§ 132. Случай, когда входное возмущение представляет собой стационарную случайную функцию с дробно-рациональной спектральной плотностью

Во всех случаях, когда дифференциальные уравнения (130.15), (131.4), (130.10) и (130.11) интегрируются в известных функциях, изложенный в предыдущих двух параграфах метод дает аналитическое решение интегрального уравнения (125.7). В частности, все перечисленные уравнения интегрируются в известных функциях, когда их коэффициенты постоянны. Так, например, если случайная функция X стационарна и ее спектральная плотность представляет собой дробно-рациональную функцию, то, как было показано в § 97, она при всех выражается через белый шум при помощи линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В этом случае все дифференциальные уравнения предыдущих двух параграфов являются уравнениями с постоянными коэффициентами и их интегрирование не представляет никаких затруднений. Этот случай мы сейчас и рассмотрим подробнее.

Для дальнейшего нам удобно будет записывать линейные дифференциальные операторы, указывая в явной форме оператор дифференцирования в качестве аргумента. В соответствии с этим

напишем дифференциальное уравнение (130.1), связывающее случайную функцию X с белым шумом V, в виде:

где полиномы с постоянными коэффициентами определяемые формулами (130.2). На основании изложенного в § 97 все корни полиномов имеют отрицательные действительные части. Кроме того, всегда можно считать, что полиномы не имеют общих корней, т. е. что числитель и знаменатель в выражении спектральной плотности случайной функции X не имеют общих множителей. Мы ограничимся здесь случаем, когда полиномы не имеют кратных корней, предоставляя читателю рассмотреть случай кратных корней самостоятельно.

На основании формулы (87.13) дифференциальисе уравнение (130.15) имеет в данном случае вид:

Обозначим через корни полинома Тогда линейно независимых частных интегралов уравнения (132.2) можно взять в форме

Подставляя это выражение в (130.20), найдем функции :

Функции в интервале определяются дифференциальным уравнением (130.10), в котором функция 5 должна быть заменена соответствующей функцией

Согласно изложенному в § 130 нам нужен такой интеграл уравнения (132.5), который тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда функция тождественно равна нулю (т. е. «вынужденное» движение системы, описываемой уравнением (132.5), без наложенных на него переходных процессов). Такой интеграл уравнения (132.5) определяется формулой

Здесь ни один из множителей не равен нулю, так как полиномы и по условию не имеют общих корней и а все корни полиномов имеют отрицательные действительные части.

Для определения функций в интервале выразим весовую функцию формулой (87.20). Согласно этой формуле

где корни полинома Подставляя выраже ние (132.7) в (130.4), получим при

Подставляя выражения (132.6) и (132.8) в (130.23), найдем выражение функций при :

Подставляя выражения (132.7) и (132.9) в (130.26), определим функции в интервале

Переходим к уравнениям (130.29) и (130.30), определяющим неизвестные постоянные Подставляя в (130.29) выражения (132.3) и (132.10) функций и вводя новые неизвестные постоянные

приведем уравнения (130.29) к виду:

Уравнения (130.30) на основании (132.6) и (132.11) примут вид:

Подставляя выражение (130.28) в формулу (130.31) и пользуясь формулами (132.10) и (132.11), получим решение интегрального уравнения (125.7) в форме:

Формулы (130.32), определяющие коэффициенты при -функциях, вследствие того, что коэффициенты постоянны, принимают вид:

Формулы (130.33) для разрывов производных функции на основании (132.3), (132.10) и (132.11) принимают вид:

Таким образом, для нахождения решения интегрального уравнения (125.7) в рассматриваемом случае достаточно найти функцию по формулам (130.24) и (130.27), решить систему линейных алгебраических уравнений (132.12) и (132.13) относительно и вычислить коэффициенты по формулам (132.15) и (132.16). После этого решение уравнения (125.7) определится по формуле (132.14).

До сих пор мы оставили в стороне вопрос о вычислении интегралов, определяющих функции . В данном случае эти интегралы выражаются в известных функциях для многих видов функции . В частности, интегрирование в формулах (130.24) и (130.27) легко выполняется, если представляет собой полином, или показательную функцию, или сумму произведений полиноуоз на показательные функции. Для облегчения интегрирования в формуле (130.24) ее удобно несколько преобразовать. Для этого подставим в формулу (130.24) выражение (130.4) функции Тогда получим:

Применяя формулу (84.27) и имея в виду, что весовая функция тождественно равна нулю при получим:

Эта формула во многих случаях оказывается значительно более удобной для вычисления чем (130.24). Применяя формулу (132.18), мы выражаем обе функции через одну и ту же весовую функцию и необходимость определения весовой функции отпадает. В частном случае, когда коэффициенты линейного дифференциального оператора постоянны, формула (132.18) принимает вид:

В рассматриваемом случае, подставляя в формулу (132.19) выражение (132.7) весовой функции получаем для вычисления формулу

Определив по этой формуле и подставив полученное выражение и выражение (132.7) весовой функции в формулу (130.27), найдем таким же образом

Формула (132.14) показывает, что решение интегрального уравнения (125.7) в данном случае представляет собой сумму линейной комбинации показательных функций, соответствующих всем корням полинома и их обратных величин, линейной комбинации соответствующих -функций и некоторой функции определяемой заданием функции При этом во многих случаях аналитическая форма функции бывает известна, так как она представляет собой частный интеграл уравнения (131.36), которое в данном случае является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. В частности, если функция представляет собой полином, или показательную функцию, или сумму произведений полиномов на показательные функции, то имеет такую же аналитическую форму. Вследствие этого интегральное уравнение (125.7) можно в рассматриваемом случае решать непосредственно подстановкой в него выражения

с неопределенными коэффициентами и коэффициентами при известных функциях в выражении и приравниванием друг другу коэффициентов при одинаковых функциях переменной х в правой и левой частях полученного таким образом равенства. Это даст всегда столько линейных алгебраических уравнений, сколько имеется неопределенных коэффициентов в выражении (132.21). Пользуясь этим методом, удобно сразу искать в виде (132.21) весовую функцию оптимальной линейной системы, не прибегая к

предварительному решению уравнения (125.7) для различных видов функции входящих в общее уравнение (122.26). Иными словами, этим методом целесообразно решать уравнение (125.7), приняв в качестве функции всю правую часть уравнения (122.26) с неопределенными коэффициентами В результате подстановки этого выражения и выражения (132.21) искомой весовой функции оптимальной системы в уравнение (125.7) и выполнения интегрирования получим в левой части уравнения (125.7) линейную комбинацию функций и функций, входящих в Приравняв нулю коэффициенты при функциях получим уравнений. Приравняв друг другу коэффициенты в левой и правой частях равенства при одинаковых функциях, входящих в получим еще столько уравнений, сколько имеется неопределенных коэффициентов в выражении функции

Подстановка выражения (132.21) в уравнения (122.27) или (122.40) даст еще уравнений. Таким образом, мы всегда получим столько линейных алгебраических уравнений, сколько имеется неизвестных коэффициентов, включая величины Заметим, однако, что решение уравнения (125.7) методом неопределенных коэффициентов оказывается сравнительно простым только в простейших случаях, когда тип малы. В сложных случаях, при больших тип, метод неопределенных коэффициентов оказывается значительно более громоздким и трудоемким, чем определение функций по формулам (132.14), (132.15) и (132.16) с предварительным решением системы уравнений (132.12) и (132.13) и последующее вычисление величин по формулам (125.8) и нахождение величин путем решения системы уравнений (124.10) или (124.14).

При решении уравнения (125.7) методом неопределенных коэффициентов совершенно не обязательно для нахождения определять полином Действительно, формула

справедливая при действительных показывает, что при любых комплексных имеют место равенства

Первое из этих равенств показывает, что величины — являются корнями уравнения

Таким образом, заменив в выражении числителя спектральной плотности случайной функции X величину величиной и определив корни полученного поличома, мы и найдем все величины

Из формул (132.20) и (130.27) нетрудно вывести заключение, что если функция зависит только от разности и не зависит от по отдельности, то функции и также будут зависеть только от разности Но в таком случае величины определяемые уравнениями (132.12) и (132.13), не будут зависеть от 5 и весовая функция, определяемая формулой (132.14), будет зависеть только от разности своих аргументов, т. е. будет весовой функцией стационарной линейной системы. Таким образом, если все функции срдг зависят только от разности то оптимальная система в классе всех линейных систем представляет собой стационарную линейную систему. Полагая в этом случае

и производя замену переменных приведем ураьнение (125.7) к виду:

Аналитическая форма (132.21) решения уравнения (132.26) для рассматриваемого случая была впервые найдена Заде и Рагаццини [111]. Ими же был рекомендован метод неопределенных коэффициентов для практического нахождения решения уравнения

Случай, когда X является стационарной случайной функцией с дробно-рациональной спектральной плотностью, представляет собой далеко не единственный случай, когда метод, изложенный в предыдущих двух параграфах, дает аналитическое решение уравнения (125.7). Так, например, легко видеть, что решение уравнения (125.7) имеет ту же аналитическую форму (132.21) и в том случае, когда X— нестационарная случайная функция, представляющая собой результат прохождения белого шума через линейную систему, описываемую линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами (132.1), включаемую в момент и находящуюся в покое до этого момента. В этом случае из (131.5), (131.6) и (131.19) легко находятся начальные условия, при которых следует интегрировать уравнение (132.5). В результате интегрирования в формуле (132.6) добавится линейная комбинация функций с известными коэффициентами и соответственно изменятся коэффициенты при и в выражениях (132.9) и (132.10) функций при Соответственные изменения произойдут, конечно, и в коэффициентах уравнений (132.12) и (132.13), а также в коэффициентах формул (132.14) и (132.16). В остальном все предыдущие выкладки останутся без изменений.

Другим случаем, когда уравнение (125.7) легко решается аналитически, является случай, когда коэффициенты постоянны, а коэффициенты в уравнении (130.1) являются произведениями постоянных величин на одну и ту же показательную функцию. Выкладки в этом случае мало отличаются от выкладок этого параграфа. Мы предоставляем их читателю в качестве упражнения. Частная задача такого рода была рассмотрена в примере 2 § 130.

Если И представляет собой постоянную величину, то, разделив на нее уравнение (132.1), можно будет считать, что . В этом случае для решения уравнения (125.7) следует применить формулу (130.35), которая в данном случае на основании второй формулы (132.23) принимает вид:

В этом случае функции и равны нулю при и двойные суммы в коэффициентах при в формулах (132.16) будут отсутствовать.

Пример 1. Решить интегральное уравнение (125.7) для случая, когда X представляет собой стационарную случайную функцию, корреляционная функция которой определяется формулой

а есть показательная функция

В примере 2 § 97 мы видели, что спектральная плотность стационарной случайной функции, корреляционная функция которой выражается формулой (132.28), является дробно-рациональной функцией:

где Сравнивая с (132.22), видим, что в данном случае

и

Формулы (132.20) и (130.27) в данном случае дают.

Уравнения (132.12) и (132.13) принимают вид:

Формула (132.14) дает:

Для определения коэффициентов воспользуемся формулами (132.15) и (132.16). В результате получим:

Уравнение (125.7) может быть в данном случае решено и методом неопределенных коэффициентов. Заменяя в числителе выражения (132.29)

спектральной плотности величиной и приравнивая результат нулю, получим уравнение

корни которого равны и Следовательно, решение уравнения (125.7) в данном случае следует искать в форме

Подставляя выражение (132.38) и выражение (132.28) корреляционной функции в уравнение (125.7) при потребовав, чтобы оно обратилось при этом в тождество относительно получим пять линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов

Пример 2. Решить пример 1 § 130 для частного случая, когда пользуясь критерием минимума средней квадратической ошибки. В данном случае

На основании изложенного в §§ 124 и 125 оптимальная линейная система определяется в данном случае решением интегральных уравнений вида (125.7):

вычислением величин по формулам (125.8) и решением системы уравнений (124.10). Спектральная плотность случайной функции X, корреляционная функция которой выражается формулой (132.39), определяется формулой (77.51). Сравнивая эту формулу с (132.22), видим, что в данном случае следовательно, решение интегральных уравнений (132.40) находится по формуле (132.27). Мы предоставляем читателю самостоятельно найти решение интегральных уравнений (132.40), пользуясь формулами (132.27), (132.15) и (132.16), и ограничимся замечанием, что их решение получается из более общих формул (130.47) как частный случай. В данном случае формулы (130.47) дают:

Формулы (130.48) в данном случае дают:

Определив величины , путем решения системы уравнений (124.10), которая в данном случае имеет вид:

мы найдем искомую весовую функцию оптимальной линейной системы по формулам (130.56) и (132.41).

Применим теперь для решения той же задачи метод неопределенных коэффициентов. Уравнение (122.26) имеет в данном случае вид:

Это уравнение можно также получить на основании формулы (130.56), сложив уравнения (132.40), умноженные соответственно на Уравнения (122.27) имеют в данном случае вид:

Решение интегрального уравнения, согласно изложенному, следует искать в форме:

На основании этой формулы

и

Подставляем выражение (132.47) в уравнение (132.44) и требуем его обращения в тождество относительно Для этого приравниваем нулю коэффициенты при показательных функциях и приравниваем друг другу

постоянные слагаемые и коэффициенты при в правой и левой частях полученного равенства. В результате получим четыре уравнения

Подстановка выражений (132.48) в уравнения (132.45) дает еще два уравнения

После определения и 2 решением системы уравнений (132.49) и (132.50) формула (132.46) полностью определит весовую функцию оптимальной линейной системы. Средняя квадратическая ошибка оптимальной системы определяется формулой (128.25).

В частном случае при найденное решение дает оптимальную линейную систему для воспроизведения сигнала, представляющего собой линейную функцию времени со случайными коэффициентами, по результатам наблюдения суммы этого сигнала и помехи в течение времени до данного момента

Если то найденное решение дает оптимальную линейную систему для воспроизведения сигнала, представляющего собой линейную функцию времени с неизвестными неслучайными коэффициентами, которые могут иметь произвольные значения.