§ 93. Исследование точности одномерных стационарных линейных систем с одним нестационарным случайным возмущением

Формулы предыдущего параграфа легко могут быть обобщены на случай, когда действующее на одномерную стационарную линейную систему случайное возмущение представляет собой нестационарную случайную функцию времени, которая может быть выражена через составляющие некоторой стационарной векторной случайной функции формулой типа (80.10). Предполагая, что функции в формуле (80.10) могут быть приближены с достаточной точностью линейными комбинациями показательных функций с постоянными коэффициентами, получим для случайного возмущения интегральное каноническое представление типа (80.14):

где некоррелированные белые шумы, а координатные функции, которые на

основании (80.15) определяются формулой

Следовательно, выходная переменная рассматриваемой системы также определится интегральным каноническим представлением типа (93.1), координатные функции которого выразятся формулой

На основании общих формул (88.15) и (88.16) корреляционная функция и дисперсия выходной переменной рассматриваемой системы определяются формулами

Формулы (93.4) и (93.5) были впервые получены Н. И. Андреевым [1] и В. К. Крапивиным [34]. Эти формулы, так же как и формулы предыдущего параграфа, применимы только к асимптотически устойчивым системам для моментов времени, достаточно удаленных от начального для того, чтобы можно было считать все переходные процессы законченными, так как формула (93.3) выражает реакцию рассматриваемой системы на координатные функции (93.2) только в установившемся режиме после окончания переходных процессов. Для определения значений передаточной функции стационарной линейной системы на прямых параллельных мнимой оси плоскости параметра X, можно, как показал В. К. Крапивин, применить обычный графический метод определения логарифмических частотных характеристик.

Пример. Найти дисперсию выходной переменной стационарного колебательного звена, поведение которого описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

если входное возмущение X является нестационарной случайной функцией Времени, корреляционная функция которой определяется формулой

Случайная функция X может быть выражена формулой

где стационарная случайная функция, корреляционная функция которой равна:

На основании формулы (77.51) корреляционной функции (93.9) случайной функции соответствует спектральная плотность

Предполагая, что среднее квадратическое отклонение случайной функции X может быть с достаточной точностью аппроксимировано показательной функцией

получим для случайной функции X интегральное каноническое представление типа при с координатными функциями

Так как в данном случае и

то формулы (93.4) и (93.5) дают:

Мы заменили второй формуле интеграл в пределах — удвоенным интегралом в пределах так как подынтегральная функция является четной функцией частоты Легко видеть, что формула (93.15) не может быть получена из формулы (92.18) простой заменой постоянной дисперсии стационарной случайной функции переменной дисперсией нестационарной случайной функции. Таким образом, формулу (92.18) нельзя применять в случае нестационарного случайного возмущения, «заморозив» его дисперсию, без соответствующей оценки погрешности.