§ 28. Характеристическая функция случайного вектора

Характеристической функцией -мерного случайного вектора называется функция переменных определяемая формулой

На основании определения (18.1) математического ожидания

произвольной функции случайных величин формула (28.1) принимает вид:

Пользуясь данным в § 23 определением скалярного произведения двух -мерных векторов, можно записать формулы (28.1) и (28.2) в следующей сокращенной форме:

где интеграл следует понимать как -кратный интеграл по переменным а через X обозначен -мерный вектор с составляющими

Характеристическая функция случайного вектора при всех действительных значениях переменных непрерывна и не превосходит по модулю единицу. Если изменить знаки всех переменных (т. е. изменить знак вектора X), то значение характеристической функции заменится комплексным сопряженным. Таким образом, формула (25.3) справедлива и для характеристической функции случайного вектора.

Если случайный вектор представляет собой сумму случайного вектора X и неслучайного вектора

то характеристическая функция случайного вектора выражается через характеристическую функцию случайного вектора X формулой

или в развернутом виде

Если случайный вектор получается при помощи линейного преобразования случайного вектора X с матрицей А:

то характеристическая функция случайного вектора выражается через характеристическую функцию случайного вектора X формулой

где А — матрица, транспонированная по отношению к матрице А (см. Дополнение, I). Действительно,

где элементы матрицы А. Вводя обозначение

представим формулу (28.9) в виде:

где — вектор с составляющими Равенство (28.11) и определение (28.3) характеристической функции случайного вектора показывают, что характеристические функции случайных векторов связаны друг с другом формулой

Но формула (28.10) определяет вектор как результат линейного преобразования вектора X с матрицей, отличающейся от матрицы А перестановкой строк и столбцов, т. е. транспонированной по отношению к А. Это преобразование можно записать в виде:

Формулы (28.12) и (28.13) равноценны формуле (28.8), которая таким образом доказана.

Зная характеристическую функцию -мерного случайного вектора можно легко определить характеристические функции всех случайных векторов, которые можно образовать, выбирая всеми возможными способами часть составляющих случайного вектора Например, для определения характеристической функции -мерного случайного вектора с составляющими достаточно положить в формулах (28.1) и (28.2)

Совершенно так же, как была выведена формула (26.1), выражающая плотность вероятности скалярной случайной величины через ее характеристическую функцию, выводится формула

при помощи которой плотность вероятности случайного вектора выражается через его характеристическую функцию. Формула (28.14) может быть также записана в сокращенной форме:

где интеграл следует понимать как -кратный интеграл по переменным Так же как в формуле (26.1), интеграл в бесконечных пределах следует понимать как предел интеграла по симметричной относительно начала координат прямоугольной области. Интегрируя формулу (28.15) по одному разу по каждой переменной, получим соответствующее выражение функции распределения случайного вектора через его характеристическую функцию, аналогичное (26.13). Точно так же легко выводится для случайного вектора формула, аналогичная (26.16).

Найдем характеристическую функцию n-мерного случайного вектора, подчиненного нормальному закону распределения. Для этого подставим в формулу (28.2) выражение (23.1) нормальной плотности вероятности. Тогда получим:

Для вычисления полученного интеграла воспользуемся формулой (23.57), полагая в ней Тогда получим:

Применяя, как в § 23, сокращенную форму записи, можно переписать формулу (28.17) в виде: