§ 107. Нелинейные интегральные преобразования случайных функций

Частным случаем операторов, приводимых к линейным, типа (106.26) являются интегральные операторы вида:

или более общего вида:

где произвольные функции или соответственно действительная случайная функция. Линейные интегральные операторы (54.1) являются частным случаем оператора (107.1), когда функция линейна относительно первого аргумента

Вводя согласно изложенному в предыдущем параграфе случайную функцию

находим ее математическое ожидание и момент второго порядка по формулам (106.13) и (106.14):

где соответственно одно- и двумерная плотности вероятности случайной функции Определив математическое ожидание и момент второго порядка случайной функции находим математическое ожидание и момент второго порядка случайной функции У

по формулам (106.4) и (106.6) или по более простым формулам (54.3) и (54.6):

Аналогичными формулами определяются моменты высших порядков случайной функции К.

Определив математическое ожидание и момент второго порядка случайной функции К, можно найти ее корреляционную функцию, пользуясь формулой (50.7):

Подставляя сюда выражения из (107.7) и (107.8), получим:

Из формул (107.7), (107.8) и (107.9) получаются как частный случай формулы (54.3) и (54.6). Действительно, подставляя в (107.7) выражение (107.3) функции получаем:

Точно так же, подставляя в (107.8) выражение (107.3) функции получаем:

Из формул (107.9), (107.11) и (107.12) непосредственно следует формула (54.6).

Легко видеть, что математическое ожидание и момент второго порядка случайной функции определяемой преобразованием (107.2), выражаются теми же формулами (107.7) и (107.8), так как формулу (107.2) можно сокращенно записать в виде (107.1), если понимать как сокращенную запись совокупности значений случайной функции аргумент функции понимать как -мерный вектор с составляющими а интеграл считать -кратным. При этих условиях формулы (107.7) и (107.8) определяют математическое ожидание и момент второго порядка случайной функции причем в данном случае представляет собой -мерную плотность вероятности случайной функции представляет собой -мерную плотность вероятности случайной функции X, а интегралы по следует также понимать как -кратные. Для того чтобы получить подробные формулы для математического ожидания и момента второго порядка случайной функции определяемой формулой (107.2), достаточно в формулах (107.7) и (107.8) заменить каждую из переменных соответствующей совокупностью переменных (составляющих соответствующего -мерного вектора), а каждый интеграл заменить -кратным интегралом.

Заметим еще, случайную функцию X в формуле (107.1) можно понимать как векторную случайную функцию. Формулы (107.7) и (107.8) в этом случае также справедливы. При этом, если -мерная векторная случайная функция, то переменные в формулах (107.7) и (107.8) следует понимать как -мерные векторы и соответственно интегралы по как -кратные, а плотности вероятности как соответствующие -мерную и -мерную. Точно так же случайную функцию X в формуле (107.2) можно считать -мерной векторной случайной функцией. При этом переменные в формулах (107.7) и (107.8) будут -мерными векторами, интегралы по будут -кратными, а плотности вероятности будут соответственно -мерной и -мерной. Нелинейные динамические системы, операторы которых выражаются формулами вида (107.1) и (107.2), рассмотрены в работах Заде

Совершенно таким же образом, применяя формулы предыдущего параграфа, можно вывести формулы для математического ожидания и момента второго порядка случайной функции, определяемой более общим преобразованием

Пример 1. В качестве примера системы, имеющей оператор типа (107.1), рассмотрим систему, состоящую из последовательно соединенных безынерционного функционального устройства, выходная переменная которого связана со входным возмущением

где данная функция, и линейной системы (рис. 64). Обозначая весовую функцию линейной системы через получим зависимость выходной переменной рассматриваемой системы от входного возмущения в виде:

Рис. 64.

Полагая для краткости

приведем формулу (107.15) к виду:

Таким образом, оператор рассматриваемой нелинейной системы относится к классу нелинейных интегральных оператороз типа (107.1). Характеристическая функция этого оператора является полной характеристикой рассматриваемой нелинейной системы.

Рис. 65.

К тому же типу относится более сложная система, полученная в результате параллельного соединения любого количества нелинейных систем рассмотренного типа (рис. 65). Входная и выходная переменные подобной системы связаны формулой

Полагая

мы приведем формулу (107.18) к виду (107.17). Характеристическая функция рассматриваемой нелинейной системы, определяемая формулой (107.19), является исчерпывающей характеристикой этой системы.

Легко убедиться в том, что если ввести в рассмотренную систему обратные связи, охватывающие нелинейные элементы, то систему уже больше нельзя будет охарактеризовать такой простой величиной, как характеристическая функция интегрального оператора.

Пример 2. Определить математическое ожидание и корреляционную функцию выходной переменной нелинейной системы, представляющей соой последовательное соединение безынерционного элемента, характеристикой которого является показательная функция, и интегрирующего звена (рис. 66), если входное случайное возмущение представляет собой нормально распределенную случайную функцию, математическое ожидание которой тождественно равно нулю.

