§ 18. Моменты многомерного случайного вектора. Корреляционная матрица случайного вектора

Совершенно так же, как в предыдущем параграфе было определено математическое ожидание функции двух случайных величин, можно определить математическое ожидание произвольной функции случайных величин

Очевидно, что формулу (10.3) можно рассматривать как сокращенную запись формулы (18.1), так как под в (10.3) можно понимать -мерные векторы с составляющими соответственно, а интеграл рассматривать как -кратный интеграл по переменным

Полагая в , получим момент -мерного случайного вектора порядка

Центральный момент -мерного случайного вектора порядка определяется формулой

где через для краткости обозначено отклонение случайной величины от ее математического ожидания

В дальнейшем мы везде будем отмечать нуликом вверху отклонения случайных величин от их математических ожиданий, т. е. центрированные случайные величины.

Полагая в формуле (18.2) по очереди один из индексов равным единице, а остальные равными нулю, получим математические ожидания случайных величин, Математические ожидания

составляющих случайного вектора X определяют -мерный вектор который естественно назвать математическим ожиданием случайного вектора Полагая в (18.3) по очереди один из индексов равным 2, а остальные равными нулю, получим дисперсии случайных величин Наконец, полагая в (18.3) два из индексов равными единице, а остальные равными нулю, получим корреляционные моменты случайных величин

При одинаковых индексах эта формула дает дисперсии случайных величин

Очевидно, что корреляционный момент двух случайных величин не зависит от того, в каком порядке берутся эти случайные величины, т. е.

Совокупность дисперсий и корреляционных моментов составляющих случайного вектора образует корреляционную матрицу этого случайного вектора:

Формула (18.7) показывает, что корреляционная матрица случайного вектора симметрична, так как ее элементы, симметрично расположенные относительно главной диагонали, равны друг другу.

Если ограничиться численной характеристикой случайного вектора его моментами не выше второго порядка, то можно будет охарактеризовать случайный вектор X его математическим ожиданием и корреляционной матрицей. Во многих случаях практики такая характеристика случайного вектора оказывается исчерпывающей. Например, как мы увидим в § 23, математическое ожидание и корреляционная матрица нормально распределенного случайного вектора вполне определяют его плотность вероятности.

В рассмотренной в предыдущем параграфе механической интерпретации распределения вероятностей на плоскости и в трехмерном пространстве корреляционной матрице случайного вектора соответствует тензор инерции тела. Совершенно так же, как в механике тензору инерции соответствует геометрический образ — эллипс или эллипсоид инерции тела, при помощи корреляционной матрицы случайного вектора можно определить его эллипс или эллипсоид распределения. Мы не будем здесь на этом останавливаться (см., например, [49]).

Вместо корреляционной матрицы случайного вектора можно рассматривать его нормированную корреляционную матрицу, т. е. матрицу, составленную из коэффициентов корреляции составляющих случайного вектора X:

где коэффициент корреляции случайных величин

Однако при этом для характеристики случайного вектора придется задать еще дисперсии его составляющих.

Если при определении моментов случайного вектора подставить в соответствующие формулы условную плотность вероятности этого случайного вектора относительно другого случайного вектора, то получим условные моменты рассматриваемого случайного вектора.

Сравнивая формулы (18.1) и (15.13), видим, что вероятность попадания конца случайного вектора X в данную область В равна математическому ожиданию характеристической функции области В. Таким образом, формула (10.16) справедлива и для случайных векторов.

На основании данного в § 14 определения вероятностной меры формулу (18.1) для математического ожидания функции случайного вектора можно представить в виде:

где интегрирование распространяется на все -мерное пространство

Формула (18.11) легко обобщается на произвольные случайные объекты. Пусть X — какой-нибудь случайный объект, — множество всех его возможных значений. Предположим, что на множестве задана вероятностная мера (т. е. для каждого подмножества А множества 9 определена вероятность того, что случайный объект X примет какое-нибудь значение из А). Если некоторая величина определяется значением, которое принимает в результате опыта объект X, то эта величина является функцией случайного объекта Математическое ожидание этой функции объекта X определяется формулой

где интегрирование распространяется на все множество