§ 125. Уравнения, определяющие весовые функции оптимальных линейных систем

Из общих уравнений предыдущего параграфа, определяющих оптимальный линейный оператор, вытекают в качестве частных случаев уравнения, определяющие оптимальные линейные операторы различных частных видов.

Если случайные функции скалярные и область наблюдения представляет собой непрерывное множество значений аргумента то

и задача определения оптимального оператора сводится к нахождению соответствующей весовой функции Уравнение (124.4) в этом случае представляет собой линейное интегральное уравнение первого рода:

Решая это уравнение для и обозначая соответствующие решения через получим на основании (124.1) для весовой функции оптимального линейного оператора формулу

где функции определяются системой линейных алгебраических уравнений (124.10) или (124.14). Формула (124.6) для коэффициентов уравнений (124.10) и (124.14) в данном случае принимает вид:

Если уравнение (125.2) не имеет решения для то весовая функция оптимального линейного оператора определяется на основании (124.16) формулой

где независимые решения уравнения (125.2) при удовлетворяющие условиям (124.21), которые в данном случае принимают вид:

определяются системой линейных алгебраических уравнений (124.22) или (124.24), а определяются соответственно по формуле (124.23) или (124.25).

Перечисленные уравнения и формулы определяют оптимальный линейный интегральный оператор в общем случае, когда аргументы и 5 являются произвольными скалярными или векторными переменными, а область изменения аргумента в которой наблюдается случайная функция представляет собой произвольную область пространства соответствующего числа измерений. Поэтому все перечисленные уравнения и формулы применимы не только для определения оптимальных линейных автоматических систем, предназначенных для решения задач воспроизведения сигналов в присутствии помех, но и для решения задач приближения случайных функций векторных аргументов. В задачах автоматики, как было отмечено в § 118, переменная обычно представляет собой текущий момент времени, когда система должна давать решение задачи, а наблюдение случайной функции ведется в течение некоторого интервала времени непосредственно предшествующего моменту времени

В этом случае интегральное уравнение (125.2) принимает вид:

Неравенство в скобках показывает, что уравнение (125.7) должно удовлетворяться для всех значений принадлежащих интервалу наблюдения. Формула (125.4), определяющая коэффициенты принимает в данном случае вид:

Уравнение (125.7) определяет весовую функцию оптимальной линейной системы с конечной памятью, длительность которой может быть постоянной или заданной функцией 5. В частности, при уравнение (125.7) определяет весовую функцию для случая, когда интервалом наблюдения является полное время работы системы от начального момента до текущего момента При уравнение (125.7) определяет весовую функцию для случая бесконечного интервала наблюдения

В качестве второго частного случая задачи определения оптимального линейного оператора рассмотрим случай, когда случайные функции скалярные, а областью изменения аргумента в которой производится наблюдение случайной функции является дискретное множество значений В этом случае оператор А

представляет собой линейную комбинацию значений наблюдаемой функции

И уравнение (124.4), которое должно быть удовлетворено при значениях представляет собой систему линейных алгебраических уравнений

Число значений аргумента для которых производится наблюдение случайной функции может быть конечным или бесконечным. В последнем случае система алгебраических уравнений (125.10) является бесконечной. Решив систему уравнений (125.10) для и обозначив соответствующие решения через определим коэффициенты оптимального линейного оператора по формуле (124.1), которая в данном случае дает:

Величины определяются системой линейных алгебраических уравнений (124.10) или (124.14). Формула (124.6), определяющая коэффициенты уравнений (124.10) или (124.14), принимает в данном случае вид:

Системы уравнений (125.10), соответствующие система уравнений (124.10) или (124.14) и формула (125.11) определяют оптимальную импульсную линейную систему в случае, если аргументы представляют собой различные моменты времени, а моменты наблюдения предшествуют моменту времени В общем случае перечисленные уравнения, как и соответствующие уравнения, определяющие оптимальный линейный интегральный оператор, могут служить не только для определения оптимальных автоматических систем, предназначенных для воспроизведения сигналов в присутствии помех, но и для решения других задач, например задач интерполяции и экстраполяции случайных функций нескольких переменных.

