить изложенные в главе 5 методы для нахождения законов распределения различных чисел измерений случайной функции Однако в общем случае нахождение законов распределения случайных функций связано с большими вычислительными трудностями.

Пример. В условиях примера 1 § 102 вычислить математическое ожидание случайной функции У с точностью до моментов второго порядка случайных величин и дисперсию случайной функции У с точностью до моментов четвертого порядка случайных величин предполагая, что случайная функция X распределена нормально.

Подставляя каноническое разложение (102.41) в уравнение (101.11) и разложив интеграл этого уравнения по степеням величин получим

с точностью до членов третьей степени:

Функции у., здесь определяются формулой (102.43). Для определения функций продифференцируем уравнение (101.11) сполна один раз по V и одинраз по В результате получим:

Разделив это уравнение на 2, полагая все величины равными нулю и учитывая, что У при этом становится равным превращается в получим:

Дифференцируя уравнение (108.18) по и полагая после этого все величины равными нулю, получим уравнение для определения функций

Так как по условию выходная переменная рассматриваемой системы равна единице в начальный момент то функции представляют собой интегралы уравнений (108.19) и (108.20), обращающиеся в нуль при Подставляя выражение (102.43) функций у., в уравнение и интегрируя его, получим выражение функций Подставляя это выражение и выражение (132.43) в уравнение (1 38.20) и интегрируя его, найдем выражение функций

Так как случайная функция X по условию распределена нормально, то на основании изложенного в § 88 случайные величины распределены нормально и, следовательно, не только не коррелированы, но и независимы. Поэтому все их моменты третьего порядка равны нулю, а среди моментов четвертого порядка отличны от нуля только те, у которых индексы попарно совпадают:

Следовательно, математическое ожидание случайной функции У на основании (108.17) с точностью до моментоз второго порядка случайных величин выражается формулой

Вводя функцию

и пользуясь формулой (108.8), находим выражение момента второго порядка случайной функции с точностью до моментов четвертого порядка случайных величин

На основании формул (108.22), (108.23) и (108.24) дисперсия случайной функции У, равная дисперсии случайной функции выразится формулой