Рис. 66.

Выходная переменная рассматриваемой системы У связана со входным возмущением X формулой

Преобразование случайной функции (107.20) представляет собой частный случай преобразования (107.1), когда

а областью интегрирования является интервал Пользуясь формулой (107.7), находим математическое ожидание случайной функции У:

Интеграл по х зесь можно вычислить по формуле (9.19). Тогда формула (107.22) примет вид:

Для определения момента второго порядка случайной функции У воспользуемся формулой (107.8). Подставляя в нее выражение (107.21) функции и принимая во внимание, что случайная функция X распределена нормально, получим:

где

Для вычисления интеграла по в формуле (107.24) можно снова применить формулу (9.19). Тогда получим:

Для определения корреляционной функции случайной функции У теперь достаточно подставить выражения (107.23) и (107.26) в формулу (107.9). Тогда, принимая во внимание, что на основании формулы (107.23)

получим:

Пример 3. Найти математическое ожидание и дисперсию относительного времени, в течение которого случайная функция превосходит данную функцию в данном интервале времени

Легко видеть, что относительное время выполнения неравенства в интервале времени выражается формулой

Действительно, подынтегральная функция в (107.29) равна единице при и нулю при Поэтому интеграл в (107.29) представляет собой суммарное время выполнения неравенства в интервале времени Преобразование случайной функции X, определяемое формулой (107.29), представляет собой нелинейное интегральное преобразование типа (107.1). Поэтому для определения математического ожидания и дисперсии случайной функции можно применить формулы (107.7) и (107.10). В результате получим:

и аналогично

где соответственно одно- и двумерная плотности вероятности случайной функции Аналогично определяются моменты высших порядков случайной функции У.

В частном случае, когда постоянна, формулы (107.30) и (107.31) определяют математическое ожидание и дисперсию относительного времени превышения случайной функцией X данного уровня а в интервале вре-мени Если при этом одномерная плотность вероятности случайной функции X не зависит от времени то формула (107.30) дает:

Таким образом, если одномерная плотность вероятности случайной функции X не зависит от то среднее относительное время превышения случайной функцией X данного постоянного уровня равно вероятности превышения этого уровня в любой фиксированный момент времени. Предоставляем читателю самостоятельно доказать, что в частном случае нормально распределенной эргодической стационарной случайной функции X дисперсия случайной функции У стремится к нулю при Рекомендуем читателю также найти общие выражения математического ожидания и дисперсии случайной функции У в случае нормально распределенной случайной функции

Пример 4. Найти математическое ожидание и дисперсию числа пересечений кривой случайной функции с данной кривой

Чтобы найти число пересечений кривых в интервале заметим, что число нулей любой функции в интервале выражается формулой

Действительно, подынтегральная функция в (107.33) равна нулю при всех кроме тех значений при которых обращается в нуль. Пусть значение при котором — интервал, достаточно малый для того, чтобы функция изменялась монотонно в этом интервале. Если переходит через нуль в точке возрастая, то замена переменных дает:

Если переходит через нуль в точке убывая, то та же замена переменных дает:

Таким образом, интеграл вида (107.33) по сколь угодно малому интервалу, включающему одну точку перехода функции через нуль, равен единице, Следовательно, интеграл (107.33) равен числу переходов функции через нуль в интервале интегрирования.

Применяя формулу (107.33) к функции выразим число пересечений кривых в интервале формулой

Эта формула определяет нелинейное интегральное преобразование случайной функции X типа (107.1). Пользуясь формулой (107.7), находим математическое ожидание числа пересечений кривых в интервале

где совместная плотность вероятности значений случайной функции и ее производной при данном значении аргумента Аналогично, пользуясь формулой (107.10), находим дисперсию числа пересечений кривых в интервале

где совместная плотность вероятности значений случайной функции X и ее производной при двух значениях аргумента.

Пример 5. Найти математическое ожидание и дисперсию числа превышений случайной функцией данного переменного уровня в интервале

Число превышений случайной функцией уровня равно числу точек пересечения кривых в которых функция возрастает. Чтобы сосчитать только такие точки пересечения, необходимо включить в подынтегральную функцию в (107.36) множитель Тогда получим для числа превышений случайной функцией уровня в интервале формулу

Пользуясь формулами (107.7) и (107.10), находим математическое ожидание и дисперсию числа превышений случайной функцией уровня в

интервале

Совершенно так же вычисляются математическое ожидание и дисперсия числа частей интервала в которых случайная функция меньше данной функции

Пусть теперь две функции, удовлетворяющие в интервале условию Тогда число выходов случайной функции из пределов в интервале выразится формулой

Предоставляем читателю самостоятельно применить формулы (107.7) и (107.10) для определения математического ожидания и дисперсии случайной функции