§ 133. Определение оптимального линейного оператора методом интегральных канонических представлений в общем случае

В предыдущих параграфах, пользуясь интегральными каноническими представлениями случайных функций, мы получили методы решения интегрального уравнения (125.7), определяющего оптимальную одномерную линейную систему, для некоторых часто встречающихся на практике частных случаев. Сейчас мы применим метод интегральных канонических представлений для решения уравнения (125.2) в общем случае [61].

Выразим случайную функцию X интегральным каноническим представлением (56.4). Так как математическое ожидание случайной функции X тождественно равно нулю, то формула (56.4) имеет в данном случае вид:

Белый шум выражается формулой (67.1), которая принимает в данном случае вид:

Сравнивая формулу (133.2) с (128.2), видим, что формула (128.8), выражающая решение уравнения (125.7), в общем случае должна быть заменена формулой

Таким образом, решение уравнения (125.2) следует искать в форме (133.3), где неизвестная функция, подлежащая определению.

Подставляя выражение (133.3) в левую часть уравнения (125.2) и принимая во внимание формулу (67.3), получим:

Подставляя это выражение в уравнение (125.2), приведем его к виду:

Для определения функции умножим уравнение (133.5) на и проинтегрируем результат по х в пределах области Тогда будем иметь:

или, пользуясь формулой (67.6) и выполняя интегрирование,

Отсюда находим:

Эта формула является очевидным обобщением формулы (128.7). Подставляя выражение (133.8) в формулу (133.3), получим решение уравнения (125.2) в форме

В частном случае, когда функция а представляет собой весовую функцию физически возможной линейной системы, преобразующей случайную функцию X в белый шум, из формулы (133.9) получается ранее выведенная формула (128.9).

Уравнение (133.6) было получено нами как следствие уравнения (133.5). Однако уравнение (133.5) не является следствием уравнения (133.6). Поэтому функция удовлетворяющая уравнению (133.6), может не удовлетворять уравнению (133.5). С другой стороны, предыдущие выкладки показывают, что если существует функция удовлетворяющая уравнению (133.5), то она обязательно выражается формулой (133.8). В свою очередь для существования функции удовлетворяющей уравнению (133.5), необходимо, чтобы функция была представима интегралом типа (133.5). Таким образом, для того чтобы формула (133.8) давала решение уравнения (133.5), необходимо и достаточно, чтобы функция была представима интегралом типа (133.5). Пользуясь интегральным каноническим представлением (56.5) корреляционной функции, можно показать, что представимость функции интегралом типа (133.5) является необходимым условием существования решения уравнения (125.2). Следовательно, если решение уравнения (125.2) существует, то оно всегда выражается формулой (133.9).

Если функция определяемая формулой (133.8), не удовлетворяет уравнению (133.5), то, полагая

и пользуясь формулой (67.6), находим:

Таким образом, функция 5, определяемая формулой (133.8), может не быть решением уравнения (133.5) только в том случае, когда существует функция переменной х, ортогональная к функции при любом значении параметра X в области Существование такой функции является признаком того, что уравнение (125.2) может не иметь решения. В этом случае следует непосредственной подстановкой проверить, удовлетворяет ли функция определяемая формулой (133.9), уравнению (125.2) или нет. В случае, если она не удовлетворяет уравнению (125.2), это уравнение не имеет решения.

Уравнение (133.5) является обобщением формулы (128.14). Условие (133.11) применительно к случаю, рассмотренному в § 128

означает существование такого входного возмущения линейной системы, имеющей весовую функцию при котором выходная переменная этой системы остается тождественно равной нулю. В случае системы, поведение которой описывается линейным дифференциальным уравнением типа (130.1), всегда существуют такие входные возмущения, при которых система остается в покое. Поэтому, продолжая функцию / в область в § 130, мы должны были взять интеграл уравнения (130.10), который выражается формулой (130.16), чтобы обеспечить существование решения уравнения (130.14). Для любого другого интеграла уравнения (130.10) уравнение (133.14) не имеет решения.

Совершенно так же решается система линейных интегральных уравнений (125.19), определяющая оптимальную многомерную линейную систему. Выразим векторную случайную функцию интегральным каноническим представлением (71.8). Так как математическое ожидание векторной случайной функции тождественно равно нулю, то в данном случае формула (71.8) имеет вид:

Взаимно некоррелированные белые шумы выражаются через случайные функции формулой которая в данном случае имеет вид:

Функции и интенсивность белых шумов удовлетворяют условиям (71.12), (7113) и (71.14).

Будем искать решение системы уравнений для каждого данного значения индекса в виде:

где подлежащие определению неизвестные функции.

