§ 20. Дисперсии и корреляционные моменты комплексных случайных величин. Свойства дисперсий и корреляционных моментов

Дисперсией комплексной случайной величины называется математическое ожидание квадрата модуля отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания:

Так как

то

или на основании (10.6)

Таким образом, дисперсия комплексной случайной величины равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей.

Корреляционный момент комплексных случайных величин определяется формулой

где чертой сверху отмечены комплексные величины, сопряженные с данными. Подставляя в формулу (20.5) выражения (19.8) комплексных случайных величин через их действительные и мнимые части и принимая во внимание (19.11) и (19.5), получим:

или на основании определения (17.5) корреляционного момента для действительных случайных величин

Таким образом, корреляционный момент комплексных случайных величин выражается через корреляционные моменты их действительных и мнимых частей.

При определении дисперсий и корреляционных моментов комплексных случайных величин формулами (20.1) и (20.5) сохраняются основные свойстга этих характеристик в области действительных случайных величин — дисперсия всегда существенно положительна и является корреляционным моментом случайной величины с самой собой.

Корреляционный момент комплексных случайных величин в отличие от действительных случайных величин зависит от порядка, в котором берутся случайные величины, а именно при изменении порядка случайных величин их корреляционный момент переходит в комплексную сопряженную величину:

В соответствии с этим корреляционная матрица комплексного случайного вектора обладает тем свойством, что ее элементы, симметрично расположенные относительно главной диагонали, являются комплексными сопряженными величинами:

Пользуясь выведенными в предыдущем параграфе свойствами математических ожиданий, можно вывести основные свойства дисперсий и корреляционных моментов. Полагая в (20.1) величину

равной неслучайной величине с и принимая во внимание (19.4), находим:

Определение (20.1) и формула (19.5) дают:

Точно так же, если

где а и с — неслучайные величины, то определение (20.5) и формула (19.5) дают следующую зависимость между корреляционным моментом случайных величин и корреляционным моментом случайных величин

Пользуясь теоремой сложения математических ожиданий (19.11), находим:

или на основании (20.5)

Если случайные величины не коррелированы, то все слагаемые с различными индексами в (20.15) равны нулю и формула (20.15) принимает вид:

Таким образом, дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме их дисперсий.

Применяя формулы (20.15) и (20.13), получаем формулу для дисперсии произвольной линейной функции (19.12) случайных величин

Для некоррелированных случайных величин формула (20.17) принимает вид:

Совершенно так же, как была выведена формула (20.15), выводится формула для корреляционного момента сумм случайных величин:

Эта формула имеет вид:

В частном случае, когда формула (20.20) переходит в (20.15).

Применяя формулы (20.20) и (20.13), получаем формулу для корреляционного момента произвольных линейных функций:

случайных величин

В частном случае, когда формула (20.22) принимает вид:

Если случайные величины не коррелированы, то формула (20.23) принимает вид:

Полагая в формулах (19.12) и (20.17)

и принимая во внимание (20.9), находим:

Отсюда, так как дисперсия никогда не может быть отрицательной, получаем неравенство

Таким образом, корреляционный момент двух случайных величин не может быть по модулю больше среднего геометрического их дисперсий.

На основании равенства (18.10) и неравенства (20.27) приходим к заключению, что коэффициент корреляции двух случайных величин не может быть по модулю больше единицы:

Очевидно, что знак равенства в формулах (20.27) и (20.28) имеет место только в том случае, когда дисперсия случайной величины равна нулю, т. е. когда эта величина не является случайной. Иными словами, модуль корреляционного момента случайных величин равен среднему геометрическому их дисперсий, а их коэффициент корреляции равен по модулю единице тзгда и только тогда, когда между случайными величинами существует линейная функциональная зависимость вида:

где с — неслучайная величина.

Применяя теорему сложения математических ожиданий (19.11) и формулы (19.4) и (19.5), получаем:

или

В частном случае, когда случайные величины не коррелированы, и формула (20.31) принимает вид:

Для некоррелированных действительных случайных величин формула (20.32) дает:

Эта формула выражает теорему умножения математических ожиданий: математическое ожидание произведения двух некоррелированных действительных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Легко видеть, что в случае, когда в формуле для начальных моментов второго порядка справедлива формула, аналогичная (20.17):

где начальные моменты второго порядка случайных величин:

Точно так же формулы (20.18), (20.22), (20.23) и (20.24) справедливы для начальных моментов второго порядка, если в формулах Наконец, неравенство (20.27) также справедливо для начальных моментов случайных величин.

Пример. Найти дисперсии числа появлений и частоты события А при независимых опытах, если вероятность появления события А в результате опыта равна

Так как число появлений X события А при опытах равно сумме независимых чисел появлений этого события в результате отдельных опытов, то, применяя формулу (20.16) и принимая во внимание, что дисперсия числа появлений X, события А в результате одного опыта, согласно второй формуле (10.21), равна получим для дисперсии числа появлений события А при независимых опытах формулу

Так как частота события А связана с числом его появлений формулой (19.16), то для определения дисперсии частоты события А при опытах достаточно применить формулу (20.11). В результате получим:

В частном случае, когда событие А во всех опытах имеет одну и ту же вероятность все слагаемые в формуле (20.37) одинаковы и формула (20.37) принимает вид: