§ 139. Определение оптимального нелинейного интегрального оператора

Метод канонических разложений дает возможность решить в самом общем случае уравнения (126.14) и (126.18), определяющие оптимальный нелинейный интегральный оператор по критерию минимума средней квадратической ошибки и по критерию экстремума данной функции математического ожидания и дисперсии ошибки (в случае скалярного сигнала Возможность применения метода канонических разложений для решения уравнений (126.14) и (126.18) определяется тем обстоятельством, что двумерную (и вообще -мерную) плотность вероятности случайной функции можно рассматривать как корреляционную функцию некоторой случайной функции Действительно,

так как от перестановки пар аргументов функция не перестает быть совместной плотностью вероятности случайных величин Далее,

так как правая часть этого неравенства бесконечна вследствие формулы (49.11). Кроме того, принимая во внимание (107.8), получаем

для любой функции

Следовательно, плотность вероятности рассматриваемая как функция двух пар переменных обладает всеми свойствами корреляционной функции. Поэтому уравнения (126.14) и (126.18) могут рассматриваться как интегральные уравнения вида (125.7), поскольку правые части этих уравнений представляют собой известные функции. Полагая

приведем уравнение (126.14) к виду:

Для решения уравнения (139.5) методом § 135 следует взять любую случайную функцию имеющую корреляционную функцию и представить эту случайную функцию каким-нибудь каноническим разложением в области Для этого, согласно изложенному в § 60, достаточно определить систему пар функций удовлетворяющую условиям

Для существования и сходимости в среднем канонического разложения корреляционной функции случайной функции области по доказанному в конце § 60

достаточно существования конечного интеграла

Это условие часто выполняется. Так, например, двумерная плотность вероятности любой нормально распределенной случайной функции скалярного аргумента, дисперсия которой ограничена снизу в области а нормированная корреляционная функция ограничена по модулю некоторой показательной функцией модуля разности аргументов, удовлетворяет условию (139.8). Для доказательства заметим, что для любой двумерной нормальной плотности вероятности (22.1) вследствие формул (23.57) и (22.10) имеет место равенство

На основании этой формулы для нормально распределенной действительной случайной функции имеем:

Если дисперсия случайной функции ограничена снизу положительным числом а:

а ее нормированная корреляционная функция ограничена по модулю некоторой показательной функцией:

то из (139.10) следует неравенство

Далее, без ограничения общности можно считать, что область представляет собой интервал Тогда формула (139.8) и неравенство (139.13) дадут:

Интеграл в правой части этого неравенства конечен, что и доказывает существование конечного интеграла в рассматриваемом случае.

Определив функции и удовлетворяющие условиям (139.6) и (139.7), мы можем найти решение уравнения (139.5) по формуле (134.10):

Эта формула дает формальное решение уравнения (139.5) в том случае, когда функция может быть представлена в области разложением

где

если при этом ряд (135.36) сходится. Если функция не может быть представлена разложением (139.16), то уравнение (139.5) не имеет решения.

Вычислим еще среднюю квадратическую ошибку, соответствующую оптимальному интегральному оператору. Для этого заметим, что равенство (120.2) удовлетворяется для оптимального оператора А при любом операторе в том числе и при Поэтому

и

Полагая в и соответственно получим:

или, вследствие (139.4),

Подставляя сюда выражения (139.15) и (139.16) и принимая во внимание (139.17) и (139.7), будем иметь:

Подставляя это выражение в (139.19), получим окончательно:

Совершенно аналогично, полагая

приведем уравнение (126.18) к виду (139.5). Поэтому формула (139.15) определяет также оптимальный нелинейный интегральный оператор по критерию экстремума данной функции математического ожидания и дисперсии ошибки. В этом случае определяемая формулой (139.15) функция зависит от неопределенного параметра После нахождения функции значение параметра соответствующее искомому оптимальному оператору, находится одним из двух способов, изложенных в § 121.

Для определения математического ожидания и момента второго порядка ошибки, соответствующих оптимальному оператору, заметим, что вследствие формул (107.7), (139.15) и (139.17)

Полагая для краткости

получим:

Следовательно, математическое ожидание ошибки равно:

Для определения момента второго порядка ошибки заметим, что вследствие уравнения (121.14), справедливого для

Кроме того, вследствие (139.24), (139.15), (139.16) и (139.17)

Далее, на основании (139.29)

Подставляя сюда выражения (139.27) и (139.30), получим:

Заметим, что все предыдущие выкладки справедливы и в том случае, когда интегралы в уравнении (139.5) кратные и представляет собой плотность вероятности случайной функции соответствующего числа измерений. Следовательно, на основании замечаний, сделанных в § 107, изложенный метод определения оптимального нелинейного интегрального оператора применим к интегральным операторам самого общего вида, как в случае скалярной, так и в случае векторной наблюдаемой случайной функции Этот метод применим также к случаю воспроизведения векторного сигнала по критерию минимума средней квадратической ошибки. В этом случае изложенный метод, в соответствии с замечанием, сделанным в § 119, дает наилучшую оценку каждой составляющей векторного сигнала по отдельности.

В заключение параграфа заметим, что вследствие формул (139.17) и (139.24) величины в случае определения оптимального интегрального оператора по критерию экстремума данной функции математического ожидания и дисперсии ошибки являются линейными функциями 0. Из формул (139.28) и (139.32) следует, что в этом случае величина является линейной функцией 0, а величина представляет собой квадратный трехчлен относительно 0. Следовательно, исключив из уравнений (139.28) и (139.32), мы придем к заключению, что область плоскости соответствующая ьлассу всех интегральных операторов данной кратности, ограничена снизу параболой, обращенной выпуклостью вниз. Само собой разумеется, что эта область полностью содержит область плоскости соответствующую классу линейных интегральных операторов. Следовательно, найденная в конце § 125 парабола, ограничивающая область, соответствующую классу линейных интегральных операторов, целиком лежит выше параболы, ограничивающей область, соответствующую классу всех интегральных операторов.