§ 78. Каноническое разложение стационарной векторной случайной функции

Рассмотрим стационарную векторную случайную функцию скалярной независимой переменной, составляющими которой являются случайные функции Найдем каноническое разложение этой стационарной векторной случайной функции в конечном интервале Пусть взаимная корреляционная функция случайных функций (равная при корреляционной функции случайной функции При изменении в интервале разность изменяется в интервале Все корреляционные функции могут быть представлены рядами Фурье в интервале

причем коэффициенты этих рядов определяются формулами ([74], т. II, гл. VI, § 3)

На основании свойства симметрии корреляционной функции векторной случайной функции коэффициентов связаны соотношениями:

Действительно, полагая получаем:

или на основании (73.3)

В отличие от формулы (76.1) формула (78.1) не дает канонического разложения корреляционных функций В самом деле, рассматривая общую формулу (70.3), видим, что для совместного канонического разложения всех корреляционных функций и взаимных корреляционных функций составляющих случайного вектора характерны независимость коэффициентов разложения от индексов корреляционных функций и разделение двух индексов корреляционных функций по двум множителям. Формула (78.1), очевидно, не обладает такими свойствами. Однако она может быть преобразована к виду канонического разложения (70.3). Для этого достаточно выразить коэффициентов фиксировано) через величин при помощи формул

Так как среди коэффициентов согласно (78.3), только — независимы, то числа D, удовлетворяющие условиям (78.6), могут быть определены бесчисленным множеством способов; из этих чисел могут быть заданы произвольно. Например, можно положить:

Тогда уравнения (78.6) примут вид:

Из этих уравнений последовательно определяются величины Подставляя выражение (78.6) в формулу (78.1), можем представить ее в виде:

Сравнивая формулу (78.9) с общей формулой (70.3), убеждаемся в том, что формула (78.9) дает каноническое разложение корреляционных функций с координатными функциями

На основании общей теоремы § 63 из совместного канонического разложения (78.9) всех корреляционных функций и взаимных корреляционных функций составляющих) векторной случайной функции вытекает совместное каноническое разложение самих составляющих

причем величины являются дисперсиями некоррелированных случайных величин и, следовательно, все положительны. Математические ожидания всех величин равны нулю.