§ 80. Случайные функции, приводимые к стационарным

В приложениях часто приходится встречаться со случайными функциями, которые сравнительно просто выражаются через стационарные случайные функции. Такие случайные функции мы будем называть приводимыми к стационарным. Так, например, часто приходится встречаться со случайными функциями вида:

где стационарная случайная функция, а некоторые действительные не случайные функции. Математическое ожидание, корреляционная функция и дисперсия случайной функции определяются формулами

где корреляционная функция стационарной случайной функции На основании этих формул нормированная корреляционная функция случайной функции К равна:

т. е. совпадает с нормированной корреляционной функцией стационарной случайной функции Таким образом, признаком того, что изучаемая случайная функция выражается через некоторую стационарную случайную функцию формулой вида (80.1), является зависимость ее нормированной корреляционной функции только от разности аргументов

Представив стационарную случайную функцию в формуле (80.1) каноническим разложением вида (76.4), получим каноническое разложение случайной функции К:

координатные функции которого определяются формулой

Точно так же, выразив стационарную случайную функцию X в формуле (80.1) интегральным каноническим представлением (77.13), получим интегральное каноническое представление случайной функции К:

координатные функции которого определяются формулой

В некоторых случаях встречаются более общие типы случайных функций, приводимых к стационарным, которые являются линейными комбинациями составляющих стационарной векторной случайной функции X:

Представив стационарную векторную случайную функцию каноническим разложением (78.11), получим каноническое разложение случайной функции К:

где

Точно так же, выразив стационарную векторную случайную функцию X интегральным каноническим представлением (79.19), получим интегральное каноническое представление случайной функции К:

координатные функции которого определяются формулой

В некоторых случаях удается выразить случайную функцию через стационарную случайную функцию формулой вида (80.1) после замены независимой переменной. Так, например, если корреляционная функция случайной функции К выражается формулой

то после замены переменных

корреляционная функция приводится к виду (80.3) и, следовательно, случайная функция

будет стационарной случайной функцией

Выразив стационарную случайную функцию каноническим разложением (76.4), получим каноническое разложение случайной функции К вида (80.6), координатные функции которого определятся формулой

Если выразить стационарную случайную функцию X интегральным каноническим представлением (77.13), то получим интегральное каноническое представление случайной функции К вида (80.8), координатные функции которого определятся формулой

Очевидно, что корреляционная функция случайной функции приводится к виду (80.16) и в том случае, когда она может быть выражена формулой

Для приведения формулы (80.21) к виду (80.16) достаточно положить

Для того чтобы найти признак того, что случайная функция К может быть приведена к стационарной заменой переменных (80.17) и дать способ определения функции заметим, что нормированная

корреляционная функция случайной функции У в рассматриваемом «случае должна зависеть только от разности вследствие чего уравнения

и

равноценны. Дифференцируя уравнение (80.23), получим дифференциальное уравнение семейства кривых постоянных значений нормированной корреляционной функции случайной функции К:

С другой стороны, дифференцируя уравнение (80.24) и принимая во внимание (80.17), получим другое дифференциальное уравнение того же семейства кривых:

Дифференциальные уравнения (80.25) и (80.26) должны быть равноценными. Для этого необходимо, чтобы было выполнено соотношение

Это условие, очевидно, является и достаточным для того, чтобы уравнения (80.23) и (80.24) были равноценными. Таким образом, для того чтобы случайная функция У была, приводимой к стационарной при помощи замены переменных вида (80.17), необходимо и достаточно, чтобы отношение частных производных ее нормированной корреляционной функции могло быть выражено в виде взятого с обратным знаком отношения значений некоторой функции при значениях аргумента, равных и соответственно. Функция при этом определяется как интеграл от

