§ 126. Уравнение, определяющее оптимальный нелинейный интегральный оператор

Задачу определения оптимального оператора в классе операторов, приводимых к линейным, можно ставить тремя различными способами.

Во-первых, можно искать оптимальные линейные операторы в формуле (106.26) при заданных функциях . В такой постановке эта задача не отличается от задачи определения оптимального линейного оператора в случае векторной наблюдаемой функции,

рассмотренной в предыдущих параграфах. Для приведения задачи к этому виду достаточно считать наблюдаемой функцией не а векторную случайную функцию составляющие которой определяются формулами

Определив по формулам § 106 математическое ожидание и корреляционную функцию векторной случайной функции и ее взаимную корреляционную функцию с подлежащим воспроизведению сигналом мы получим для определения оптимальных линейных операторов уравнения типа (125.13).

Во-вторых, можно искать оптимальные функции при заданных линейных операторах Мы рассмотрим эту задачу для частного случая, когда операторы представляют собой линейные интегральные операторы.

В третьих, можно поставить задачу одновременного определения оптимальных линейных операторов и функций при данных числах Эту задачу мы также рассмотрим для случая, когда оптимальные линейные операторы ищутся в классе линейных интегральных операторов.

Если линейные интегральные операторы вида:

то

и, полагая

мы приведем оператор А к виду интегрального оператора (107.2). Определив оптимальную функцию этого интегрального оператора, мы можем бесчисленном множеством способов представить ее в виде (126.4) при заданных весовых функциях Если весовые функции не заданы и их требуется определить оптимальным

образом совместно с функциями то это и подавно можно сделать бесчисленным множеством способов после нахождения оптимальной функция Таким образом, задача определения оптимального оператора, приводимого к линейному, во второй и третьей постановке сводится к задаче определения оптимального интегрального оператора вида (107.2), если ограничиться случаем, когда операторы представляют собой линейные интегральные операторы.

Заметим еще, что и задача определения оптимального нелинейного оператора вида (107.13) сводится к задаче определения оптимального интегрального оператора вида (107.2). Для этого достаточно положить:

где произвольные функции, удовлетворяющие условию

Таким образом, для решения всех перечисленных задач достаточно уметь находить оптимальный интегральный оператор вида (107.2). А так как интегральный оператор (107.2) можно сокращенно записать в виде (107.1), то достаточно научиться находить оптимальный интегральный оператор, вида (107.1).

Предположим, что сигнал определяется формулой

где данная функция, действительная случайная функция. Наблюдаемую случайную функцию также будем считать действительной Задача определения оптимального оператора вида (107.1) сводится, очевидно, к определению оптимальной характеристической функции этого оператора.

Для вывода уравнения, определяющего оптимальную функцию по критерию минимума средней квадратической ошибки, напишем общее необходимое и достаточное условие (120.2) в виде:

Выразим оператор А формулой (107.1):

Произвольный интегральный оператор В выразится аналогичной формулой:

где произвольная функция. На основании формул (126.9) и (126.10) совершенно так же, как в § 107, находим:

где совместная плотность вероятности величин (двумерная плотность вероятности случайной функции в случае, когда она скалярная). Аналогично на основании (126.7) и (126.10) имеем:

где совместная плотность вероятности величин Подставляя выражения (126.11) и (126.12) в уравнение (126.8), приведем его к виду:

Это уравнение должно удовлетворяться при произвольной функции что возможно только в том случае, если при любом и при любом х выражение в фигурных скобках равно нулю, т. е.

функция удовлетворяет уравнению

Уравнение (126.14) является необходимым условием оптимальности оператора (126.9). Однако оно недостаточно. Необходимо еще, чтобы функция удовлетворяла в замкнутой области уравнениям, которые получаются из (126.14) применением всех дифференциальных операций по соответствующих допустимым импульсным -функциям в выражении оптимальной функции Это условие и уравнение (126.14) необходимы и достаточны для того, чтобы соответствующий функции оператор (126.9) был оптимальным. Уравнение (126.14) было впервые выведено Заде [112, 113] (см. также [52, 54]).

В частном случае, когда подлежащим воспроизведению сигналом является сама случайная функция К:

функция в формуле (126.7) определяется формулой

Подставляя это выражение в (126.14), получаем уравнение для определения оптимальной функции в этом случае:

На основании замечания в § 107 уравнение (126.14) определяет также оптимальный интегральный оператор вида (107.2) при соответствующем понимании переменных и интегралов. На основании другого замечания в § 107 случайные функции можно понимать как векторные случайные функции. Поэтому сделанное предположение, что случайные функции действительны, не ограничивает общности, так как комплексную функцию всегда можно рассматривать как действительную двумерную векторную функцию.

Мы видели в § 121, что условие экстремума данной функции математического ожидания и дисперсии ошибки (в случае скалярного действительного сигнала получается из условия минимума средней квадратической ошибки (120.2) для случая действительных функций и действительных операторов Ли В прибавлением неопределенного параметра к сигналу Это слагаемое даст соответствующий дополнительный член в уравнениях (126.8), (126.13) и (126.14), который также легко вычисляется по формулам § 107. В результате получим уравнение, определяющее характеристическую функцию оптимального интегрального оператора (126.9) по критерию экстремума данной функции математического ожидания и дисперсии ошибки:

где плотность вероятности величины (одномерная плотность вероятности случайной функции в случае, когда она скалярная). Определяемая уравнением (126.18) оптимальная функция зависит от неопределенного параметра Этот параметр может быть найден после решения уравнения (126.18) одним из методов, изложенных в § 121.