§ 37. Теоремы Маркова и Чебышева. Виды вероятностной сходимости

Пусть неограниченная последовательность случайных величин. Рассмотрим их среднее арифметическое:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины согласно (19.13) и (20.17), выражаются формулами:

где корреляционный момент случайных величин Применяя к случайной величине неравенство Чебышева (36.5), получим:

Отсюда видно, что если

то при любом

Эта формула выражает общую теорему Маркова: при достаточно большом числе случайных величин вероятность отклонения их среднего арифметического от его математического ожидания, превышающего сколь угодно малое будет как угодно мала, если выполнено условие (37.4). Теорема Маркова утверждает, что при неограниченном увеличении числа случайных величин их среднее арифметическое имеет тенденцию стремиться к своему математическому ожиданию и перестать быть случайным. Однако нельзя утверждать, что случайная величина ту стремится к нулю как к пределу в обычном математическом смысле. Обычное математическое определение предела требует, чтобы при любом неравенство ту было выполнено для всех значений превышающих некоторое число В данном случае это не имеет места. Теорема Маркова утверждает лишь, что вероятность неравенства стремится к нулю при Таким образом, мы сталкиваемся в теории вероятностей с особым понятием предела, отличным от обычного математического.

Говорят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности к величине а, если при любом вероятность неравенства а стремится к нулю при

Число а называется пределом по вероятности случайной величины при Легко видеть, что необходимым и достаточным

условием сходимости по вероятности последовательности случайных величин к величине а является сходимость последовательности плотностей вероятности этих случайных величин к дельта-функции

Говорят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине X, если разность сходится по вероятности к нулю.

Пользуясь понятием сходимости по вероятности, можно сформулировать теорему Маркова следующим образом: разность между средним арифметическим случайных величин и средним арифметическим их математических ожиданий сходится по вероятности к нулю, если сумма их дисперсий и всех корреляционных моментов растет медленнее, чем квадрат числа случайных величин.

Из теоремы Маркова вытекает как частный случай теорема, ранее доказанная Чебышевым: разность между средним арифметическим некоррелированных случайных величин и средним арифметическим их математических ожиданий сходится по вероятности к нулю, если их дисперсии не превосходят некоторой величины К. Действительно» если случайные величины не коррелированы и их дисперсии меньше К, то

и, следовательно, условие теоремы Маркова выполнено.

Если в частном случае математические ожидания всех случайных величин одинаковы и равны то (37.5) принимает вид:

Таким образом, среднее арифметическое случайных величин, имеющих одно и то же математическое ожидание, сходится по вероятности к этому математическому ожиданию, если сумма дисперсий и всех корреляционных моментов этих случайных величин растет медленнее, чем квадрат числа случайных величин.

Случайные величины могут быть значениями одной и той же случайной величины X в различных опытах. В этом случае предыдущая теорема утверждает, что среднее арифметическое значение случайной величины в ряде опытов сходится по вероятности к ее математическому ожиданию при неограниченном увеличении числа опытов. Эта теорема была доказана для некоррелированных случайных величин Чебышевым.

Кроме сходимости по вероятности имеет значение еще другой вид вероятностной сходимости, а именно, сходимость последовательности случайных величин в среднем квадратическом. Последовательность случайных величин называется сходящейся

в среднем квадратическом к случайной величине X, если математическое ожидание квадрата модуля разности стремится к нулю при

Случайная величина X называется пределом в среднем квадратическом последовательности случайных величин и это записывается формулой

Последовательность случайных величин, сходящаяся в среднем квадратическом, всегда сходится и по вероятности. Действительно, если последовательность случайных величин сходится в среднем квадратическом к случайной величине X, то моменты второго порядка разностей существуют, по крайней мере, начиная с некоторого значения , и на основании (37.1)

Отсюда видно, что сходимость последовательности моментов второго порядка разностей к нулю влечет сходимость последовательности случайных величин по вероятности к случайной величине Легко видеть, что обратное предложение не имеет места: последовательность случайных величин, сходящаяся по вероятности, может не сходиться в среднем квадратическом. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть последовательность случайных величин плотности вероятности которых выражаются формулой

Очевидно, что плотность вероятности стремится к при следовательно, последовательность случайных величин сходится по вероятности к нулю. В то же время моменты второго порядка случайных величин не существуют ни при каком (т. е. бесконечны), вследствие чего последовательность моментов второго порядка случайных величин не сходится к нулю при Следовательно, рассматриваемая последовательность случайных величин не сходится в среднем квадратическом.

В теории вероятностей иногда приходится рассматривать третий вид вероятностной сходимости. Говорят, что последовательность случайных величин сходится к случайной величине X почти наверное, если все возможные последовательности возможных значений случайных величин сходятся к соответствующему

возможному значению случайной величины X, за исключением, может быть, некоторых исключительных последовательностей возможных значений, имеющих нулевую суммарную вероятность появления. Если последовательность случайных величин почти наверное сходится к случайной величине X, то с вероятностью единица появляется одна из сходящихся последовательностей возможных значений величин Очевидно, что последовательность случайных величин, сходящаяся почти наверное, сходится и по вероятности. Однако сходимости последовательности случайных величин по вероятности недостаточно для того чтобы она сходилась почти наверное. Если последовательность случайных величин сходится к Случайной величине X по вероятности, то при любом и при любом достаточно большом вероятность неравенства как угодно мала. Для того чтобы последовательность величин сходилась к величине X почти наверное, необходимо, чтобы вероятность совместного выполнения всех неравенств соответствующих всем значениям превосходящим достаточно большое число была как угодно близка к единице.