§ 130. Определение оптимальной линейной системы в случае, когда входное возмущение связано с белым шумом линейным дифференциальным уравнением

Применим общие формулы § 128 для определения оптимальной линейной системы в частном случае, когда случайная функция X связана с белым шумом V линейным дифференциальным уравнением

где полиномы относительно оператора дифференцирования произвольными переменными коэффициентами:

Относительно коэффициентов мы предположим только, что они имеют достаточное количество непрерывных производных, для того чтобы все последующие рассуждения и формулы были справедливы. Для упрощения выкладок мы предположим, что интенсивность белого шума V тождественно равна единице. Это предположение не уменьшает общности, так как в случае произвольной интенсивности белого шума всегда можно положить где белый шум, интенсивность которого тождественно равна единице. При этом, конечно, изменятся коэффициенты оператора но его порядок и общий вид останутся неизменными. Заметим еще, что порядок оператора практически всегда бывает больше порядка оператора так как при случайная функция X содержит линейную комбинацию белого шума и его производных, вследствие чего ее дисперсия бесконечна. На практике же приходится иметь дело только с такими случайными функциями, дисперсии которых конечны. Поэтому мы будем считать, что хотя излагаемый в этом параграфе метод определения оптимальной линейной системы применим и к случаю, когда

Весовая функция определяется в данном случае дифференциальным уравнением

Однако для наших целей удобнее воспользоваться для определения функции формулой (84.21), которая в данном случае дает:

где весовая функция, удовлетворяющая дифференциальным уравнениям:

Распространяя в формуле (128.8) интервал интегрирования до точки что всегда можно сделать вследствие основного свойства весовых функций физически возможных систем, и подставляя в эту формулу выражение (130.4) функции получим:

Вводя функцию

представим формулу (130.6) в виде:

Так как интенсивность белого шума по предположению равна единице, то формула (128.7), определяющая весовую функцию принимает в данном случае вид:

Таким образом, в данном случае для определения весовой функции оптимальной линейной системы служит формула (130.8), для применения которой необходимо предварительно найти весовую функцию интегрированием одного из уравнений (130.5), весовую функцию по формуле (130.4) и функции по формулам (130.9) и (130.7).

Легко видеть, что формула (130.9) определяет функцию как частный интеграл дифференциального уравнения

Формула (130.9) определяет также и значения функций Эти начальные значения функции 5 и ее производных для излагаемого метода несущественны, и поэтому мы не будем ими интересоваться.

Точно так же формула (130.7) определяет функцию как интеграл дифференциального уравнения

удовлетворяющий граничным условиям

где для краткости положено

Таким образом, решение интегрального уравнения (125.7) при сводится в данном случае к интегрированию линейных дифференциальных уравнений (130.10) и (130.11) и к последующему применению формулы (130.8).

Изложенный метод определения оптимальной линейной системы принципиально очень прост. Однако его непосредственное практическое применение, так же как и применение общей формулы (130.8), на которой он основан, резко ограничивается тем, что интервал наблюдения в практических задачах никогда не совпадает с интервалом, в котором случайная функция X связана с белым шумом уравнением (130.1) и формулой (128.1). Исключение составляют лишь те задачи, в которых интервал наблюдения можно считать бесконечным, а случайная функция X выражается через белый шум формулой (128.1) или уравнением (130.1) при всех как это было в задаче предыдущего параграфа. Для того чтобы получить метод определения оптимальной линейной системы в случае, когда случайная функция X связана с белым шумом линейным дифференциальным уравнением (130.1), применимый при любом интервале наблюдения, необходимо соответствующим образом изменить и дополнить изложенный метод. Сейчас мы покажем, как это можно сделать.

Рассмотрим интегральное уравнение (125.7), соответствующее произвольному интервалу наблюдения Пользуясь тем обстоятельством, что это уравнение должно удовлетворяться только для значений х, заключенных в интервале мы можем продолжить функцию в область таким образом, чтобы решение интегрального уравнения

было равно нулю при всех в интервале — Это решение уравнения (130.14) будет, очевидно, удовлетворять уравнению (125.7) при всех т. е. будет решением уравнения (125.7). Таким образом, задача решения уравнения (125.7) сведется к решению уравнения (130.14) при произвольно выбранном если определить функцию в области так, чтобы обеспечить равенство нулю решения уравнения (130.14) при всех в интервале Этот прием дает возможность привести задачу к случаю интервала наблюдения, совпадающего с интервалом, в котором случайная функция X связана с белым шумом дифференциальным уравнением (130.1).

Для того чтобы решение уравнения (130.14) в рассматриваемом случае было равно нулю при необходимо, как показывает формула (130.8), определить функцию в интервале как интеграл линейного дифференциального уравнения

После этого можно будет определить в интервале — функцию из уравнения (130.11) и функцию по формуле (128.14), которая в данном случае принимает вид:

или интегрированием уравнения (130.10). В последнем случае необходимо взять такой интеграл уравнения (130.10), который тождественно равен нулю в интервале тогда и только тогда, когда функция тождественно равна нулю в этом интервале. Формула (130.16) определяет именно такой интеграл уравнения (130.10). После определения функции при только что изложенным способом решение уравнения (125.7) находится по формулам (130.9), (130.7) и (130.8) или интегрированием дифференциальных уравнений (130.10) и (130.11) и последующим применением формулы (130.8). При этом формулы (130.7) и (130.9) дают и все необходимые условия для определения постоянных интегрирования. В зависимости от того, какой путь избрать: определять функции по формулам (130.9) и (130.7) или интегрированием уравнений (130.10) и (130.11), получатся разные варианты метода определения оптимальной линейной системы для рассматриваемого случая.

Изложив общую идею метода определения оптимальной линейной системы в случае, когда случайная функция X связана с белым шумом линейным дифференциальным уравнением (130.1), перейдем к детальному развитию этого метода. Пусть какие-нибудь

линейно независимые интегралы однородного линейного дифференциального уравнения

Тогда общий интеграл уравнения (130.15) выразится формулой

где произвольные постоянные. Подставляя выражение (130.18) в уравнение (130.11), получим:

где

Для определения функции в интервале теперь остается только подставить выражение (130.19) в формулу (130.16). Тогда получим:

где

Формулы (130.18), (130.19) и (130.21) определяют функции в интервале с точностью до произвольных постоянных Для того чтобы получить условия, определяющие эти постоянные, заметим, что весовая функция не может содержать производных -функции порядка выше Действительно, из уравнения (130.1) видно, что наивысшая производная случайной функции X, не содержащая белого шума, есть X а уже содержит слагаемое, представляющее собой белый шум. Следовательно, производная непрерывна, а производная содержит слагаемое, пропорциональное На основании сформулированного в § 122 необходимого и достаточного условия оптимальный линейный оператор в данном случае может содержать оператор дифференцирования в степени не выше . А это и значит, что весовая функция оптимальной линейной системы может содержать производные -функции

не выше порядка. Для выполнения этого условия необходимо, как показывает формула (130.8), чтобы функция и ее производные были непрерывны. Мы видели, что это условие выполняется в точке Для обеспечения этого условия и в точке необходимо, как показывает уравнение (130.11), чтобы функция с была непрерывна в точке или имела в этой точке разрыв первого рода. Но уравнение (130.10) показывает, что это возможно только в том случае, когда функция непрерывна в точке вместе со своими производными до порядка включительно. Условие непрерывности в точке функции и ее производных дает уравнений, связывающих величины Если это условие удовлетворяется, то формула (130.9) определит функцию которая может и деть разрыв первого рода в точке но не содержит -функцию и ее производные. При этом функция определяемая формулой (130.7) как интеграл уравнения будет непрерывна вместе со своими производными до порядка включительно в точке Однако эта функция в общем случае не будет совпадать при с функцией определяемой формулой (130.18). Условие совпадения функции определяемой формулой (130.7), с функцией (130.18) при дает остальные уравнений для определения постоянных