Существование в приложениях случайных функций, приводимых к стационарным при помощи замены переменных, впервые было замечено Е. В. Золотовым, который дал также следующий простой приближенный прием для определения функции в формулах (80.17). Построив биссектрису координатного угла и какую-нибудь кривую семейства (80.23) в координатах проводим ломаную, составленную из отрезков, параллельных осям координат, имеющих концы на биссектрисе координатного угла и на выбранной кривой семейства (80.23). Сопоставив значениям соответствующим вершинам

построенной ломаной (рис. 31), равноотстоящие значения переменной получим кривую, приближенно соответствующую функции Для того чтобы рассматриваемая случайная функция К была приводимой к стационарной при помощи замены переменных (80.17), необходимо, чтобы построенная изложенным способом кривая не зависела от выбора кривой семейства (80.23) и начальной точки ломаной Практически это условие не может выполняться точно вследствие приближенности самого построения. Кроме того, чаще всего функция X, определяемая формулой (80.18), бывает не точно стационарной, а лишь приблизительно стационарной. Поэтому практически за кривую функции обычно приходится выбирать кривую, полученную в результате осреднения нескольких кривых, построенных изложенным способом для нескольких кривых семейства (80.23) и для нескольких начальных точек ломаной. Критерием приводимости рассматриваемой случайной функции к стационарной при помощи замены переменных (80.17) при этом может служить достаточная близость друг к другу всех кривых полученных для различных кривых семейства (80.23) при различном выборе начальной точки ломаной.

Рис. 31.

Более общим типом случайной функции, чем только что рассмотренная, является случайная функция К, которая выражается формулой вида (80.10) через некоррелированные случайные функции каждая из которых приводится к стационарной заменой переменных вида (80.17). При этом различным случайным функциям в формуле (80.10) могут соответствовать различные функции в формулах (80.17).

- Едва ли стоит отмечать, что с практической точки зрения для возможности представления случайных функций каноническими разложениями и интегральными каноническими представлениями, рассмотренными в этом параграфе, достаточно, чтобы они были приводимыми к приближенно стационарным случайным функциям, т. е. таким случайным функциям, корреляционные функции которых мало изменяются вдоль прямых, параллельных биссектрисе координатного угла.

Пример. Рассмотрим случайную функцию корреляционная функция которой выражается формулой

Полагая в этой формуле найдём дисперсию случайной функции

после чего нормированная корреляционная функция случайной функции У выразится формулой

Так как нормированная корреляционная функция не является функцией только разности аргументов то случайная функция не выражается через некоторую стационарную случайную функцию X формулой вида (80.1). Для того чтобы определить возможность приведения случайной функции к стационарной при помощи замены переменных, проверим выполнение условия (80.27). Для этого находим частные производные нормированной корреляционной функции:

Разделив выражения (80.31) одно на другое, получаем:

Сравнивая это равенство с (80.27), приходим к заключению, что случайная функция приводится к стационарной заменой переменных (80.17), причем можно принять:

Отсюда, интегрируя, находим функцию

Постоянную интегрирования мы приняли равной нулю, так как она не существенна. При помощи формулы (80.34) нормированная корреляционная функция случайной функции приводится к виду:

В данном случае возможность приведения нормированной корреляционной функции к виду (80.35) легко усматривается непосредственно из формулы (80.30). Однако практически могут встретиться случаи, когда возможность приведения случайной функции к стационарной трудно будет определить без помощи соотношения (80.27).

Приняв определим в данном случае стационарную случайную функцию формулой

Очевидно, что корреляционная функция этой случайной функции совпадает с нормированной корреляционной функцией случайной функции Выразив стационарную случайную функцию интегральным каноническим представлением (77.13), получим интегральное каноническое представление случайной функции вида (80.8), координатные функции которого определяются формулой

Для определения спектральной плотности случайной функции произведем замену переменных (80.17) в формуле (80.35). Тогда получим:

Подставляя это выражение корреляционной функции случайной функции в формулу (77.7), будем иметь:

Пользуясь для вычисления интеграла формулой (9.19), получим следующее выражение спектральной плотности стационарной случайной функции [которая совпадает в данном случае с интенсивностью белого шума в формуле (80.8)]: