§ 66. Разложение случайной функции в ряд

Рассмотрим теперь случай, когда точность приближенного представления (65.1) случайной функции X можно неограниченно улучшать, увеличивая число членов, т. е. когда математическое ожидание квадрата модуля остаточного члена стремится к нулю при

При этом случайная функция X выражается сходящимся к ней в среднем квадратическом рядом

На основании формулы (19.13) из (66.2) следует, что математическое ожидание случайной функции X выражается рядом

Вычитая ряд (66.3) из (66.2), получим соответствующее разложение центрированной случайной функции:

Из формулы (53.21) следует, что математическое ожидание квадрата модуля остаточного члена ряда (66.2) равно сумме квадрата модуля остаточного члена ряда (66.3) и дисперсии остаточного члена ряда (66.4). Следовательно, из (66.1) вытекает сходимость ряда (66.3) и сходимость в среднем квадратическом ряда (66.4).

Применяя способ предыдущего параграфа, можно определить формулами (65.3) бесконечную последовательность некоррелированных случайных величин имеющих равные нулю математические ожидания, и перестроить формально ряд (66.2) так, чтобы получить каноническое разложение случайной функции Координатные функции этого канонического разложения определятся первой формулой (65.5) при Найдем для этого случая оптимальные координатные функции. Подставляя в (57.5) выражение (66.4), будем иметь:

Заменяя здесь величины их выражениями из принимая во внимание (57.1), получим:

Эта формула совпадает с первой формулой (65.5) при Следовательно, формальное перестроение ряда (66.2) способом предыдущего параграфа дает в данном случае каноническое разложение случайной функции X с оптимальными координатными функциями:

Для того чтобы применение способа предыдущего параграфа было законным, необходимо доказать, что ряды (66.6), выражающие координатные функции, и ряд (66.7) сходятся. Из (66.5) и (66.6) следует, что при любых целых имеет место равенство

На основании неравенства (20.27)

Из (66.8) и (66.9) вытекает неравенство

Из сходимости в среднем квадратическом ряда (66.4) следует, что правая часть неравенства (66.10) при любом может быть сделана как угодно малой, если взять достаточно большое Таким образом, неравенство (66.10) доказывает сходимость рядов (66.6). при всех значениях при которых сходится в среднем квадратическом ряд (66.4).

Для доказательства сходимости в среднем квадратическом канонического разложения (66.7) заметим, что на основании изложенного в предыдущем параграфе при любом конечном сумма первых членов ряда (66.4) равноценна приближенному каноническому разложению, координатные функции которого, определяемые формулами (65.5), являются соответствующими отрезками рядов (66.6) и, следовательно, не являются в общем случае оптимальными. Отсюда следует, что при любом остаточный член канонического разложения (66.7) не больше остаточного члена ряда (66.4). Таким образом, сходимость (в среднем квадратическом) ряда (66.7) является следствием сходимости ряда (66.4).

На основании изложенного каноническое разложение (66.7) случайной функции X всегда сходится быстрее, чем ряд (66.4), если только ряд (66.4) сам не является каноническим разложением. Действительно, из результатов предыдущего параграфа следует, что остаточные члены рядов (66.4) и (66.7) совпадают при любом тогда и только тогда, когда при любом остаточный член ряда (66.4) не коррелирован со случайными величинами Но это возможно только в том случае, когда случайные величины не коррелированы, т. е. когда ряд (66.4) является каноническим разложением случайной функции Таким образом, сходимость любого разложения случайной функции вида (66.2) всегда может быть улучшена путем приведения этого разложения тождественным преобразованием к каноническому разложению.