Частный случай задачи определения оптимальной линейной комбинации значений случайной функции по критерию минимума средней квадратической ошибки, когда случайная функция стационарна,

а случайная функция представляет собой значение случайной функции при не совпадающем ни с одним из значений рассматривался в работах Колмогорова [30, 31], послуживших началом разработки теории квадратического приближения случайных функций.

Если наблюдаемая случайная функция является -мерным вектором, а сигнал представляет собой -мерный вектор, то линейный оператор А определяется формулой (89.1), где скалярные линейные операторы. В этом случае аргумент согласно принятому нами общему правилу следует везде заменить совокупностью аргумента и номера составляющей соответствующей векторной функции. Аргументы также следует заменить совокупностями аргументов и номеров составляющих соответствующих векторных функций. В результате уравнение (124.4) даст систем уравнений, определяющих скалярные операторы

Обозначим решение этих систем уравнений при через Так как векторные функции не зависят от номера составляющей сигнала то правые части уравнений (125.13) при не зависят от Поэтому линейные операторы, удовлетворяющие уравнениям (125.13) при не зависят от и мы обозначим их через Тогда формула (124.1) для оптимального оператора примет вид:

Функции определяются для каждого значения системой линейных алгебраических уравнений (124.10) или (124.14), в которых аргумент 5 должен быть заменен совокупностью аргумента и индекса Формула (124.6), определяющая коэффициенты в данном случае дает:

При этом коэффициенты представляют собой -мерные векторы, что и отражено соответствующим обозначением в (125.15).

В случае, когда система уравнений (125.13) не имеет решения для оптимальный оператор определяется

мулой (124.16), которая дает в этом случае:

где независимых решений системы уравнений (125.13) при удовлетворяющих условиям (124.21), которые в данном случае принимают вид:

определяются системой уравнений (124.22) или (124.24), а определяются соответственно формулой (124.23) или (124.25).

В частном случае, когда область изменения аргумента в которой наблюдается случайная функция непрерывна, операторы являются линейными интегральными операторами и формула (89.1) принимает вид:

Системы уравнений (125.13) в данном случае представляют собой системы линейных интегральных уравнений первого рода:

Обозначая решения этих систем уравнений при соответственно через определим весовые функции оптимального линейного оператора на основании (125.14) формулой

Величины для каждого значения определяются соответствующей системой уравнений (124.10) или (124.14), а формулы (125.15) для коэффициентов принимают вид:

В случае, когда система уравнений (125.19) не имеет решения для формула (125.16) дает для весовых функций оптимального линейного оператора выражения:

где независимые решения системы уравнений (125.19) при удовлетворяющие условиям (125.17), которые принимают в данном случае вид:

Все перечисленные уравнения и формулы определяют оптимальные линейные операторы не только для задач автоматики, но и для различных других задач, перечисленных в § 118. В частном случае, когда аргументы и 5 представляют собой различные моменты времени, а областью наблюдения является интервал перечисленные уравнения и формулы определяют весовые функции оптимальных многомерных линейных систем, предназначенных для воспроизведения сигналов в присутствии помех.

Пример 1. Составить уравнения, определяющие оптимальную линейную следящую систему локатора (пример 2 § 118) для одной угловой координаты самолета, предполагая, что эту координату с достаточной степенью точности можно считать полиномом второй степени относительно времени

За критерий качества системы принять среднюю квадратическую ошибку. Подставляя выражение (125.24) в формулы (118.8) и (118.9) и полагая

получим для наблюдаемой функции и сигнала выражения:

Начальное значение координаты самолета и скорость ее изменения обычно могут изменяться в широких пределах, в то время как ускорение ограничено сравнительно узкими пределами. Поэтому случайные величины можно считать неизвестными величинами, которые могут иметь практически любые значения в зависимости от типа сопровождаемого самолета и его траектории, в то время как величину следует считать случайной с конечным моментом второго порядка Тогда, в соответствии с изложенным в § 122, будем иметь