Формула (133.14) может быть формально получена из формулы (133.3) заменой аргумента совокупностью аргумента и индекса аргумента 5 совокупностью аргумента и индекса параметра X — совокупностью параметра X и индекса и соответственной заменой интегрирования по X совокупностью интегрирования по X и суммирования по Подставляя выражение (133.14) в левые части

уравнений (125.19) и принимая во внимание (71.12), получим:

Подставляя это выражение в уравнения (125.19), приведем их к виду:

Для определения функций умножим каждое уравнение (133.16) на соответствующую функцию проинтегрируем результат по х в пределах области и просуммируем полученные таким образом равенства. В результате будем иметь:

или, пользуясь формулой (71.13) и выполняя интегрирование,

Отсюда находим:

Подставляя выражение (133.19) в формулу (133.14), получим решение системы уравнений (125.19) в виде:

Так же как и в случае уравнения (125.2), формула (133.20) дает решение системы уравнений (125.19) тогда и только тогда, когда все функции представимы в области суммами

интегралов от функций, содержащих множителями соответствующие составляющие векторных функций Если хотя бы одна из функций недредставима в таком виде, то система уравнений (125.19) не имеет решения.

Формулы (133.9) и (133.20) дают решение соответственно уравнения (125.2) и системы уравнений (125.19) во всех случаях, когда это решение существует и случайная функция X может быть выражена интегральным каноническим представлением в области наблюдения К сожалению, в настоящее время нет методов нахождения интегрального канонического представления любой случайной функции в любой наперед заданной области Это обстоятельство ограничивает практическое применение формул (133.9) и (133.20), дающих решение уравнения (125.2) и системы уравнений (125.19) в конечной форме. Тем не менее формулы (133.9) и (133.20) могут успешно применяться в ряде практически важных частных случаев, как это показывают, например, результаты §§ 129, 130, 131 и 132.

Формулы (133.9) и (133.20) обладают большой степенью общности. Аргументы и 5 в них могут быть произвольными скалярными или векторными переменными. Поэтому формулы (133.9) и (133.20) применимы не только для нахождения весовых функций оптимальных линейных динамических систем, но и для нахождения оптимальных линейных операторов более общего вида.

В частном случае, когда удается найти весовые функции физически возможной линейной системы, имеющей входов и выходов, преобразующей векторную случайную функцию времени некоррелированных белых шумов и весовые функции обратной системы векторная случайная функция выражается интегральным каноническим представлением (97.18), которое имеет в данном случае вид:

В этом случае белые шумы выражаются через случайные функции формулой (97.17):

Сравнивая формулу (13322) с (133.13), видим, что формула (133.20), определяющая решение системы уравнений (125.19), принимает в данном случае вид:

Эта формула является обобщением формулы (128.9). Пользуясь формулой (133.23) в соответствующих частных случаях, можно обобщить методы предыдущих параграфов на многомерные линейные системы. В частности, можно обобщить методы §§ 130, 131 и 132 на случай, когда случайные функции связаны в интервале некоррелированными белыми шумамй системой линейных дифференциальных уравнений

где полиномы типа (130.2) относительно оператора дифференцирования по времени с произвольными переменными коэффициентами. Мы предоставляем это обобщение читателю в качестве упражнения.

Пример. Решить интегральное уравнение (125.7) для условий примера 1 § 130, пользуясь интегральным каноническим представлением случайной функции X в произвольном интервале, найденным в примере 3 § 97.

Полагая в примере 3 § получим интегральное каноническое представление случайной функции X в интервале наблюдения При этом интенсивность соответствующего белого шума V на основании (97.31) выразится формулой

где для краткости положено

Вычислим сначала функцию 5, определяемую формулой (133.8). При этом придется учесть, что функция задана только в интервале а при ее следует принять равной нулю. Тогда, подставляя в формулу (133.8) выражения (128.16) и (133.25) функций и учитывая, что левый конец интервала входит в интервал интегрирования, получим:

Так как -функции в этой формуле равны нулю при то при

При правая часть формулы (133.27) неопределенна вследствие того, что Раскрывая эту неопределенность по обычным правилам, получаем:

При функцию следует принять равной нулю, как весовую функцию физически возможной системы. Таким образом, функция 5 выражается формулой (133.28) в интервале и имеет разрывы первого рода на концах этого интервала, причем ее скачки в этих точках на основании (133.28), (133.29), (133.26) и (130.36) определяются формулами

Пользуясь единичной ступенчатой функцией, можно выразить найденную функцию 5 в замкнутом интервале [] формулой

Подставляя это выражение в формулу (133.3), получим решение уравнения (125.7) в данном случае:

Выполняя интегрирование и подставляя выражения из (133.30), придем к формуле (130.46), полученной другим способом в примере 1 § 130.