Обозначим через произвольное множество значений аргумента при которых ряд (66.2) сходится в среднем квадратическом. Применяя метод § 63, можно найти систему линейных функционалов действие которых распространяется на множество удовлетворяющих совместно с функциями условиям биортогональности (62.5). При этом случайные величины выразятся формулой (62.1). Подставляя это выражение величин в (65.3), получим:

Вводя линейные функционалы

можем представить формулы (66.11) в виде:

Таким образом, случайные коэффициенты любого разложения центрированной случайной функции вида (66.4) могут быть представлены как результат преобразования центрированной случайной функций некоторыми линейными функционалами, действие которых распространяется на произвольное множество значений аргумента при которых ряд (66.2) сходится в среднем квадратическом.

Среди разложений вида (66.2) особенно удобны для практических расчетов разложения по различным ортонормированным системам функций. Предположим, что функции образуют ортонормированную систему функций в некоторой области изменения аргумента

где некоторая неотрицательная функция веса. Умножая равен ство (66.2) на и интегрируя по области получим вслед ствие (66.14):

На основании (66.15) и (66.14) имеем:

Так как левая часть равенства (66.16) неотрицательна, то из (66.16) следует, что ряд

сходится, если математическое ожидание квадрата модуля случайной функции X интегрируемо с весом по области и

Если в этой формуле имеет место знак равенства, то из (66.16) следует, что ряд (66.2) сходится в среднем квадратическом к случайной функции X при всех значениях в области кроме может быть некоторого множества значений для которого

Сравнивая формулу (66.15) с (61.1), видим, что в данном случае величины выражаются формулой (61.1) при

Таким образом, в случае, когда функции в (66.2) образуют ортонормированную систему функций, изложенный метод получения канонического разложения случайной функции X из ряда (66.2) является частным случаем метода § 61, когда функции определяются формулой (66.20).

Формула (66.6) показывает, что разложение координатной функции в обобщенный ряд Фурье по функциям не содержит функций Этим обстоятельством можно воспользоваться для получения таких канонических разложений случайных функций, которые дают возможность ограничиться небольшим количеством первых членов при исследовании точности динамических систем. Так как любая динамическая система обладает инерцией и вследствие этого «не пропускает» гармонических колебаний, имеющих частоты, превосходящие некоторую величину (лежащие вне полосы пропускания данной системы), то, выбирая функции так, чтобы, начиная с некоторого номера все функции не содержали частот, пропускаемых исследуемой системой, мы получим по формуле (66.6) такие координатные функции которые, начиная с номера не будут пропускаться исследуемой системой. Это даст возможность ограничиться в разложении (66.7) первыми членами, несмотря на то, что точность представления случайной функции X может при этом быть очень низкой.

Для получения канонического разложения случайной функции изложенным методом удобно пользоваться разложением ее в обычный ряд Фурье. В случае, когда скалярная переменная, а интересующая нас область изменения представляет собой интервал длины

функции

образуют ортонормированную систему функций с весом

В этом случае ряды (66.2), (66.3), (66.4) и (66.6) являются обычными рядами Фурье, причем разложение координатной функции не содержит частот, меньших чем Это дает возможность при построении канонического разложения случайной функции X пренебречь координатными функциями для которых величина лежит вне полосы пропускания исследуемой системы, несмотря на то, что это может привести к весьма низкой точности представления случайной функции X, которая является для исследуемой системы входным возмущением.

Пример. Найти каноническое разложение случайной функции X примера § 61 путем разложения ее в ряд. Легко видеть, что функции

образуют в интервале ортонормированную систему функций с весом

Следовательно, на основании изложенного случайная функция X может быть разложена в ряд

коэффициенты которого определяются на основании (66.15), (66.23) и (66.24) формулами

Можно убедиться в том, что в данном случае в формуле (66.18) имеет место знак равенства и, следовательно, ряд (66.25) сходится в среднем квадратическом. Так как в данном случае где величины, найденные в примере § 61, то формула (66.6) дает следующие разложения координатных функций:

Представляем читателю самостоятельно убедиться в том, что разложение функций определяемых формулами (61.27) и (61.28), в ряд по функциям (66.23) приводит к формулам (66.27).