Сравнивая формулы (125.26) с (122.9) и (122.10), видим, что в данном случае и

Обозначим весовую функцию оптимальной замкнутой системы, обведенной пунктирным прямоугольником на рис. 73, через Эта весовая функция определяется формулой (125.3), которая в данном случае дает:

где весовые функции и определяются интегральными уравнениями

Уравнения (124.10), определяющие функции принимают в данном случае вид:

где коэффициенты определяются формулой (125.8), которая вследствие (125.27) и (124.11) дает:

Для решения уравнений (125.29) и (125.30) необходимо знать функции Их можно определить, применяя теорию точности линеиных систем, по данным корреляционным функциям помех Эти помехи безусловно можно считать независимыми. Следовательно, для решения

задачи достаточно знать их корреляционные функции. Формулы (125.25) определяют линейное преобразование векторной случайной функции дающее в результате векторную случайную функцию Обозначая через известную весовую функцию исполнительного устройства, можем переписать формулы (125.25) в виде:

Применяя формулу (90.7), находим корреляционные функции

Для вычисления минимальной средней квадратической ошибки, соответствующей оптимальной следящей системе, можно воспользоваться формулой (124.32), которая дает:

где определяется формулой (125.8), которая на основании (124.7) дает:

Дисперсия определяется второй формулой (125.34) при

В случае системы, которая должна определять производную координаты самолета, величины в правых частях уравнений (125.31) и коэффициенты при в формуле (125.35) заменятся соответственно величинами . В случае системы, экстраполирующей координату самолета, величины заменяются величинами где промежуток времени, на который система должна экстраполировать координату самолета.

Пример 2. Решить ту же задачу для случая связанных следящих систем локатора по двум угловым координатам.

В этом случае и помехи представляют собой независимые двумерные случайные векторы, причем составляющие вектора можно считать полиномами второй степени относительно времени:

Гак же как и в предыдущем примере, величины считаем неслучайными, которые могут иметь любые значения, что равноценно допущению, что Коэффициенты представляют собой элементы матрицы второго порядка, обратной по отношению к матрице моментов второго порядка величин

Подставляя выражения (125.37) в формулы (118.8) и (118.9) для случая двумерной векторной функции получим следующие выражения для составляющих наблюдаемой функции и сигнала

векторные случайные функции определяются формулами (125.25). Сравнивая (125.38) с общими формулами (122.9) и (122.10), находим составляющие векторных функций

Весовые функции оптимальной двумерной следящей системы определяются формулой (125.20), которая в данном случае принимает вид:

Системы интегральных уравнений типа (125.19), определяющие весовые функции и имеют в данном случае вид:

(см. скан)

Системы уравнений, определяющие весовые функции получаются соответственно из (125.43) и (125.44) заменой единицы в правых частях величиной х. Системы уравнений, определяющие весовые функции и получаются соответственно из (125.43) и (125.44) заменой единицы величиной

Система уравнений (124.10), определяющая величины имеет в данном случае вид:

Система уравнений, определяющая величины получается из (125.45) переносом величин из первых трех уравнений соответственно в четвертое, пятое и шестое и заменой величин величинами Формулы (125.21), определяющие коэффициенты в данном случае дают:

(см. скан)

Необходимые для определения весовых функций корреляционные функции и можно найти, применяя изложенные в § 90 методы

исследования точности линейных систем, если известны корреляционные функции помех и которые, как и в предыдущем примере, можно считать независимыми. Обозначая известные весовые функции исполнительного устройства через можем переписать формулы (125.25), определяющие векторные случайные функции в виде:

Применяя формулу (90.7) и считая помехи независимыми, найдем:

Формула (124.32) дает для минимальных средних квадратических ошибок угловых координат самолета следующие выражения:

где определяются первой формулой (125.48) при а величины и -второй формулой (125.21), которая вследствие (124.7) дает: