§ 92. Исследование точности одномерных стационарных линейных систем с одним стационарным случайным возмущением

Для исследования точности стационарной линейной системы, работающей в установившемся режиме под действием стационарного случайного возмущения, выразим это возмущение интегральным каноническим представлением (77.13), координатными функциями которого являются показательные функции

В результате преобразования этих функций стационарной линейной системой получаются те же показательные функции, умноженные на частотную характеристику системы

На основании выведенного в § 88 общего закона преобразования координатных функций при линейном преобразовании случайной функции формула (92.2) определяет координатные функции интегрального канонического представления выходной переменной У рассматриваемой системы. Подставляя выражение (92.2) в формулу (88.15), в которой в данном случае (§ 77), найдем корреляционную функцию выходной переменной У:

где спектральная плотность действующего на систему стационарного случайного возмущения Формула (92.3) показывает, что корреляционная функция случайной функции У является функцией разности и не зависит от по отдельности. Следовательно, согласно определению § 72, случайная функция У является стационарной. Практически обычно бывает достаточно определить дисперсию выходной переменной линейной системы. Полагая в формуле получим для дисперсии выходной переменной У формулу

Эта формула получается также из общей формулы (88.16) при подстановке в нее выражения (92.2) координатных функций

Вынося спектральную плотность за знак интеграла средним значением, приведем формулу (92.4) к виду:

где

Эта величина обычно называется эффективной полосой пропускания стационарной линейной системы. Пользуясь вместо спектральной плотности определенной для всех положительных и отрицательных частот, спектральной плотностью определенной только для всех положительных частот, можно переписать формулы (92.4) и (92.5) в виде:

В частном случае, когда спектральная плотность мало изменяется в пределах полосы частот в которой частотная характеристика системы заметно отличается от нуля, формулу (92.8) можно переписать в виде:

где любое значение частоты, расположенное примерно в середине полосы частот, в которой существенно отличается от нуля. Если полоса частот, в которой существенно отлична от нуля, достаточно узка, например, если рассматриваемая стационарная линейная система является резонансным фильтром, то формула (92.9) справедлива для любой непрерывной спектральной плотности причем частота в этом случае может быть принята приближенно равной резонансной частоте системы.

Формула (92.9) показывает, что действие стационарного случайного возмущения на узкополосную по сравнению со спектром этого возмущения стационарную линейную систему приблизительно равноценно действию белого шума, спектральная плотность которого равна значению спектральной плотности возмущения при резонансной частоте системы.

Сравнивая формулу (92.3) с (77.12), видим, спектральная плотность стационарной случайной функции К на выходе системы равна:

Таким образом, в результате преобразования стационарной случайной функции стационарной линейной системой получается стационарная случайная функция, спектральная плотность которой равна произведению спектральной плотности входного случайного возмущения и квадрата модуля частотной характеристики системы.

При выводе всех формул этого параграфа мы воспользовались законом преобразования (92.2) показательной функции стационарной линейной системой. Этот закон справедлив только для установившегося режима работы системы. Поэтому, применяя формулы этого

параграфа, следует помнить, что они справедливы только для установившегося режима работы системы, когда все переходные процессы можно считать законченными. Практически это означает, что все формулы этого параграфа можно применять только к асимптотически устойчивым системам и для моментов времени, достаточно удаленных от начального момента Для того чтобы определить корреляционную функцию случайной функции на выходе произвольной стационарной линейной системы для любых значений необходимо воспользоваться общей формулой (83.15) при определив координатные функции так, чтобы они были результатом преобразования рассматриваемой системой гармонических колебаний и обращались в начальный момент в нуль вместе со своими производными до определенного порядка. Выходная переменная системы У в этом случае уже не будет стационарной случайной функцией времени.

Необходимая для вычислений по формулам (92.3), (92.4), (92.7) и (92.10) частотная характеристика системы может быть определена обычными методами, например графическим методом построения логарифмических частотных характеристик. Если задано дифференциальное уравнение системы

где и полиномы относительно оператора дифференцирования по времени с постоянными коэффициентами

то частотная характеристика системы может быть определена методом, изложенным в § 87, который дает формулу

Пример 1. Определить дисперсию выходной переменной стационарного колебательного звена, поведение которого описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

если X — стационарная случайная функция, корреляционная функция которой задана формулой

Пользуясь формулой (92.13), находим частотную характеристику рассматриваемого колебательного звена:

Спектральная плотность случайной функции X была определена в примере 2 § 77 [формулы (77.52)]:

Подставляя выражения (92.16) и (92.17) в формулу (92.7), находим дисперсию случайной функции У:

Для вычисления интеграла в этой формуле можно воспользоваться таблицами (Приложение, таблица II). Тогда получим:

Формулы (92.18) и (92.19) применимы только для моментов времени достаточно удаленных от начального момента. Для вычисления дисперсии случайной функции У для произвольных моментов времени следует воспользоваться общей формулой (88.16), определив координатные функции у путем интегрирования при нулевых начальных условиях дифференциального уравнения, полученного из уравнения (92.14) заменой функции X показательной функцией а функции -соответствующей координатной функцией Тогда получим:

где и - корни характеристического уравнения

Подставляя выражения (92.17) и (92.20) в формулу (88.16), полагая

и принимая во внимание, что в рассматриваемом случае получим:

Эта формула определяет дисперсию случайной функции У для любого момента времени. В пределе, при формула (92.23) принимает вид (92.18), если т. е. если система асимптотически устойчива.

Пример 2. Определить дисперсию вертикальной составляющей ускорения самолета, летящего на заданной высоте с постоянной скоростью в турбулентной атмосфере.

Обозначая через соответственно скорость центра массы самолета, его угол атаки (т. е. угол наклона его оси к вектору скорости его центра массы), угол отклонения руля, угол наклона вектора скорости Центра массы самолета к горизонту и вертикальную составляющую вектора

скорости ветра, можем написать уравнения движения самолета в вертикальной плоскости в виде:

где коэффициенты постоянны при полете с постоянной скоростью в атмосфере постоянной плотности. В турбулентной атмосфере вектор скорости ветра является случайной функцией координат точки пространства и времени. Вследствие этого и определяемые уравнениями (92.24) угол атаки самолета а и угол наклона вектора скорости его центра массы к горизонту будут случайными функциями времени. Считая угол малым, Можем выразить вертикальную составляющую ускорения самолета приближенно формулой

Для вычисления дисперсии вертикального ускорения самолета а по формуле (92.7) необходимо найти частотную характеристику, определяющую реакцию вертикального ускорения самолета на гармонические колебания вертикальной составляющей вектора скорости ветра На основании (92.25) передаточная функция вертикального ускорения самолета связана с передаточной функцией угла формулой

Для определения передаточных функций углов следует положить в уравнениях (92.24)

отбросить в них неслучайные возмущения и решить полученные уравнения относительно Сначала мы найдем дисперсию вертикального ускорения самолета с закрепленным рулем высоты. В этом случае величина 5 постоянна и играет роль неслучайного возмущения в уравнениях (92.24).

Отбрасывая в уравнениях (92.24) возмущения — и и подставляя в них выражения (92.27), получим:

Определив из этих уравнений и подставив в формулу (92.26), найдем искомую передаточную функцию вертикального ускорения самолета:

Вертикальную составляющую вектора скорости ветра можно считать стационарной случайной функцией точки в плоскости горизонта, корреляционная функция которой определяется формулой

где расстояние между двумя точками, расположенными на одной высоте, параметр, обычно называемый масштабом, турбулентности, дисперсия вертикальной составляющей вектора скорости ветра. Выразив

расстояние между двумя точками, в которых самолет находится в моменты формулой

найдем корреляционную функцию вертикальной составляющей вектора скорости ветра, действующей на летящий самолет, рассматриваемой как случайная функция времени:

На основании формулы (92.17) спектральная плотность действующей на самолет вертикальной составляющей вектора скорости ветра, рассматриваемой как случайная функция времени, выразится формулой

Подставляя выражения (92.29) и (92.33) в формулу (92.7), найдем диспепсию вертикального ускорения самолета при полете с закрепленным рулем высоты:

Для уменьшения дисперсии вертикального ускорения самолета, т. е. «болтанки», следует оборудовать самолет автоматической системой управления, имеющей в своем составе акселерометр, измеряющий вертикальное ускорение самолета, преобразующее устройство, вырабатывающее управляющий сигнал, и рулевую машину, приводящую в действие руль высоты в соответствии с вырабатываемым системой управления сигналом. В этом случае к уравнениям (92.24) следует добавить уравнение, выражающее зависимость отклонения руля высоты 5 от вертикального ускорения самолета, т. е. так называемый закон управления. Включая в сигнал управления вертикальное ускорение самолета и его производную и предполагая, что рулевую машину можно рассматривать как простое инерционное звено с постоянной времени можно написать закон управления в виде:

Для определения передаточной функции вертикального ускорения самолета в случае автоматического управления самолетом при помощи системы управления с акселерометром (инерционной системы управления) следует подставить в уравнения (92.24), (92.25) и (92.35) выражения (92.27), отбросить в них неслучайное возмущение и, кроме того, положить

Тогда получим следующую систему линейных алгебраических уравнений для определения передаточных функций:

Решая эти уравнения, находим передаточную функцию вертикального ускорения автоматически управляемого но высоте самолета (передаточные функции остальных величин нас не интересуют):

Подставляя выражения (92.33) и (92.38) в формулу (92.7), найдем дисперсию вертикального ускорения автоматически управляемого по высоте самолета:

где для краткости положено:

Сравнивая формулы (92.34) и (92.39), видим, что среднее квадратическое отклонение гармоники частоты вертикального ускорения самолета может быть уменьшено при помощи инерционной системы управления во столько раз, во сколько раз модуль величины больше единицы. Величина для современных самолетов имеет порядок Поэтому, приняв коэффициент в законе управления равным мы получим и следовательно» дисперсии самых неприятных для пассажиров низкочастотных гармоник вертикального ускорения самолета уменьшатся приблизительно в четыре раза. При этом средние квадратические отклонения низкочастотных гармоник вертикального ускорения самолета уменьшатся приблизительно в два раза. Если принять коэффициент в законе управления равным то величина будет равна 3 и дисперсии низкочастотных гармоник вертикального ускорения самолета уменьшатся приблизительно в 16 раз, а их средние квадратические отклонения уменьшатся приблизительно в четыре раза. Таким образом, инерционная система управления может служить весьма эффективным средством уменьшения «болтанки» при полете в турбулентной атмосфере.

Пример 3. Найти дисперсию выходной переменной инерционного звена с постоянной времени если входное возмущение представляет собой стационарный белый шум с интенсивностью

Заменяя в уравнении инерционного звена (90.34) оператор дифференцирования параметром находим частотную характеристику инерционного звена:

Подставляя это выражение в формулу (92.4), считая в ней спектральную плотность постоянной и принимая во внимание соотношение между спектральной плотностью и интенсивностью белого шума найденное в примере 1 § 77, получим:

Этой формулой, как и всеми формулами этого параграфа, можно пользоваться только для вычисления установившейся дисперсии, т. е. значения дисперсии выходной переменной в моменты времени, достаточно удаленные от начального момента для того, чтобы можно было считать все переходные процессы законченными.

Пример 4. Требуется спроектировать фильтр первого порядка для выделения полезного сигнала, представляющего собой линейную функцию времени со случайными коэффициентами, из входного сигнала, равного сумме полезного сигнала и помехи. Помеха представляет собой белый шум с интенсивностью

Поставленная задача сводится к определению постоянной времени фильтра обеспечивающей наилучшее воспроизведение полезного сигнала на выходе фильтра. За критерий качества воспроизведения в таких случаях часто Серут среднюю квадратическую ошибку, представляющую собой положительный корень квадратный из математического ожидания квадрата ошибки.

Обозначая выходную переменную фильтра через получим уравнение, связывающее со входным сигналом фильтра:

где случайные величины, которые можно считать некоррелированными с белым шумом Интеграл уравнения (92.43), описывающий установившийся режим работы фильтра, имеет вид:

где выходная переменная фильтра при действии на входе одного белого шума Ошибка воспроизведения полезного сигнала в установившемся режиме равна:

Считая некоррелированными и пользуясь найденным в предыдущем примере выражением (92.42) дисперсии случайной функции У, находим математическое ожидание квадрата ошибки:

где начальный момент второго порядка величины В.

Дифференцируя формулу по приравнивая результат нулю и решая полученное уравнение относительно находим оптимальное значение постоянной времени:

Подставляя это выражение в (92.46), находим минимальную возможную среднюю квадратическую ошибку воспроизведения полезного сигнала:

Для иллюстрации зависимости качества воспроизведения полезного сигнала от постоянной времени на рис. 49 приведен график зависимости средней квадратической ошибки от Этот график показывает, что средняя

квадратическая ошибка фильтра увеличивается всего на 5—6% при изменении на 30—35%. Таким образом, с практической точки зрения в данном случае равноценны все фильтры, имеющие постоянные времени в пределах Этот факт является общей закономерностью для широкого класса подобных задач. Как правило, возможны значительные отступления от оптимальной характеристики системы без существенного ухудшения ее точности. Это значительно облегчает проектирование систем, близких по точности к оптимальным.

Рис. 49.

Пример 5. Случайная функция У представляет собой преобразование Гильберта действительной стационарной случайной функции X:

Найти корреляционную функцию случайной функции У и взаимную корреляционную функцию случайных функций

В примере 3 § 87 была найдена частотная характеристика системы, осуществляющей преобразование Гильберта. Она выражается формулой (87.29). Подставляя выражение (87.29) частотной характеристики в (92.10), приходим к выводу, что спектральная плотность стационарной случайной функции У совпадает со спектральной плотностью случайной функции Следовательно, и корреляционные функции случайных функций совпадают, и формула (77.30) дает:

Для определения взаимной корреляционной функции случайных функций воспользуемся общей формулой (89.11). Принимая во внимание, что в данном случае и координатные функции случайных функций выражаются формулами (92.1) и (92.2), и учитывая, что спектральная плотность действительной стационарной случайной функции является четной функцией, получим:

Сравнивая эту формулу с (79.5), находим взаимную спектральную плотность случайных функций У и X:

Формула (87.29) показывает, что система, осуществляющая преобразование Гильберта, не изменяет амплитуды гармонических колебаний и уменьшает их фазу на Следовательно, преобразование Гильберта переводит при любой частоте со соответственно в Возвращаясь к примерам § 73, видим, что в этих примерах случайная функция X представляет собой преобразование Гильберта случайной функции У.

Пусть теперь произвольное значение частоты Рассмотрим случайные функции

Пользуясь формулой (89.4) и принимая во внимание (73.4), (92.50) и (92.51), находим корреляционные функции и взаимную корреляционную функцию случайных функций

Подставляя сюда выражения (92.50) и (92.51), получим:

Если спектральную плотность можно с достаточной точностью считать равной нулю вне интервала частот то заменой переменных формулы (92.55) приводятся к виду:

Первая из этих формул показывает, что спектральная плотность случайных функций равна:

Эта формула показывает, что преобразование, обратное по отношению к (92.53), дает выражение узкополосных случайных процессов имеющих среднюю частоту через низкочастотные случайные процессы Если кривая спектральной плотности узкополосного случайного процесса симметрична относительно точки то, как показывает вторая формула (92.56), случайные функции не коррелированы. В этом случае, умножая формулы (92.54) соответственно на и складывая результаты, получим для корреляционной функции случайной

функции X формулу

Вводя еще медленно изменяющиеся случайные функции

выразим случайные функции в виде:

Эти формулы дают представление узкополосных случайных процессов в виде гармонических колебаний, модулированных по амплитуде и фазе медленно изменяющимися случайными функциями. Такое представление стационарных случайных функций удобно для исследования прохождения сигналов совместно с шумами через радиотехнические устройства [103, 9, 36]. Случайные функции и называются соответственно огибающей и фазой случайных процессов При фиксированных значениях формулы (92.60) определяют функциональную зависимость между случайными величинами с одной стороны, и случайными величинами с другой стороны. Поэтому, зная законы распределения соответствующих чисел измерений случайных функций можно по формулам § 30 определить моменты случайных функций А, а по формулам §§ 32 и 33 найти их законы распределения. Рекомендуем читателю в качестве упражнения найти математические ожидания, корреляционные функции, одномерные и двумерные законы распределения случайных функций в случае нормального распределения случайной функции