Для того чтобы определить функцию в интервале 5 — разобьем интервал интегрирования в формуле (130.9) на две части: и воспользуемся выражением (130.21) функции в интервале Тогда, полагая

получим:

Заметим, что при формула (130.23) представляет собой обращение формулы (130.22), т. е. дает функции совпадающие с функциями ранее определенными формулой (130.20). Таким образом, формула (130.23) дает продолжение функций определяемых формулой (130.20), в область Учитывая еще, что функция определяемая формулой (130.24), равна нулю при приходим к заключению, что формула (130.25) представляет функцию на всем интервале

Для определения функции подставим выражение (130.25) в формулу (130.7). Тогда, полагая

получим:

Эта формула определяет функцию при всех При выполнении условия непрерывности в точке функция определяемая формулой (130.25), не будет содержать -функции и ее производных, а функция определяемая формулой (130.28), будет непрерывна в точке вместе со своими производными до порядка включительно. Однако эта функция не будет совпадать при произвольных значениях с функцией определяемой формулой (130.18), в интервале Для того чтобы вывести уравнения, вытекающие из условия совпадения функций (130.18) и (130.28) при заметим, что формула (130.28), выведенная из формулы (130.7), определяет функцию как интеграл уравнения порядка (130.11). Функция (130.18) вследствие формул (130.19) и (130.20) также является интегралом уравнения (130.11) при Следовательно, для совпадения функций (130.18) и (130.28) в интервале необходимо и достаточно, чтобы эти функции и их производные до порядка включительно имели одинаковые значения в точке Это дает следующие уравнений:

Условие непрерывности функции и ее производных до порядка включительно в точке дает еще уравнений, о которых мы говорили раньше:

Заметим, что уравнения (130.29) можно трактовать и как условие непрерывности в точке функции определяемой в интервалах соответственно формулами (130.18) и (130.28), и ее производных до порядка включительно.

После нахождения постоянных путем решения системы линейных алгебраических уравнений (130.29) и (130.30) формулы (130.21), (130.25) и (130.28) полностью определяют функции Подставляя выражение (130.28) в формулу (130.8), получим решение интегрального уравнения (125.7). Заметим еще, что постоянные определяемые системой уравнений (130.29) и (130.30), так же как и функции и в общем случае зависят от переменной которая входит в качестве параметра в уравнение (125.7) и во все предыдущие выкладки.

Изложенный метод определяет функцию производная которой в общем случае имеет разрывы первого рода в точках Вследствие этого решение интегрального уравнения (125.7), определяемое формулой (130.8), в которую входят производные функции до порядка включительно, при содержит в общем случае линейную комбинацию -функций и их производных до порядка включительно, соответствующих точкам Для того чтобы выделить в явной форме эту линейную комбинацию -функций, определим функцию непрерывную вместе со своими производными до порядка включительно, совпадающую с функцией определяемой формулой (130.28), в интервале . Тогда формула (130.8) примет вид:

Для определения коэффициентов при -функциях можно воспользоваться формулой (84.39). Тогда, принимая во внимание, что функция непрерывна вместе со своими производными до порядка включительно, получим:

Для определения разрывов производных функции в точках воспользуемся формулами (130.18) и (130.28). Тогда, принимая во внимание, что при получим:

Изложенный метод решения интегрального уравнения (125.7) был впервые разработан Лэнингом для частного случая, когда случайная функция X определяется линейным дифференциальным уравнением (130.1) при всех когда Однако изложенный вариант этого метода несколько отличается от варианта, разработанного Лэнингом, вследствие того, что мы пользовались формулами (130.9) и (130.7), а вариант Лэнинга основан на интегрировании уравнений (130.10) и (130.11). Кроме того, наш вывод формулы (130.8) и дифференциальных уравнений (130.10) и (130.11) из общих формул § 128 значительно проще и понятнее, чем формальный вывод Лэнинга. Наконец, у Лэнинга остается неясным, почему определение функции при путем интегрирования уравнения (130.10) не вносит новых постоянных интегрирования, а в нашем выводе это является следствием общей формулы (128.14). Вариант изложенного метода решения интегрального уравнения (125.7), разработанный Лэнингом, будет рассмотрен в следующем параграфе вместе с другими возможными вариантами этого метода.

Интересным частным случаем является случай, когда в правой части уравнения (130.1) нет оператора т. е. когда во второй формуле Для того чтобы получить решение интегрального уравнения (125.7) в этом частном случае, достаточно во всех предыдущих выкладках положить Тогда уравнения (130.10) и (130.11) дадут:

и формула (130.31) примет вид:

Коэффициенты здесь определяются формулами (130.32) и (130.33) при Формула (130.35) была впервые получена другим методом Долфом и Вудбери [88].

Пример 1. Определить весовую функцию оптимальной линейной системы, предназначенной для экстраполяции на величину линейной функции времени по результатам ее наблюдения с наложенной на нее помехой в конечном интервале времени предполагая, что случайный вектор и случайная функция X распределены нормально и независимы и что случайная функция X представляет собой результат прохождения белого шума с единичной интенсивностью через линейную систему, описываемую уравнением (128.15), находящуюся в покое до момента и включаемую в момент За критерий оптимума принять условие минимума математического ожидания функции где ошибка системы.

Так как наблюдаемая случайная функция в данном случае распределена нормально, а оптимальная система ищется в классе линейных систем, то ошибка также распределена нормально и средний риск представляет собой известную функцию математического ожидания и дисперсии ошибки. Следовательно, на основании изложенного в §§ 124 и 125 определение

оптимальной системы приводится в данном случае к решению интегрального уравнения (125.7) при и при решению системы линейных алгебраических уравнений (125.14) и последующему определению параметра одним из методов, изложенных в § 121.

Так как в данном случае то для решения интегрального уравнения (125.7) можно применить формулу (130.35). При этом для определения коэффициентов при -функциях необходимо предварительно найти функцию и ее разрывы в точках Для этого в свою очередь необходимо определить функцию в интервале Для того чтобы сделать это, необходимо, как показывают формулы (130.16) и (130.22), знать весовую функцию которая на основании результатов примера 1 § 84 выражается формулой

Уравнение (130.15) в данном случае имеет вид:

Интегрируя это уравнение и пользуясь формулой (130.20), находим:

Подставляя выражения (130.36) и (130.38) в формулу (130.22), находим функцию Л:

На основании (130.38) и (130.39) формулы (130.18) и (130.21), определяющие функции при имеют в данном случае вид:

Для определения единственной неизвестной постоянной имеем в данном случае одно уравнение (130.30), которое дает:

При функции определяются формулой (130.34), которая дает:

На основании формул (130.40), (130.41), (130.42), (130.39) и (130.36) разрыв функции в точке выражается формулой

На основании формул (130.42) и (130.36) разрыв функции в точке выражается формулой

Подставляя выражения (130.43) и (130.44) в формулы (130.32) при найдем коэффициенты при -функциях:

После этого формула (130.35) дает:

Эта формула определяет в данном случае решение уравнения (125.7) при любой функции

Полагая в (130.46), в частности, найдем весовые функции

Далее, учитывая, что вследствие (54.30)

и выполняя, как и в примере § 128, интегрирование по частям, находим по формуле (125.8) коэффициенты

Формула (124.13) дает коэффициенты

где математические ожидания случайных величин элементы матрицы, обратной по отношению к матрице начальных моментов второго порядка случайных величин Принимая во внимание, что в данном случае, как и в примере § 127, функции и определяются формулами (127.12), приходим к заключению, что уравнения (124.14) имеют в данном случае вид:

Эти уравнения определяют величины как линейные функции неопределенного параметра с известными коэффициентами.

Для определения параметра необходимо выразить математическое ожидание и момент второго порядка ошибки системы через Для этого можно воспользоваться формулами (124.38) и (124.36). Принимая во внимамание, что в данном случае получаем по формулам (124.38) и (124.36) с учетом формул (124.9) и (127.12):

где и -известные величины.

Принимая во внимание, что дисперсия ошибки равна находим средний риск:

Условие минимума среднего риска в данном случае равноценно условию максимума функции

Формулы (130.53) и (130.51) определяют функцию как функцию параметра Приравняв нулю полную производную функции по получим уравнение для определения параметра Так как логарифмические производные функции (130.53) по выражаются формулами

то условие равенства нулю полной производной функции (130.53) на основании формул (130.51) дает:

Это — кубическое уравнение относительно неизвестного параметра Решив это уравнение, найдем параметр чего величины и полностью определятся и весовая функция оптимальной линейной системы найдется по формуле (125.3), которая в данном случае имеет вид:

Формулы (130.51) и (130.52) определяют минимальный средний риск, соответствующий найденной оптимальной системе.

Заметим, что в согласии с общей теорией от назначения искомой оптимальной системы в приведенном примере зависят только правые части системы линейных алгебраических уравнений (130.50). Так, например, если искомая оптимальная система предназначена не для экстраполирования, а для дифференцирования функции то и величины в правых частях уравнений (130.50) заменятся соответственно величинами и 1. Соответственно изменится решение этих уравнений и значения коэффициентов в формулах (130.51) и в уравнении (130.55), а также значения величин в формуле (130.56).

Рис. 81.

Для иллюстрации на рис. 81 приведены графики функций заданных в интервале и продолженных в область Мы видим, что изложенный метод решения интегрального уравнения (125.7) дает продолжение функции в область не сохраняя ее аналитического выражения, которым она задана в интервале наблюдения

Пример 2. Решить интегральное уравнение (125.7) для случая, когда а операторы в уравнении (130.1) и функция выражаются формулами:

где постоянные,

Уравнение (130.15) в данном случае имеет вид:

Два линейно независимых интеграла этого уравнения можно взять в виде:

Подставляя выражения (130.59) в формулу (130.20), получим на оснований (130.57):

Где для краткости положено Подставляя выражение (130.60) и выражение (84.51) весовой функции в формулу (130.22), находим функции

где Для нахождения функций и при подставим выражение (130.61) и выражение (84.56) весовой функции в формулу (130.23). Тогда получим:

где

Наконец, подставляя выражение (130.62) и выражение (84.52) весовой функции в формулу (130.26), определяем функции в интервале

Аналогично можно найти выражения функций в интервале — разбив интервал интегрирования в (130.26) на две части и выразив функции и в соответствующих интервалах формулами (130.60) и (130.62). Однако вэтом нет никакой необходимости, так как для решения задачи нам нужны только выражения в интервале и их значения в точке которые вследствие их непрерывности в этой точке могут быть найдены по формуле (130.64) при

Для определения функций воспользуемся формулами (130.24) и (130.27), которые на основании (130.57), (84.56) и (84.52) дают:

где

и

где дополнительно введено обозначение

Для определения постоянных имеем в данном случае одно уравнение (130.29) и одно уравнение (130.30), которые на основании (130.59), (130.64), (130.67), (130.57) и (130.61) имеют вид:

После определения из уравнений (130.69) функция определится в интервале по формуле (130.28), которая имеет в данном случае вид:

Для нахождения решения уравнения (125.7) нам осталось только определить коэффициенты при -функциях в формуле (130.31). На основании формул (130.32), (130.33) и (130.57) в данном случае

где значение производной функции в точке определяется дифференцированием формулы (130.70). После нахождения решение уравнения (125.7) определяется формулой (130.31), которая дает:

Где функция, непрерывная вместе со своей первой производной, определяемая в интервале формулой (130.70). Подставляя в формулу (130.72) выражение (130.70) и пользуясь формулами (130.64) и (130.67), получим окончательно:

где

Для иллюстрации на рис. 82 приведен график функции заданной формулами (130.57) в интервале продолженной в область для решения интегрального уравнения (125.7) изложенным методом.

Рис. 82.

Так же как и в примере 1, мы видим, что изложенный метод требует продолжения функции в область без сохранения того аналитического выражения, которым она задана в интервале наблюдения