ГЛАВА 10. ВЕКТОРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

§ 68. Приведение векторной случайной функции к скалярной

Во многих задачах практики приходится рассматривать одновременно несколько случайных функций. Совокупность конечного или бесконечного числа случайных функций можно рассматривать как векторную случайную функцию. Так, например, совокупность случайных функций можно рассматривать как -мерную векторную случайную функцию. Как было отмечено в § 48, совокупность нескольких случайных функций можно охарактеризовать, задавая их совместные законы распределения различных чисел измерений, т. е. законы распределения значений этих случайных функций при различных значениях аргумента, которые могут независимо друг от друга изменяться в области изменения аргумента. Задавая совместные законы распределения всех возможных чисел измерений составляющих векторной случайной функции, получим полную вероятностную характеристику векторной случайной функции. Однако для практики часто бывает достаточной более бедная характеристика векторной случайной функции, аналогичная математическому ожиданию и корреляционной функции, введенным в главе 8 для скалярных случайных функций. Поэтому для векторных случайных функций необходима теория, аналогичная изложенной в предыдущих двух главах теории скалярных случайных функций.

Очевидно, что составляющую всякой векторной функции можно рассматривать как скалярную функцию ее аргумента и номера. Так, например, составляющую -мерной векторной случайной функции можно рассматривать как скалярную случайную функцию аргумента и номера который может принимать только целые положительные значения Поэтому изложенная в предыдущих двух главах теория полностью применима к составляющей векторной случайной функции, поскольку никаких ограничений на аргументы скалярных случайных функций в предыдущих главах наложено не было; аргументами случайных функций в изложенной в предыдущих главах теории могут быть произвольные совокупности переменных.

Следовательно, теория векторных случайных функций может быть выведена из теории, изложенной в предыдущих двух главах, простой заменой аргумента случайной функции совокупностью аргумента и номера составляющей векторной случайной функции. Этим обстоятельством мы и воспользуемся в последующих параграфах для определения основных характеристик векторных случайных функций и изучения их свойств, в частности для нахождения канонических разложений и интегральных канонических представлений векторных случайных функций.

Полной вероятностной характеристикой векторной случайной функции является ее вероятностная мера, общее определение которой было дано в § 14. Полной характеристикой векторной случайной функции является также ее функционал распределения. Для того чтобы дать определение функционала распределения n-мерной векторной случайной функции, составляющими которой являются случайные функции достаточно, согласно сказанному выше, заменить аргумент случайной функции в определении функционала распределения скалярной случайной функции (48.9) совокупностью аргумента и номера составляющей рассматриваемой векторной случайной функции. Тогда получим определение функционала распределения векторной случайной функции в виде:

Совершенно аналогично из общего определения характеристическрго функционала случайной функции (48.15) можно получить определение характеристического функционала векторной случайной функции, заменив аргумент случайной функции совокупностью аргумента к номера составляющей векторной случайной функции. Задавая линейный функционал А в (48.15) в виде:

получим определение характеристического функционала векторной случай ной функции, составляющими которой являются случайные функции

Зная характеристический функционал векторной случайной функции, можно определить законы распределения различных чисел измерений ее составляющих. Для этого достаточно взять в формуле (68.3) функции в виде линейных комбинаций соответствующих -функций. Тогда получим характеристические функции случайных векторов, составляющими которых являются значения составляющих данной векторной случайной функции при различных значениях аргумента По этим характеристическим функциям, пользуясь формулой (28.14), можно определить соответствующие плотности вероятности составляющих данной векторной случайной «функции. Таким образом, характеристический функционал является исчерпывающей вероятностной характеристикой векторной случайной функции.