§ 76. Каноническое разложение стационарной случайной функции

Рассмотрим стационарную случайную функцию одной скалярной независимой переменной в конечном интервале Пусть ее корреляционная функция. При изменении в интервале разность очевидно, изменяется в интервале В этом интервале и следует рассматривать корреляционную функцию Корреляционная функция стационарной случайной функции может быть представлена в интервале рядом Фурье с периодом

Коэффициенты ряда определяются по известным формулам теории рядов Фурье ([74], т. II, гл. VI, § 3):

Формула (76.1) может быть написана в виде:

Сравнивая формулу (76.3) с общим каноническим разложением корреляционной функции (56.2), убеждаемся в том, что формула (76.3) дает каноническое разложение корреляционной функции стационарной случайной функции На основании теоремы, доказанной в § 63, из канонического разложения (76.3) корреляционной функции вытекает каноническое разложение случайной функции с теми же координатными функциями

где взаимно некоррелированные случайные величины, математические ожидания которых равны нулю, а дисперсии равны

соответствующим коэффициентам разложения (76.3). Следовательно, все коэффициенты положительны.

Итак, мы доказали, что для стационарной случайной функции одним из возможных канонических разложений в конечном интервале является ее разложение в тригонометрический ряд по гармоникам периода 47. Этот ряд, очевидно, не является рядом Фурье случайной функции в интервале Для того чтобы он был рядом Фурье, необходимо, чтобы в разложении (76.1) корреляционной функции отсутствовали все нечетные гармоники. Тогда в ряде (76.4) будут фигурировать только одни четные гармоники, которые являются гармониками периода т. е. ряд (76.4) будет рядом Фурье в интервале

Рассмотренные выше канонические разложения стационарной случайной функции и ее корреляционной функции в комплексной форме удобны даже в том случае, когда сама случайная функция, а следовательно, и ее корреляционная функция действительны. Объясняется это тем, что в комплексной форме все гармоники выражаются аналитически одной показательной функцией, в то время как в действительной форме одни члены ряда выражаются синусом, а другие косинусом, что усложняет выкладки. Однако для действительной случайной функции и ее корреляционной функции можно легко построить канонические разложения в действительной форме. Для нахождения канонического разложения корреляционной функции действительной форме разложим ее в действительный ряд Фурье в интервале Так как корреляционная функция действительной стационарной случайной функции является четной функцией (§ 72), то ее ряд Фурье содержит лишь косинусы:

Коэффициенты этого ряда определяются обычными формулами ([74], т. II, гл. VI, § 1):

которые вследствие четности корреляционной функции могут быть написаны в виде:

Сравнивая формулы (76.6) с (76.2), приходим к заключению, что для действительной стационарной случайной функции между

коэффициентами рядов (76.1) и (76.5), существуют следующие соотношения:

Представив формулу (76.5) в виде:

убеждаемся в том, что формула (76.5) дает каноническое разложение корреляционной функции стационарной случайной функции, координатными функциями которого являются попеременно синусы и косинусы периодов На основании теоремы § 63 из канонического разложения (76.9) корреляционной функции вытекает каноническое разложение случайной функции с теми же координатными функциями:

где взаимно некоррелированные случайные величины, математические ожидания которых равны нулю, причем величины с одинаковым номером имеют одну и ту же дисперсию Отсюда следует, что все коэффициенты разложения (76.5) положительны.

Ряд (76.10), так же как и ряд (76.4), не является в общем случае рядом Фурье случайной функции в интервале И только в частном случае, когда в ряде (76.5) отсутствуют все нечетные гармоники, ряд (76.10) является рядом Фурье случайной функции в интервале

Из формул (72.3), (76.1) и (76.5) следует, что числовые ряды сходятся и их суммы равны дисперсии случайной функции

Пример. Построить каноническое разложение в интервале стационарной случайной функции, корреляционная функция которой определяется формулой (49.36).

Согласно изложенному представляем корреляционную функцию разложением в ряд Фурье в интервале Коэффициенты этого разложения определяются формулой (76.2), которая дает:

Таким образом, случайная функция X может быть представлена в интервале каноническим разложением (76.4), дисперсии коэффициентов которого определяются формулой (76.12).