§ 39. Теоремы Ляпунова и Лапласа

Среди всех возможных законов распределения случайных величин центральное место занимает нормальный закон распределения. Большинство случайных величин, с которыми приходится встречаться на практике, распределены нормально. Естественно поставить вопрос

о причинах центрального положения нормального закона распределения в теории вероятностей, о выявлении тех закономерностей случайных явлений, которые лежат в его основе. Было сделано много попыток вывести нормальный закон распределения и объяснить причины его широкого распространения. Несколько выводов нормального закона было дано Гауссом, с именем которого обычно связывается нормальный закон. О шако в основе всех выводов Гаусса лежали предпо. о кения, имеющие характер постулатов, которые сами были в значительной мере произвольными. Поэтому выводы нормального закона распределения, данные Гауссом, не могли объяснить причины его широкого распространения и не вскрыли те закономерности в случайных явлениях, которые приводят к формированию нормального закона. Муавром и Лапласом были доказаны теоремы, на основании которых нормальный закон можно трактовать как предельный закон последовательности биномиальных законов распределения. Однако и эти теоремы имеют частный характер и не вскрыли закономерности, лежащие в основе нормального закона распределения. Заслуга открытия этих закономерностей принадлежит Ляпунову, который доказал весьма общую теорему, объясняющую, при каких условиях формируется нормальный закон распределения. Ляпунов доказал, что при некоторых весьма общих условиях закон распределения суммы независимых случайных величин стремится к нормальному закону при неограниченном увеличении числа слагаемых. Впоследствии Бернштейн распространил теорему Ляпунова на зависимые случайные величины и на случайные векторы (см., например, [5, 14, 33, 80]). Ляпунов нашел весьма общие достаточные условия для того, чтобы закон распределения суммы независимых случайных величин стремился к нормальному закону при неограниченном увеличении числа слагаемых. Впоследствии Линдебергу удалось найти более общие условия, которые, как доказал Феллер, являются не только достаточными, но при вполне естественных ограничениях и необходимыми для того, чтобы закон распределения суммы независимых случайных величин стремился к нормальному закону при неограниченном увеличении числа слагаемых.

Теорема Ляпунова послужила началом многочисленных исследований в области предельных законов распределения сумм случайных величин. Поэтому естественно общую теорему, устанавливающую, что предельным законом распределения суммы случайных величин является нормальный закон, обычно называемую центральной предельной теоремой теории вероятностей, связать с именем Ляпунова.

Физический смысл всех условий, при которых предельным законом распределения суммы независимых случайных величин является нормальный закон, состоит в том, что удельный вес каждого отдельного слагаемого в сумме должен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых. Это было открыто Ляпуновым, которому впервые

удалось облечь это условие в математическую форму и доказать предельную теорему.

Пусть неограниченная последовательность независимых случайных величин. Обозначим через математические ожидания этих величин, а через средние квадратические отклонения. Согласно (19.11) и (20.16) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение суммы

определяются формулами:

Так как случайная величина

при любом имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию, равную единице, то на основании формулы (11.11) теорему Ляпунова можно математически выразить в виде:

где функция, определяемая формулой (11.8).

Условие Линдеберга, необходимое и достаточное для того, чтобы предельным законом распределения случайной величины определяемой формулой (39.3), был нормальный закон и чтобы при этом удельные веса всех слагаемых в сумме (39.1) стремились к нулю, т. е. чтобы при любом было

математически выражается формулой

где плотность вероятности случайной величины Если возможные значения всех случайных величин ограничены некоторым конечным интервалом, а величина неограниченно возрастает при увеличении то условие Линдеберга (39.6) выполняется. Действительно, в этом случае подынтегральные функции всех интегралов в (39.6) равны нулю в области интегрирования достаточно

большом Таким образом, закон распределения суммы независимых случайных величин, возможные значения которых ограничены одним и тем же конечным интервалом, а сумма дисперсий которых неограниченно возрастает с увеличением числа слагаемых, имеет пределом нормальный закон распределения.

Теорема Ляпунова объясняет причины широкого распространения нормального закона распределения и выявляет механизм его образования. Именно, на основании теоремы Ляпунова мы можем утверждать, что во всех случаях, когда случайная величина образуется в результате сложения большого количества независимых весьма малых случайных величин (т. е. дисперсии которых весьма малы по сравнению с дисперсией суммы), закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным. А так как случайные величины всегда порождаются бесконечным количеством причин и в большинстве случаев ни одна из этих причин не доминирует над всеми остальными настолько, чтобы дисперсия создаваемой этой причиной части случайной величины была сравнима с дисперсией самой случайной величины, то большинство встречающихся в практике случайных величин подчинено нормальному закону распределения.

Если случайная величина представляет собой число появлений события А в результате опыта, то ее математическое ожидание и дисперсия выражаются формулами (38.1). Так как каждая из величин может принимать только значения и 1, то в рассматриваемом случае все величины ограничены по модулю единицей. Поэтому для выполнения условия Линдеберга (39.6) достаточно, чтобы неограниченно возрастала при Таким образом, предельным законом распределения числа появлений события при неограниченном возрастании числа опытов является нормальный закон распределения, если дисперсия числа появлений события неограниченно возрастает с увеличением числа опытов. Это, в частности, всегда имеет место, если опыты производятся в одинаковых условиях, когда вероятность события во всех опытах одинакова. Поэтому если вероятность появления события во всех опытах одинакова, то предельным законом распределения числа появлений события при неограниченном увеличении числа независимых опытов является нормальный закон распределения. В этом заключается теорема Лапласа, которая ранее была доказана Муавром для частного случая, когда вероятность события равна половине.

Предельные теоремы теории вероятностей представляют собой количественную форму закона больших чисел. Если теоремы предыдущих двух параграфов имеют качественный характер, то предельные теоремы дают возможность приближенно вычислять вероятности различных отклонений среднего арифметического большого числа

случайных величин от его математического ожидания. В частности, теорема Лапласа дает возможность приближенно вычислять вероятности различных отклонений частоты события от его вероятности при большом числе опытов.