§ 27. Связь между характеристической функцией и моментами случайной величины

Полагая в получим выражение моментов случайной величины через ее характеристическую функцию:

Если случайная величина X имеет конечные моменты до порядка

включительно, то, применяя к характеристической функции формулу Маклорена, получим на основании (27.1):

где остаточный член. Таким образом, все существующие моменты случайной величины могут быть найдены путем разложения характеристической функции в степенной ряд.

Совершенно аналогично выражаются через характеристическую функцию центральные моменты случайной величины. Умножая формулу (25.2) на дифференцируя ее после этого раз и полагая получим:

Если случайная величина X имеет конечные центральные моменты до порядка включительно, то, применяя к функции формулу Маклорена, получим:

Таким образом, все существующие центральные моменты случайной величины могут быть определены путем разложения по степеням X функции

Разложение в ряд характеристической функции дает очень простой и удобный способ вычисления моментов случайных величин. В качестве примера применим этот способ к определению центральных моментов нормально распределенной случайной величины. На основании формулы (25.18) для характеристической функции нормального распределения имеем:

Сравнивая эту формулу с (27.4), получим:

Эта формула не отличается от выведенной ранее формулы (11.5). Мы видим, что в данном случае способ разложения в ряд характеристической функции значительно проще примененного в § 11 способа непосредственного вычисления моментов.

Если существуют моменты случайной величины X до порядка включительно, то, применяя формулу Маклорена к логарифму характеристической функции, получим:

где коэффициенты представляют собой значения при соответствующих производных функции Величины называются семи-инвариантами или кумулянтами случайной величины и ее распределения вероятностей. Выразив производные через соответствующие производные характеристической функции, можно на основании (27.1) выразить семи-инварианты случайной величины через ее моменты, и наоборот. Мы предоставляем читателю самостоятельно найти эти зависимости. Если воспользоваться формулой

и принять во внимание (27.3), то получим выражение семи-инвариан-тов случайной величины через ее математическое ожидание и центральные моменты:

Сравнивая эти формулы с (13.16), выразим через семи-инварианты случайной величины ее коэффициенты асимметрии и эксцесса:

Формула (25.18) показывает, что все семи-инварианты нормально распределенной случайной величины, кроме первых двух, равны нулю. Следовательно, семи-инварианты случайной величины, начиная с третьего, характеризуют отклонение ее распределения от нормального.